【数学】山东省青岛胶州市2019-2020学年高一下学期期末考试试题 13页

山东省青岛胶州市2019-2020学年 高一下学期期末考试试题 注意事项：‎ ‎1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置；‎ ‎2．作答选择题时：选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上；非选择题必须用黑色字迹的专用签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效；‎ ‎3．考生必须保证答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡上交．‎ 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 ‎ ‎1．已知复数的共轭复数为，且（其中是虚数单位），则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．某制药厂正在测试一种减肥药的疗效，有名志愿者服用此药，体重变化结果统计如下：‎ 体重变化 体重减轻 体重不变 体重增加 人数 如果另有一人服用此药，估计这个人体重减轻的概率约为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．若圆锥的底面半径与高均为，则圆锥的表面积等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．随机掷两枚骰子，记“向上的点数之和是偶数”为事件，记“向上的点数之差为奇数”为事件，则（ ）‎ A． B． ‎ C．互斥但不对立 D．对立 ‎5．在中，，，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．在三棱柱中，上下底面均为等腰直角三角形，且平面，若该三棱柱存在内切球，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．甲、乙两人独立地破译一份密码，破译的概率分别为，则密码被破译的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下述错误的是（ ）‎ A．若，，，则； B．若，，，则 C．若，，，则； D．若，，则 ‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，‎ 有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。‎ ‎9．如图，在四棱锥中，，，点分别为的中点，若，，则下述正确的是（ ）‎ A． B．直线与异面 ‎ C． D．三点共线 ‎ ‎10．某地区公共部门为了调查本地区中学生的吸烟情况，对随机抽出的编号为的名学生进行了调查．调查中使用了两个问题，问题：您的编号是否为奇数？问题：您是否吸烟？被调查者随机从设计好的随机装置（内有除颜色外完全相同的白球个，红球个）中摸出一个小球：若摸出白球则回答问题，若摸出红球则回答问题，共有人回答“是”，则下述正确的是（ ）‎ A．估计被调查者中约有人吸烟 B．估计约有人对问题的回答为“是” ‎ C．估计该地区约有的中学生吸烟 D．估计该地区约有的中学生吸烟 ‎11．如图，在平行四边形中，分别为线段的中点，，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．如图，线段为圆的直径，点，在圆上，，矩形所在平面和圆所在平面垂直，且，，则下述正确的是（ ）‎ A．平面 B．平面 C．点到平面的距离为 ‎ D．三棱锥外接球的体积为 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知向量的夹角为，，，则 ． ‎ ‎14．在三棱锥中，若平面平面，且．则直线与平面所成角的大小为 ．‎ ‎15．设角是的三个内角，已知向量，‎ ‎，且．则角的大小为 ．‎ ‎16．某人有把钥匙，其中把能打开门，如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能打开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率为 ；如果试过的钥匙又混进去，第二次才能打开门的概率为 ．（本题第一个空分，第二个空分）‎ 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17．（10分）‎ 已知是虚数单位，复数．‎ ‎（1）求； ‎ ‎（2）随机从复数中有放回的先后任取两个复数，求所取两个复数的模之积等于的概率．‎ ‎18．（12分）‎ 如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面，为线段上的一点，，是等边三角形．‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）证明：；‎ ‎（3）证明：平面平面．‎ ‎19．（12分）‎ 在①；②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中，并进行作答．‎ 在中，内角的对边分别为，，‎ ‎， ．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）求的周长和面积．‎ ‎20．（12分）‎ 如图，在半圆柱中，为上底面直径，为下底面直径，为母线，，点在上，点在上，， 为的中点． ‎ ‎ ‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）求直线与直线所成角的余弦值；‎ ‎（3）求二面角的正切值．‎ ‎21．（12分）‎ 有一种鱼的身体吸收汞，当这种鱼身体中的汞含量超过其体重的（即百万分之一）时，人食用它，就会对人体产生危害．现从一批该鱼中随机选出条鱼，检验鱼体中的汞含量与其体重的比值（单位：），数据统计如下： ‎ ‎ ‎ ‎（1）求上述数据的中位数、众数、极差，并估计这批鱼该项数据的分位数；‎ ‎（2）有，两个水池，两水池之间有个完全相同的小孔联通，所有的小孔均在水下，且可以同时通过条鱼．‎ ‎（ⅰ）将其中汞的含量最低的条鱼分别放入水池和水池中，若这条鱼的游动相互独立，‎ 均有的概率进入另一水池且不再游回，求这两条鱼最终在同一水池的概率；‎ ‎（ⅱ）将其中汞的含量最低的条鱼都先放入水池中，若这条鱼均会独立地且等可能地从 其中任意一个小孔由水池进入水池且不再游回水池，求这两条鱼由不同小孔进入 水池的概率．‎ ‎22．（12分）‎ 某学校高一名学生参加数学竞赛，成绩均在分到分之间．学生成绩的频率分布直方图如图： ‎ ‎（1）估计这名学生分数的中位数与平均数；（精确到）‎ ‎（2）某老师抽取了名学生的分数：，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与标准差．‎ ‎（参考公式：）‎ ‎（3）该学校有座构造相同教学楼，各教学楼高均为米，东西长均为米，南北宽均为 米．其中号教学楼在号教学楼的正南且楼距为米，号教学楼在号教学楼的正东且楼距为米．现有种型号的考试屏蔽仪，它们的信号覆盖半径依次为米，每个售价相应依次为元．若屏蔽仪可在地下及地上任意位置安装且每个安装费用均为元，求让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费．‎ ‎（参考数据：）‎ 参考答案 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。 ‎ ‎1-8: B D A D A B B C ‎ 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎9：BCD； 10：BC； 11：AB； 12：ABC；‎ 三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13. ； 14. ； 15. ； 16. （1） ；（2）； ‎ 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）‎ 解：（1）由题意知： 1分 ‎ 2分 ‎ 3分 ‎ 4分 ‎（2）设随机从复数中有放回的任取两个复数的样本点为，‎ 则该随机试验的样本空间为 ‎ 6分 所以 7分 设事件“所取两个复数的模之积等于”，‎ 则事件，所以 9分 ‎ 所以 10分 ‎18.（12分）‎ 解：（1），在平行四边形中，连接交于点，‎ 则为的中点，连接 1分 因为点为中点，‎ 所以为的中位线，‎ 所以 3分 所以平面， 平面，‎ 所以平面 4分 ‎（2）因为，平面，平面，‎ 所以平面 7分 因为平面，平面平面 所以 8分 ‎（3）因为为正三角形，点为中点，所以 ‎ 又因为，‎ 所以平面 11分 又因为平面 所以，平面平面 12分 ‎19.（12分）‎ 解：（1）若选择①：‎ 因为，，所以 2分 所以 因为，所以 4分 又因为，‎ 所以， 6分 若选择②：‎ ‎（法一）由题意知，，‎ 所以 2分 因为当且仅当时，上式的等号成立，且 3分 所以 5分 所以 6分 ‎（法二）设为方程，的两根 2分 解得，且 4分 所以 5分 所以 6分 ‎（2）由正弦定理知： 7分 因为，，‎ 所以 9分 所以的周长为 10分 所以的面积 12分 ‎20．（12分）‎ 解：（1）由题意知，为正三角形 ，‎ 所以 2分 因为为圆柱的母线，‎ 所以平面 3分 所以 4分 ‎（2）过点作圆柱的母线交于 因为与均为圆柱的母线，所以且，‎ 所以四边形为平行四边形，所以且，‎ 所以为正三角形 又因为为正三角形，所以，‎ 所以，所以为直线与所成的角 6分 在中， 7分 所以由余弦定理知：‎ 所以直线与直线所成角的余弦值为 9分 ‎（3）因为平面，平面，所以 又因为，‎ 所以平面 10分 所以，因此为二面角的平面角 11分 在中，，，‎ 所以二面角的正切值为 12分 ‎21．（12分）‎ 解：（1）由题意知，数据的中位数为 1分 数据的众数为 2分 数据的极差为 3分 估计这批鱼该项数据的百分位数约为 4分 ‎（2）（ⅰ）记“两鱼最终均在水池”为事件，则 5分 记“两鱼最终均在水池”为事件，则 6分 因为事件与事件互斥，‎ 所以两条鱼最终在同一水池的概率为 8分 ‎（ⅱ）记“两鱼同时从第一个小孔通过”为事件，“两鱼同时从第二个小孔通过”为 事件，依次类推．‎ 因为两鱼的游动独立，所以 9分 因为事件，事件，互斥，‎ 所以 10分 记“两条鱼由不同小孔进入水池”为事件，则与对立，‎ 所以 12分 ‎22.（12分）‎ 解：（1）因为 所以中位数为满足 1分 由，解得 3分 设平均分为，‎ 则 4分 ‎（2）由题意，剩余个分数的平均值为 5分 因为个分数的标准差 所以 6分 所以剩余个分数的标准差为 ‎ 8分 ‎（3）将座教学楼完全包裹的球的最小直径为：‎ 因此若用一个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 9分 将一座教学楼完全包裹的球的最小直径为 因此若用个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元； 10分 将号教学楼与号教学楼完全包裹的球的最小直径为：‎ 又因为 因此若用个覆盖半径为米和个覆盖半径为米的屏蔽仪则总费用为元；‎ 所以，让各教学楼均被屏蔽仪信号完全覆盖的最小花费为元 12分