安徽省合肥市2021届高三上学期调研性检测数学（理）试题 3页

1 合肥市 2021 届高三调研性检测 数学试题(理科) (考试时间：120 分钟 满分：150 分) 第Ⅰ卷 (60 分) 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.若复数 z 满足 12izi  ，其中 i 是虚数单位，则复数 z 的模为 A. 2 B. 3 C. 22 D.3 2.若集合 1Axx， 2 230Bxxx，则 A B  A.  1 3， B. 1 3， C. 1 1 ， D. 1 ， 3.若变量 x y， 满足约束条件 1 1 33 xy xy xy      ， ， ， - 则目标函数 3zx y  的最小值为 A. 9 2 B.-4 C.-3 D.1 4.为了保障广大人民群众的身体健康，在新冠肺炎疫情防控期间，有关部门对辖区内 15 家药店所销 售的 A，B 两种型号的口罩进行了抽检，每家药店抽检 10 包口罩(每包 10 只)，15 家药店中抽检的 A，B 型 号口罩不合格数(Ⅰ，Ⅱ)的茎叶图如图所示，则下列描述不正确．．． 的是 A.估计 A 型号口罩的合格率小于 B 型号口罩的合格率 B.Ⅰ组数据的众数大于Ⅱ组数据的众数 C.Ⅰ组数据的中位数大于Ⅱ组数据的中位数 D.Ⅰ组数据的方差大于Ⅱ组数据的方差 5.设数列na 的前 n 项和为 nS ，若 31 22nnSa  ，则 5S  A.81 B.121 C.243 D.364 6.函数  cos x x x xfx ee  在   ， 上的图象大致是 7.周六晚上，小红和爸爸、妈妈、弟弟一起去看电影，订购的 4 张电影票恰 好在同一排且连在一起.为安全起见，每个核子至少有一侧有家长陪坐，则不同的 坐法种数为 A.8 B.12 C.16 D.20 8.已知函数  2sinfx x ( 0  ， 2   )的部分图象如图所示， 则函数 f x 的单调递减区间为 2 A. 3[2 2 ]88kkkZ， B. 3[]88kk kZ， C. 37[2 2 ]88kkkZ， D. 37[]88kkkZ， 9.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为 A.32 B.16 C. 8 3 D. 16 3 10.在 ABC 中， DEF，， 分别是边 BC CA AB，， 的中点， ADBECF，， 交于点 G ，则： ① 11 22EF CA BC  ； ② 11 22BE AB BC    ； ③ ADBEFC  ； ④ 0GA GB GC    . 上述结论中，正确的是 A.①② B.②③ C.②③④ D.①③④ 11.双曲线 22 22:1xyC ab( 00ab， )的左、右焦点分别为 12F F， ，M 为C 的渐近线上一点，直 线 2F M 交C 于点 N ，且 2 0FM OM  ， 22 3 2F MFN   (O 为坐标原点)，则双曲线 C 的离心率为 A. 5 B.2 C. 3 D. 2 12.已知a ，bR ，函数  32 1f xaxbxx( 0a  )恰有两个零点，则 ab 的取值范围是 A.  0， B.  1 ， C. 1 4   ， D. 1 4  ， 第Ⅱ卷 (90 分) 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.把答案填写在答题卡上的相应位置. 13.若命题 p ：若直线l 与平面 内的所有直线都不平行，则直线l 与平面 不平行；则命题 p 是 命题(填“真”或“假”). 14. 若直线 l 经过抛物线 2 4x y 的焦点且与圆 22121xy  相切，则直线l 的方程 为 . 15.已知函数  cosf xx x x R ， ， 是钝角三角形的两个锐角，则 cosf  sinf  (填写：“＞”或“＜”或“＝”). 16.已知三棱锥 PABC 的顶点 P 在底面的射影 O 为 ABC 的垂心，若 2 PBCABC OBCSS S，且三棱锥 PABC 的外接球半径为 3，则 PAB PBC PACSSS的最大值为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 10 分) 设数列 na 的前 n 项和为 nS ， 1 3a  ， 2 1a   .若数列 nS n    为等差数列. (1)求数列 na 的通项公式 na ； (2)设数列 1 1 nnaa   的前 n 项和为 nT ，若对 *nN 都有 nTm 成立，求实数 m 的取值范围. 3 18.(本小题满分 12 分) 为检查学生学学习传染病防控知识的成效，某校高一年级部对本年级 1500 名同学进行了传染病防控 知识检测，并从中随机抽取了 300 份答卷，按得分区间 40 50， ， 50 60， ，…， 80 90， ， 90 100， 分别 统计，绘制成频率分布直方图如下. (1)估计高一年级传染病防控知识测试得分的中位数(结 果精确到个位)； (2)根据频率分布直方图，按各分数段的人数的比例，从 得分在区间 80 90， 和 90 100， 的学生中任选 7 人，并从这 7 人中随机选 3 人作传染病预防知识宣传演讲，求这 3 人中至少 有一人得分在区间 90 100， 内的概率. 19.(本小题满分 12 分) 已知：在 ABC 中，三个内角 A BC，， 的对边分别为 abc，， ，且 3b  ，sin sin 2 3Aa B. (1)当 7a  时，求 ABC 的面积； (2)当 ABC 为锐角三角形时，求 sin sinBC 的取值范围. 20.(本小题满分 12 分) 在三棱锥 P ABC 中， BC ⊥平面 PAB ，平面 PAC ⊥平面 ABC . (1)证明： PA ⊥平面 ABC ； (2)若 D 为PC 的中点，且 22PA AB ， ABBC ，求二面角 A BD C的余弦值. 21.(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系中，动点 E ( x y， )满足方程  2222114xyxy  . (1)说明动点 E 的轨迹是什么曲线，并求出曲线 C 的标准方程； (2)若点 P ( 31 2 ， )，是否存在过点( 01， )的直线l 与曲线 C 相交于 A ，B 两点，且直线 PA ，PB 与 y 轴分别交于 M ，N 两点，使得 PM PN ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数   2lnf xxaxxaR. (1)讨论函数 f x 的单调性； (2)若函数  f x 有极值且极值大于 0，求实数 a 的取值范围.