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- 2021-06-24 发布
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黑龙江省大庆中学2019-2020学年高一下学期期末考试
数学试题
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分)
1.已知为非零实数,且,则下列命题成立的是( )
A. B. C. D.
2.若等差数列和等比数列满足,,则为( )
A. B. C. D.
3.已知的三个内角的对边分别为,且满足,则等于( )
A. B. C. D.
4.设,满足约束条件,则的最小值为( )
A. B. C. D.5
5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. B.
C. D.2
6.设,是两个不同的平面,m,n是两条不同的直线,下列说法正确的是( )
A.若,,则
B.若,,,则
C.若,,,则
D.若,,,则
7.已知直线和以,为端点的线段相交,则实数k的取值范围为( )
A. B. C.或 D.
8.空间四边形中,,,分别是,的中点,,则异面直线,所成的角为( )
A.60° B.30° C.90° D.120°
9.在四面体中,已知棱的长为,其余各棱长都为1,则二面角的平面角的余弦值为( )
A. B. C. D.
10.若不等式 对任意实数 均成立,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
11.已知正项数列的前n项和为,满足,则( )
A. B. C. D.
12.若两个正实数满足,且不等式有解,则实数的取值范围
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分)
13.两条直线与互相垂直,则=___________.
14.已知,则的最小值是_____________________.
15.数列满足,则的前8项和为___________.
16.在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,AB=AC=2,PA=2,则三棱锥P-ABC外接球的半径为____________.
三、解答题(本大题共6个小题,17题10分,18题--22题,每小题12分,共70分)
17.(本题10分)已知中,、、,写出满足下列条件的直线方程(要求最终结果都用直线的一般式方程表示).
(1)边上的高线的方程;
(2)边的垂直平分线的方程.
18.(本题12分)在中,内角,,的对边分别为,,,且.
(1)求角的大小;
(2)若,,求的面积.
19.(本题12分)在等差数列中,为其前项和,且
(1)求数列的通项公式;
(2)(文科做)设,求数列的前项和
(理科做)设,求数列的前项和
20.(本题12分)已知关于的不等式.
(1)当时,解上述不等式.
(2)当时,解上述关于的不等式
21.(本题12分)如图,在三棱锥中,,底面ABC.M,N分别为PB,PC的中点.
(1)求证:平面ABC;
(2)求证:平面平面PAC;
(3)若,求三棱锥的体积.
22.(本题12分)已知函数,且的解集为.
(1)求函数的解析式;
(2)解关于x的不等式,;
(3)设,若对于任意的都有,求M的最小值.
【参考答案】
一、单选题
1. 【答案】D
【解析】若ab2,A不成立;若B不成立;若a=1,b=2,则,所以C不成立 ,故选D.
2. 【答案】B
【解析】设等差数列的公差为,等比数列的公比为,
由题意可得,
∴,∴.选B.
3. 【答案】B
【解析】由题,根据正弦定理可得,
所以,
因为在中,,所以,
因为,所以,
故选:B
4.【答案】C
【解析】根据线性约束条件,画出不等式组表示的可行域如图所示:
由平移得到,
由图可知当目标函数经过点处取得最小值,
代入可得为.
故选:C.
5.【答案】D
【解析】由几何体的三视图可知,该几何体是四棱锥,高为,底面为边长和的矩形,如图所示:
由四棱锥的体积公式可得,.
故选:D
6. 【答案】C
【解析】选项A,直线n可能在平面内,错误;
选项B,如果,,,那么与平行或相交,错误;
选项C,,,且,则必有,根据面面垂直的判定定理知,,正确.
选项D,与相交或平行,错误;
故选:C
7. 【答案】D
【解析】解:因为直线恒过定点,
又因为,,
故直线的斜率的范围为.
故选:D.
8.【答案】A
【解析】取AC中点G,连接EG、FG,
由三角形中位线的知识可知:EGBC,FGAD,
∴∠EGF或其补角即为异面直线AD,BC所成的角,
在△EFG中,cos∠EGF,
∴∠EGF=120°,由异面直线所成角的范围可知应取其补角60°,
故选:A.
9. 【答案】D
【解析】
由已知可得AD⊥DC
又由其余各棱长都为1得正三角形BCD,取CD得中点E,连BE,则BE⊥CD
在平面ADC中,过E作AD的平行线交AC于点F,则∠BEF为二面角A﹣CD﹣B的平面角
∵EF=(三角形ACD的中位线),BE=(正三角形BCD的高),BF=(等腰RT三角形ABC,F是斜边中点)
∴cos∠BEF=
故选D.
10. 【答案】A
【解析】由题意,不等式,可化为,
当,即时,不等式恒成立,符合题意;
当时,要使不等式恒成立,需 ,
解得,
综上所述,所以的取值范围为,故选A.
11. 【答案】A
【解析】,
当时,,或(舍去);
当时,,,
两式相减得:.
,,
所以数列是首项,公差的等差数列,
,故选:A.
12. 【答案】C
【解析】分析:不等式有解,即为大于的最小值,运用乘1法和基本不等式,计算即可得到所求最小值,解不等式可得m的范围.
详解:正实数 满足则 =4,
当且仅当,取得最小值4.
由x有解,可得 解得或.
故选C .
点睛:本题考查不等式成立的条件,注意运用转化思想,求最值,同时考查乘1法和基本不等式的运用,注意满足的条件:一正二定三等,考查运算能力,属中档题.
二、填空题
13.【答案】1
【解析】两条直线与互相垂直,则,解得.
故答案为:.
14.【答案】2
【解析】因为,所以
所以,
当且仅当即x=2,y=5时取到最小值.故答案为:2.
15.【答案】20
【解析】数列满足,
,,,,,,,
可得,,,,
.
故答案为:20
16.【答案】5.
【解析】因为,所以由余弦定理可得,
设外接圆的半径为,则,所以,
设球心到平面的距离为,则由勾股定理可得,
所以.
三、解答题
17.解:(1)直线的斜率为,所以,边上的高线的方程为,即;
(2)线段的中点为,所以,边的垂直平分线的方程为,即.
18.解:(Ⅰ)由余弦定理得:,
又因为,
所以,所以,
所以,
因为,所以,因为,所以.
(Ⅱ)由正弦定理得:,所以,
因为,所以,所以所以.
19. 解:(1)由已知条件得解得所以通项公式为;
(2)(文科)由(1)知,,
∴数列的前项和
=
(理科)由
①
②
①-②
20. 解:(1)当时,代入可得,
解不等式可得,所以不等式的解集为.
(2)关于的不等式.
若,当时,代入不等式可得,解得;
当时,化简不等式可得,由解不等式可得,
当时,化简不等式可得,解不等式可得或,
综上可知,当时,不等式解集为,当时,不等式解集为,当时,不等式解集为或
21. 解:证明:(1)M,N分别为PB,PC的中点,
所以,平面ABC,
平面ABC,所以平面ABC;
(2)底面ABC,平面ABC,所以,
因为,所以,又,
所以平面PAC,平面ABC,所以平面平面PAC;
(3)由(2)知,,平面PAC,所以平面PAC,
,
在三角形PAC中,,,
,
所以.
22.解:(1)因为的解集为,所以的根为,2,
所以,,即,;所以;
(2),化简有,整理,
所以当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
当时,不等式的解集为,
(3)因为时,根据二次函数的图像性质,有,
则有,所以,,
因为对于任意的都有,
即求,转化为,
而,,所以,
此时可得,
所以M的最小值为.