福建省泉州市普通高中2020届高三第一次质量检查数学（理）试题 Word版含解析 28页

www.ks5u.com 泉州市2020届普通高中毕业班第一次质量检查 理科数学 一、单项选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用列举法写出集合，再根据交集的定义写出．‎ ‎【详解】解：因为 所以，‎ 又 故选：B ‎【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．‎ ‎2.若与互为共轭复数，则（ ）‎ A. 0 B. 3 C. －1 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，由共轭复数的概念解得即可.‎ ‎【详解】，又由共轭复数概念得：，‎ ‎.‎ 故选：C - 28 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.‎ ‎3.某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：‎ 费用（万元）/年 ‎1.2‎ ‎1.4‎ ‎1.6‎ ‎1.8‎ ‎2‎ 户数 ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎2‎ 则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）‎ A. 1.4，1.4 B. 1.4，1.5 C. 1.4，1.6 D. 1.62，1.6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据众数和中位数的定义解答即可；‎ ‎【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；‎ 故众数为：1.4，中位数为：1.5，‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.‎ ‎4.记为等差数列的前项和.已知，，则（ ）‎ A. －14 B. －12 C. －17 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，依题意列出方程组，再根据前项和公式计算可得；‎ ‎【详解】解：设等差数列的公差为，则 解得，所以 故选：B - 28 -‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.‎ ‎5.的展开式中的系数为（ ）‎ A. 10 B. 38 C. 70 D. 240‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出二项式展开式的通项为，再令，分别求出系数，由即可得到展开式中的系数.‎ ‎【详解】解：因为，‎ 而展开式的通项为，当即时，，当即时，‎ 故的展开式中的系数为 故选：A ‎【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎6.已知函数，，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到，，，即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，定义域为，‎ 故函数是奇函数，又在定义域上单调递增，在定义域上单调递减，所以 - 28 -‎ 在定义域上单调递增，‎ 由，，‎ 所以 即 故选：A ‎【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.‎ ‎7.松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的，，则输出的的值为（ ）‎ A. 4 B. 5 C. 6 D. 7‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．‎ - 28 -‎ ‎【详解】解：当时，，，满足进行循环的条件，‎ 当时，，满足进行循环的条件，‎ 当时，，满足进行循环的条件，‎ 当时，，不满足进行循环的条件，‎ 故输出的值4．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．‎ ‎8.若时，，则的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题得对恒成立，令，然后分别求出即可得的取值范围.‎ ‎【详解】由题得对恒成立，‎ 令，‎ 在单调递减，且，‎ 在上单调递增，在上单调递减，‎ ‎，‎ 又在单调递增，，‎ 的取值范围为.‎ 故选：D - 28 -‎ ‎【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.‎ ‎9.已知函数，.当时，则下列结论错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意，利用辅助角公式得到，且是的最大值，从而，取，即可得到，从而一一验证可得；‎ ‎【详解】解：因为，其中，，‎ ‎.当时，所以是图象的对称轴，此时，函数取得最大值，从而，取；‎ 则，，所以，故A正确；‎ ‎，则，故B正确；‎ - 28 -‎ ‎，‎ 故，即C正确；‎ 故，即D错误；‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数性质的应用，属于中档题.‎ ‎10.将正整数20分解成两个正整数的乘积有，，三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为20的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时我们定义函数，则数列的前2020项的和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】解：依题意，当为偶数时，；‎ 当为奇数时，，‎ 所以，‎ ‎，‎ ‎．‎ - 28 -‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．‎ 二、多项选择题：本题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.不选或选出的选项中含有错误选项得0分，只选出部分正确选项得3分，选出全部正确选项得5分.‎ ‎11.如图，正方体的棱长为1，是的中点，则（ ）‎ A. 直线平面 B. ‎ C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成的角为 ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可；‎ ‎【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，‎ ‎，，，‎ 所以，即，所以，故B正确；‎ ‎，，，‎ 设异面直线与所成的角为，则，又，所以，故D正确；‎ - 28 -‎ 设平面的法向量为，则，即，取，‎ 则，即，又直线平面，所以直线平面，故A正确；‎ ‎，故C错误；‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题.‎ ‎12.若双曲线：绕其对称中心旋转可得某一函数的图象，则的离心率可以是（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】AD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．‎ ‎【详解】解：当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，‎ 可得：，所以双曲线的离心率为：．‎ - 28 -‎ 当，时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：，所以斜率为：，‎ 可得：，，所以双曲线的离心率为：．‎ 故选：AD．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题.‎ 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡的相应位置.‎ ‎13.已知向量，，，则_________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由得，算出，再代入算出即可.‎ ‎【详解】，，，，解得：，‎ ‎，则.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算.‎ ‎14.在数列中，，，，则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解；‎ ‎【详解】解：因为，，，‎ 所以，即，‎ ‎，所以 ‎，所以，‎ ‎，所以 - 28 -‎ 由此可得数列的奇数项为，偶数项为、、、‎ 所以 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题.‎ ‎15.设是抛物线：的焦点，点在上，光线经轴反射后交于点，则点的坐标为___________，的最小值为__________.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设，，则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用以及基本不等式计算可得；‎ ‎【详解】解：因为，，所以，故焦点坐标为，根据抛物线的性质可得点关于轴对称的点恰在直线上，且，‎ 设，，则，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立得，化简的，‎ 所以，‎ 所以 - 28 -‎ 当且仅当时取等号，‎ 当直线斜率不存在时，点与点重合，，综上可得的最小值为 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎16.直四棱柱中，底面是边长为4的正方形，.点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图建立空间直角坐标系，，，，设，，由，则，即可得到动点的轨迹方程，连接，，则为与平面所成角，从而，即可求出 - 28 -‎ 与平面所成角的正切值的取值范围；‎ ‎【详解】解：如图建立空间直角坐标系，，，，设，则，， ‎ 因为，所以，，即，，连接，，则，所以，‎ 依题意可得面，则为与平面所成角，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题.‎ 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎17.在平面四边形中，，，.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）若，求.‎ - 28 -‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出为等边三角形，再利用余弦定理即求出的长度.‎ ‎（2）由题目已知条件，可将所要的角转化到中，再将用中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.‎ ‎【详解】解：（1）在中，由，得 ‎，，‎ 又，，‎ 所以为等边三角形，所以 在中，由余弦定理得，，‎ 即，解得 ‎（2）设，，‎ 则，,‎ 在中，，‎ 在中，根据正弦定理得，，‎ 即，‎ ‎，‎ 解得，即 - 28 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.‎ ‎18.如图1，四边形是边长为2的菱形，，为的中点，以为折痕将折起到的位置，使得平面平面，如图2.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意可得，由面面垂直的性质可得平面，从而得到，再证，即可得到平面，从而得证；‎ ‎（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦值；‎ ‎【详解】解：（1）依题意知，因为，所以，‎ 当平面平面时，‎ 平面平面，平面，‎ 所以平面，‎ - 28 -‎ 因为平面，所以，‎ 由已知，是等边三角形，且为的中点，‎ 所以，，所以，‎ 又，平面，平面，‎ 所以平面，‎ 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，，，‎ ‎，‎ 设平面的一个法向量，平面的一个法向量 由得；令，解得，，‎ 所以，‎ 由得；令，解得，，‎ 所以，‎ ‎.‎ 易得所求二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.‎ ‎19.已知是椭圆：的焦点，点在上.‎ ‎（1）求的方程；‎ ‎（2）斜率为的直线与交于，两点，当时，求直线被圆截得的弦长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，再点在椭圆上得到方程组，解得即可；‎ ‎（2）设直线的方程为，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由，解得，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得；‎ ‎【详解】解：（1）由己知得，‎ 因点在椭圆上，所以 所以，‎ 所以椭圆的方程为：‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ - 28 -‎ 联立，消去得，‎ ‎，解得，，，‎ 由，即，‎ 所以（*）.‎ 将，代入（*）式，解得，‎ 由于圆心到直线的距离为，‎ 所以直线被圆截得的弦长为.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注.‎ ‎20.冬天北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有材料、材料供选择，研究人员对附着在材料、材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.‎ - 28 -‎ ‎（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？‎ 材料 材料 合计 成功 不成功 合计 ‎（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为，第三个环节生产合格的概率为，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？‎ 附：参考公式：，其中.‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为万元/吨 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）写出列联表，根据列联表求出的观测值，结合临界值表可得；‎ ‎（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元，易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．‎ ‎【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：‎ - 28 -‎ 材料 材料 合计 成功 ‎45‎ ‎30‎ ‎75‎ 不成功 ‎5‎ ‎20‎ ‎25‎ 合计 ‎50‎ ‎50‎ ‎100‎ 的观测值，‎ 由于，‎ 故有99%的把握认为试验成功与材料有关.‎ ‎（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为万元.‎ 易知可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 则的分布列为：‎ ‎0‎ ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.4‎ ‎0.5‎ 修复费用的期望：.‎ 所以石墨烯发热膜的定价至少为万元/吨，才能实现预期的利润目标.‎ - 28 -‎ ‎【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若为的极小值点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递增区间为，递减区间为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先求出函数的导函数，记，则，分析的单调性，即可求出函数的单调性；‎ ‎（2）依题意可得，记，则.‎ 再令，则，利用导数分析的单调性，即可得到在有零点，即在单调递减，在单调递增，所以，再对分类讨论可得；‎ ‎【详解】解：（1）当时，，‎ 记，则，‎ 当时，，，‎ 所以，在单调递增，‎ 所以，‎ 因为，所以在为增函数；‎ 当时，，，所以，‎ 所以在为减函数.‎ 综上所述，的递增区间为，递减区间为.·‎ ‎（2）由题意可得，.‎ - 28 -‎ 记，则.‎ 再令，则.‎ 下面证明在有零点：‎ 令，则在是增函数，所以.‎ 又，，‎ 所以存在，，且当，，，，‎ 所以，即在为减函数，在为增函数，‎ 又，，所以，‎ 根据零点存在性定理，存在，‎ 所以当，，‎ 又，，‎ 所以，即在单调递减，在单调递增，‎ 所以.‎ ‎①当，，恒成立，所以，即为增函数，‎ 又，所以当，，为减函数，，，‎ - 28 -‎ 为增函数，是的极小值点，所以满足题意.‎ ‎②当，，令，‎ 因为，所以，‎ 故在单调递增，故，即有 故，‎ 又在单调递增，‎ 由零点存在性定理知，存在唯一实数，，‎ 当，，单调递减，即递减，‎ 所以，‎ 此时在为减函数，所以，不合题意，应舍去.‎ 综上所述，的取值范围是.‎ ‎【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，并在答题卡中涂上你所选的题号.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的方程为，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求和的极坐标方程；‎ ‎（2）过且倾斜角为的直线与交于点，与交于另一点，若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ - 28 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化；‎ ‎（2）利用极坐标方程将转化为三角函数求解即可.‎ ‎【详解】（1）因为，所以的普通方程为，‎ 又，，，‎ 的极坐标方程为，‎ 的方程即为，对应极坐标方程为.‎ ‎（2）由己知设，，则，，‎ 所以，‎ 又，，‎ 当，即时，取得最小值；‎ 当，即时，取得最大值.‎ 所以，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力.‎ ‎23.记函数的最小值为.‎ ‎（1）求的值；‎ - 28 -‎ ‎（2）若正数，，满足，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将函数转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解；‎ ‎（2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可.‎ ‎【详解】解法一：（1）‎ 当时，，‎ 当，，‎ 当时，，‎ 所以 解法二：（1）‎ 如图 - 28 -‎ 当时，‎ 解法三：（1）‎ 当且仅当即时，等号成立.‎ 当时 解法一：（2）由题意可知，，‎ 因为，，，所以要证明不等式，‎ 只需证明，‎ 因为成立，‎ 所以原不等式成立.‎ 解法二：（2）因为，，，所以，‎ ‎，‎ 又因为，‎ 所以，‎ - 28 -‎ 所以，原不等式得证.‎ 补充：解法三：（2）由题意可知，，‎ 因为，，，所以要证明不等式，‎ 只需证明，‎ 由柯西不等式得：成立，‎ 所以原不等式成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.‎ - 28 -‎ - 28 -‎