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  • 2021-06-24 发布

高三数学-泰州市2016届高三上学期第一次模拟考试数学试题

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一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.已知集合  2 1A x x ≤ ,集合  2, 1,0,1,2B    ,则 A B  ▲ . 【答案】  1,0,1 【解析】 试题分析:    2 1 = -11A x x ≤ , ,  2, 1,0,1,2B    ,则 A B   1,0,1 考点:集合运算 2.如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 1z ,若 2 1 iz z  (i 为虚数单位),则 2z  ▲ . 【答案】 2 i  【解析】 试题分析:  -1 2A , , 1 1 2z i   , 2 2 1 1 i,z ( 1 2 ) 2z z i i i iz         考点:复数运算 3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 2 2 12 x y  的实轴长为 ▲ . 【答案】 2 2 【解析】 试题分析:由双曲线方程得, 2a  ,则实轴长为 2 2 2a  考点:双曲线性质 4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方法从所有师生中 抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n  ▲ . (第 2 题) 【答案】200 【解析】 试题分析:男学生占全校总人数 800 1 200 800 600 2  ,那么100 1 , 2002 nn   考点:分层抽样 5.执行如图所示的伪代码,当输入 ,a b 的值分别为1,3 时,最后输出的 a 的值为 ▲ . 【答案】5 【解析】 试题分析:第一次循环, 1 3 4, 4 1 3, 1 1 2a b i         ,第二次循环, 4 1 5a    考点:伪代码 6.甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为 1 5 ,甲乙下成和棋的概率为 2 5 ,则乙不输棋的概率 为 ▲ . 【答案】 4 5 【解析】 试题分析:“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”,P(乙不输棋)=1-P(甲获胜)= 4 5 考点:概率 7.已知直线 ( 0)y kx k  与圆 2 2:( 2) 1C x y   相交于 ,A B 两点,若 2 55AB  ,则 k  ▲ . 【答案】 1 2 【解析】 Read , 1 While 2 1 End While Print a b i i a a b b a b i i a         (第 5 题) 试题分析:圆心  2,0C ,半径为 1,圆心到直线距离 2 2 1 kd k   ,而 2 55AB  ,得 2 2 2 2 5( ) 151 k k      ,解得 1 2k  考点:直线与圆位置关系 8.若命题“存在 2 0, 4Rx ax x a   ≤ ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ . 【答案】 (2, ) 【解析】 试题分析:由题意得 20, 16 4 0a a   V ,解得 2a  考点:命题真假 9.如图,长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,O 为 1BD 的中点,三棱锥 O ABD 的体积为 1V , 四棱锥 1 1O ADD A 的体积为 2V ,则 1 2 V V 的值为 ▲ . 【答案】 1 2 【解析】 试题分析:设长方体长宽高分别为 , ,a b c , 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1, ,3 2 2 12 3 2 6 2 Vabc abcV ab c V bc a V         考点:棱锥体积 10.已知公差为 2 的等差数列{ }na 及公比为 2 的等比数列{ }nb 满足 1 1 2 20, 0a b a b    , 则 3 3a b 的取值范围是 ▲ . 【答案】 ( , 2)  【解析】 (第 9 题) 试题分析: 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 10, 2 2 0,0 2 , 2, 2 4a b a b a b a b b b b b                 , 3 3 2 2 2 2 22 2 2 0 2 4 2a b a b a b b             ,则 3 3a b 的取值范围是 ( , 2)  考点:等差数列与等比数列综合 11.设 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x  时, ( ) 2 ln 4 x xf x   ,记 ( 5)na f n  ,则数列 { }na 的前8 项和为 ▲ . 【答案】 16 【解析】 试题分析: 1 2 3 4 5 6 7 8 4 ( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3) ( 4) 4(4) 2 ln 164 a a a a a a a a f f f f f f f f f f                             考点:奇函数性质 12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 ,A B 分别为 x 轴, y 轴上一点,且 2AB  ,若点 (2, 5)P ,则 AP BP OP    的取值范围是 ▲ . 【答案】[7,11] 考点:直线与圆位置关系 13.若正实数 ,x y 满足 2(2 1) (5 2)( 2)xy y y    ,则 1 2x y 的最大值为 ▲ . 【答案】 3 2 12  【解析】 试题分析:令 1 ,( 0)2x t ty   ,则 2 2 2(2 2) (5 2)( 2),(4 5) (8 8 ) 8 0yt y y t y t y         ,因此 2 2 2 3 2(8 8 ) 32(4 5) 0 2 4 7 0 0 1 2t t t t t               ,当 3 21 2t    时, 2 6 2 8 35 24 24 4 0 04 5 17 12 2 12 2 16 ty xt         , ,因此 1 2x y 的最大值为 3 2 12  考点:判别式法求最值 14.已知函数 π( ) sin( ) cos cos( )2 6 2 x xf x A x     (其中 A 为常数, ( π,0)   ),若实 数 1 2 3, ,x x x 满足:① 1 2 3x x x  ,② 3 1x x  2π ,③ 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x  ,则 的值 为 ▲ . 【答案】 2 3  考点:三角函数图像与性质 二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.在 ABC 中,角 ,A B 的对边分别为 ,a b ,向量 (cos ,sin ), (cos ,sin )A B B A m n . (1)若 cos cosa A b B ,求证: / /m n ; (2)若 m n , a b ,求 tan 2 A B 的值. 【答案】(1)详见解析(2) tan 12 A B  【解析】 试题分析:(1)因为 / / sin cos sin cosA A B B m n ,所以由正弦定理得 cos cos sin cos sin cosa A b B A A B B   ,得证(2)由 cos cos sin sin 0 cos( ) 0A B A B A B      m n ,又 a b 得 2A B   ,从而 tan tan 12 4 A B    试题解析:证明:(1)因为 cos cosa A b B , 所以sin cos sin cosA A B B ,所以 / /m n . ……………7 分 (2)因为 m n ,所以 cos cos sin sin 0A B A B  ,即 cos( ) 0A B  , 因为 a b ,所以 A B ,又 , (0, )A B  ,所以 (0, )A B   ,则 2A B   ,…12 分 所以 tan tan 12 4 A B    . ……………14 分 考点:正弦定理,向量平行与垂直 16.如图,在三棱锥 P ABC 中, 90PAC BAC     ,PA PB ,点 D ,F 分别为 BC , AB 的中点. (1)求证:直线 / /DF 平面 PAC ; (2)求证: PF  AD . D F C P A B 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明, 而线线平行,一般从平面几何中进行寻找,如三角形中位线性质,本题点 D ,F 分别为 BC , AB 的中点,故 / /DF AC 再应用线面平行判定定理即可(2)线线垂直证明,一般利用线 面垂直的判定及性质定理,经多次转化进行论证:先从平面几何中找垂直,∵ PA PB ,F 为 AB 的中点,∴ PF AB ,再利用线面垂直判定定理进行转化,由已知条件 AC AB 及 AC AP ,转化到 AC  平面 PAB ,再转化到 AC PF ,因此得到 PF  平面 ABC , 即 AD PF . 试题解析:证明(1)∵点 D , F 分别为 BC , AB 的中点, ∴ / /DF AC , 又∵ DF  平面 PAC , AC  平面 PAC , ∴直线 / /DF 平面 PAC . ……………6 分 (2)∵ 90PAC BAC     , ∴ AC AB , AC AP , 又∵ AB AP A , ,AB AP 在平面 PAB 内, ∴ AC  平面 PAB , ……………8 分 ∵ PF  平面 PAB ,∴ AC PF , ∵ PA PB , F 为 AB 的中点,∴ PF AB , ∵ AC PF , PF AB , AC AB A , ,AC AB 在平面 ABC 内, ∴ PF  平面 ABC , ……………12 分 ∵ AD  平面 ABC ,∴ AD PF . ……………14 分 D F C P A B 考点:线面平行判定定理,线面垂直的判定及性质定理 17.一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, 1AB  米,如图所 示.小球从 A 点出 发以 v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点 E 处后,经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的 方向弹射到落袋 区 BC 内,落点记为 F .设 AOE   弧度,小球从 A 到 F 所需时间为T . (1)试将T 表示为 的函数 ( )T  ,并写出定义域; (2)求时间T 最短时 cos 的值. F O C B A D E 【答案】(1) 1 1( ) 5 6 sin 6T v v v     , [ , ]4 4   π 3π (2) 2cos 3   【解析】 试题分析:(1)小球从 A 到 F 所需时间为T 分两段计算:  5 6 AE EF v v , ;而 AE  ,EF 必过 圆心 O,所以 11 sinEF   ,从而  1 1( ) 5 6 5 6 sin 6 AE EFT v v v v v       ,又由矩形限制 得定义域 [ , ]4 4   π 3π (2)利用导数求函数最值:先求导数 2 2 2 2 1 cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)( ) 5 6 sin 30 sin 30 sinT v v v v                 ,再求导函数零点 0 2cos 3   , 列表分析得结论当 2cos 3   时,时间T 最短. 试题解析:解:(1)过O 作OG BC 于G ,则 1OG  , 1 sin sin OGOF    , 11 sinEF   , AE  , 所以  1 1( ) 5 6 5 6 sin 6 AE EFT v v v v v       , [ , ]4 4   π 3π .……7 分 (写错定义域扣 1 分) (2) 1 1( ) 5 6 sin 6T v v v     , 2 2 2 2 1 cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)( ) 5 6 sin 30 sin 30 sinT v v v v                 ,…………9 分 记 0 2cos 3   , 0 [ , ]4 4   π 3π ,  0( , )4   0 0 3( , )4  ( )T  - 0 + ( )T    故当 2cos 3   时,时间T 最短. …………14 分 考点:函数实际问题,利用导数求函数最值 18.已知数列{ },{ }n na b 满足 2 ( 2)n n nS a b  ,其中 nS 是数列{ }na 的前 n 项和. (1)若数列{ }na 是首项为 2 3 ,公比为 1 3  的等比数列,求数列{ }nb 的通项公式; (2)若 nb n , 2 3a  ,求数列{ }na 的通项公式; (3)在(2)的条件下,设 n n n ac b  ,求证:数列{ }nc 中的任意一项总可以表示成该数 列其他两项之积. 【答案】(1) 1 2nb  (2) 1na n  (3)详见解析 【解析】 试题分析:(1)先根据等比数列通项公式得 12 1 1( ) 2( )3 3 3 n n na      ,再根据等比数列前 n 项和公式得 2 1[(1 ( ) ] 1 13 3 [(1 ( ) ]1 2 31 ( )3 n n nS         ,代入 2 ( 2)n n nS a b  得 11 ( )2 13 12 22( ) 23 n n n nn Sb a         (2)由题意得 2 2n nS na n  ,因此利用 nS 与 na 关系得 1 12 ( 1) 2n nS n a    , 1 12 ( 1) 2n n na n a na     即 1( 1) 2n nna n a    , 1 2 ( 2)1 ( 1) n na a nn n n n       ,利用累加法得 2 1 2 42[1 ] 3 11 1 1 1 1 n n n a aa n a nn n n n              (3)因为 1 n nc n  ,所以由 1 1 1n k t n k t     确定 k,t,解不定方程,首先先分离 ( 1)n kt k n   ,再根据整数性质,可 取 1k n  ,则 ( 2)t n n  . 试题解析:解:(1)因为 12 1 1( ) 2( )3 3 3 n n na      , 2 1[(1 ( ) ] 1 13 3 [(1 ( ) ]1 2 31 ( )3 n n nS         , …………2 分 所以 11 ( )2 13 12 22( ) 23 n n n nn Sb a         . …………4 分 (2)若 nb n ,则 2 2n nS na n  ,∴ 1 12 ( 1) 2n nS n a    , 两式相减得 1 12 ( 1) 2n n na n a na     ,即 1( 1) 2n nna n a    , 当 2n  时, 1( 1) ( 2) 2n nn a n a    , 两式相减得 1 1( 1) ( 1) 2( 1)n n nn a n a n a      ,即 1 1 2n n na a a   , …………8 分 又由 1 12 2S a  , 2 22 2 4S a  得 1 2a  , 2 3a  , 所以数列{ }na 是首项为 2 ,公差为3 2 1  的等差数列, 故数列{ }na 的通项公式是 1na n  . …………10 分 (3)由(2)得 1 n nc n  , 对于给定的 *n N ,若存在 *, , ,k t n k t N  ,使得 n k tc c c  , 只需 1 1 1n k t n k t     , 即 1 1 11 (1 ) (1 )n k t      ,即 1 1 1 1 n k t kt    ,则 ( 1)n kt k n   , …………12 分 取 1k n  ,则 ( 2)t n n  , ∴对数列{ }nc 中的任意一项 1 n nc n  ,都存在 1 2 1n nc n   和 2 2 22 2 1 2n n n nc n n    使得 21 2n n n nc c c   . …………16 分 考点:等比数列通项公式及前 n 项和公式,累加法求和,不定方程正整数解 19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 :O 2 2 4x y  ,椭圆 :C 2 2 14 x y  , A 为椭圆右顶点.过 原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于 ,B C 两点,直线 AB 与圆O 的另一交点为 P ,直 线 PD 与圆O 的 另一交点为Q ,其中 6( ,0)5D  .设直线 ,AB AC 的斜率分别为 1 2,k k . (1)求 1 2k k 的值; (2)记直线 ,PQ BC 的斜率分别为 ,PQ BCk k ,是否存在常数  ,使得 PQ BCk k ?若存 在,求  值;若不存在,说明理由; (3)求证:直线 AC 必过点Q . x y D Q P C AO B 【答案】(1) 1 2 1 4k k   (2) 5 2   (3)详见解析 试题解析:解:(1)设 0 0( , )B x y ,则 0 0( , )C x y  , 2 20 0 14 x y  所以 2 2 0 0 0 0 1 2 2 2 0 0 0 0 11 14 2 2 4 2 4 xy y yk k x x x x           . …………4 分 (2)联立 1 2 2 ( 2) 4 y k x x y      得 2 2 2 2 1 1 1(1 ) 4 4( 1) 0k x k x k     , 解得 2 1 1 12 2 1 1 2( 1) 4, ( 2)1 1P P P k kx y k xk k       , 联立 1 2 2 ( 2) 14 y k x x y      得 2 2 2 2 1 1 1(1 4 ) 16 4(4 1) 0k x k x k     , 解得 2 1 1 12 2 1 1 2(4 1) 4, ( 2)1 4 1 4B B B k kx y k xk k       , …………8 分 所以 1 2 1 2 4 1 B BC B y kk x k    , 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 4 1 5 6 2( 1) 6 4 1 5 1 5 P PQ P k y k kk k kx k        , 所以 5 2PQ BCk k ,故存在常数 5 2   ,使得 5 2PQ BCk k . …………10 分 (3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, 6 8( , )5 5Q   , 则 2 8 15 6 225 AQk k       ,所以直线 AC 必过点Q . 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: 1 2 1 5 6( )4 1 5 ky xk   , 联立 1 2 1 2 2 5 6( )4 1 5 4 ky xk x y        ,解得 2 1 1 2 2 1 1 2(16 1) 16,16 1 16 1Q Q k kx yk k     , 所以 1 2 1 22 1 1 2 1 16 16 1 1 2(16 1) 4216 1 AQ k kk kk k k       ,故直线 AC 必过点Q . …………16 分 (不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分) 考点:直线与圆位置关系,直线与椭圆位置关系 20.已知函数   4 21 2f x ax x  , (0, )x  ,      g x f x f x  . (1)若 0a  ,求证: (ⅰ)  f x 在 ( )f x 的单调减区间上也单调递减; (ⅱ)  g x 在 (0, ) 上恰有两个零点; (2)若 1a  ,记  g x 的两个零点为 1 2,x x ,求证: 1 24 4x x a    . 【答案】(1)(i)详见解析(ii)详见解析(2)详见解析 【解析】 试题分析:(1)(i)先确定导函数的单调减区间:因为 3( ) 4f x ax x   ,所以 ( )f x 的递 减区间为 1(0, ) 2 3a ,再确定 1(0, ) 2 3 x a  时, 3 2( ) 4 (4 1) 0f x ax x x ax      ,(ii)   4 3 2 3 21 14 0 4 1 0( 0)2 2g x ax ax x x ax ax x x           ,变量分离得 3 21 4 ( 2, 0)2 2 x x x xa x    ,利用导数研究函数 3 2 1 4( ) 2 x xx x    得当 (0,2)x 时, 1( )x 单调递增, 1( )x 值域为 (0, ) ;当 (2, )x  时, 1( )x 单调递增,且 1(4) 0  , 1( )x 值域为 ( , )  ;因此 1 ( 0)2y aa   与 1( )x 有两个交点,所以 1( )x 在 (0, ) 上恰有两个零 点.(2)由零点存在定理确定 1 2,x x 取值范围: 1 1 1 1 1 1(0) 0 ( ) ( )2 2x a       , 1 1 2 1 1 9(4) 0 ( ) ( )2 2x a       ,所以 1 10 2x  , 2 94 2x  , 1 2 1 94 5 42 2x x a       . 试题解析:证:(1)(i)因为    4 21 02f x ax x x   ,所以 3( ) 4f x ax x   , 由 3 2(4 ) 12 1 0ax x ax    得 ( )f x 的递减区间为 1(0, ) 2 3a , …………2 分 当 1(0, ) 2 3 x a  时, 3 2( ) 4 (4 1) 0f x ax x x ax      , 所以  f x 在 ( )f x 的递减区间上也递减. …………4 分 (ii)解 1:       4 2 3 4 3 21 1(4 ) 42 2g x f x f x ax x ax x ax ax x x          , 因为 0x  ,由   4 3 214 02g x ax ax x x     得 3 2 14 1 02ax ax x    , 令 3 2 1( ) 4 12x ax ax x     ,则 2 1( ) 3 8 2x ax ax    , 因为 0a  ,且 1(0) 02     ,所以 ( )x 必有两个异号的零点,记正零点为 0x ,则 0(0, )x x 时, ( ) 0x  , ( )x 单调递减; 0( , )x x  时, ( ) 0x  , ( )x 单调递增, 若 ( )x 在 (0, ) 上恰有两个零点,则 0( ) 0x  , …………7 分 由 2 0 0 0 1( ) 3 8 02x ax ax     得 2 0 0 13 8 2ax ax  , 所以 0 0 0 32 1 7( ) 9 3 9x ax x     ,又因为对称轴为 4 ,3x  所以 8 1( ) (0) 03 2      , 所以 0 8 7 3 3x   ,所以 0 0 0 32 1 7( ) ( ) 09 3 3x ax x      , 又 3 2 2 21 1 1( ) 4 1 ( 8) ( 1) 12 2 2x ax ax x ax x x ax          , 设 1 ,8 a 中的较大数为 M ,则 ( ) 0M  , 故 0a   g x 在 (0, ) 上恰有两个零点. …………10 分 解 2:       4 2 3 4 3 21 1(4 ) 42 2g x f x f x ax x ax x ax ax x x          , 因为 0x  ,由   4 3 214 02g x ax ax x x     得 3 2 14 1 02ax ax x    , 令 3 2 1( ) 4 12x ax ax x     , 若  g x 在 (0, ) 上恰有两个零点,则 ( )x 在 (0, ) 上恰有两个零点, 当 2x  时, 由 ( ) 0x  得 0a  ,此时 1( ) 12x x    在 (0, ) 上只有一个零点,不合 题意; 当 2x  时,由 3 2 1( ) 4 1 02x ax ax x      得 3 21 4 2 2 x x a x   , …………7 分 令 3 2 2 1 4 8( ) 2 42 2 x xx x xx x        , 则 2 2 1 2 2 5 72 [( ) ]2 ( 5 8) 2 4( ) 0( 2) ( 2) x xx x xx x x         , 当 (0,2)x 时, ( )x 单调递增,且由 2 82 4, 2y x x y x       值域知 ( )x 值域为 (0, ) ;当 (2, )x  时, 1( )x 单调递增,且 1(4) 0  ,由 2 82 4, 2y x x y x       值域知 ( )x 值域为 ( , )  ; 因为 0a  ,所以 1 02a  ,而 1 2y a  与 1( )x 有两个交点,所以 1( )x 在 (0, ) 上恰有两 个零点. …………10 分 (2)解 1:由(2)知,对于 3 2 1( ) 4 12x ax ax x     在 (0, ) 上恰有两个零点 1 2,x x , 不妨设 1 2x x ,又因为 (0) 1 0   , 1 1( ) (6 7 ) 02 8 a    ,所以 1 10 2x  ,……12 分 又因为 (4) 1 0    , 9 1( ) (657 10) 02 8 a    ,所以 2 94 2x  , 所以 1 2 1 94 5 42 2x x a       . …………16 分 解 2:由(2)知 3 21 4 2 2 x x a x   , 因为 [0,2)x 时, 1( )x 单调递增, 1 7( )2 12   , 1 1 1 1 1 1(0) 0 ( ) ( )2 2x a       , 所以 1 10 2x  , …………12 分 当 (2, )x  时, 1( )x 单调递增, 1 9 81( )2 20   , 1 1 2 1 1 9(4) 0 ( ) ( )2 2x a       , 所以 2 94 2x  , 所以 1 2 1 94 5 42 2x x a       . …………16 分 考点:利用导数研究函数单调性,零点存在定理 附加题 21.A(几何证明选讲,本题满分 10 分)如图,圆O 是 ABC 的外接圆,点 D 是劣弧 BC 的中 点,连结 AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点 P ,求证: PC BD PA AC  . B P D O A C 【答案】详见解析 【解析】 试题分析:由弦切角定理得 PCD PAC   ,因此 PCD ~ PAC ,从而 PC CD PA AC  ,又 等弧对等弦,所以CD BD ,即 PC BD PA AC  . 试题解析:证明:连结CD ,因为CP 为圆 O 的切线, 所以 PCD PAC   , 又 P 是公共角,所以 PCD ~ PAC , ……………5 分 所以 PC CD PA AC  , 因为点 D 是劣弧 BC 的中点,所以CD BD ,即 PC BD PA AC  . ……………10 分 考点:三角形相似,弦切角定理 21.B(矩阵与变换,本题满分 10 分)已知矩阵 1 2 5 2 M x         的一个特征值为 2 ,求 2M . 【答案】 2 6 4 5 14M      【解析】 试题分析:由矩阵特征多项式得 2 ( 1) ( 5) 0x x      一个解为 2 ,因此 3x  ,再根 据矩阵运算得 2 6 4 5 14M      试题解析:解: 2   代入 2 1 2 ( 1) ( 5) 05 2 x x x               ,得 3x  矩阵 1 2 5 32 M         ……………5 分 ∴ 2 6 4 5 14M      ……………10 分 考点:特征多项式 21.C(坐标系与参数方程,本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知直线 1 1: ( )7 2 x tC ty t      为参数 与椭圆 2 cos: ( 0)3sin x aC ay      为参数, 的一条准线的交 点位于 y 轴上,求实数 a 的值. 【答案】 2 2a  【解析】 试题分析:利用加减消元得直线 1C 普通方程:2 9x y  ,利用平方关系 2 2cos sin 1   消参数得椭圆 2C 普通方程 2 2 2 1(0 3)9 y x a a     ,得准线: 2 9 9 y a    ,因此 2 9 9 9 a   ,即 2 2a  试题解析:解:直线 1C : 2 9x y  , 椭圆 2C : 2 2 2 1(0 3)9 y x a a     , …………………………5 分 准线: 2 9 9 y a    由 2 9 9 9 a   得, 2 2a  …………………………10 分 考点:参数方程化普通方程 21.D(不等式选讲,本题满分 10 分)已知正实数 , ,a b c 满足 2 3 1a b c   ,求证: 2 4 6 271 1 1 a b c   ≥ . 【答案】详见解析 【解析】 试题分析:由均值不等式得 3 2 4 6 2 4 6 1 1 1 13a b c a b c    , 2 3 3 2 33a b ab cc   ,因此 2 4 6 1 1 1 27a b c    试题解析:证明:因为正实数 , ,a b c 满足 2 3 1a b c   , 所以 3 2 31 3 ab c ,即 2 3 1 27ab c  , …………………………5 分 所以 2 3 1 27ab c  因此, 3 2 4 6 2 4 6 1 1 1 13 27a b c a b c     ……………………10 分 考点:均值不等式 22.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4. (1)设 ABAD  ,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 9 10 50 ,求  的值; (2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 D—CB1—B 的余弦值. 【答案】(1) 1 5   或 1 3    (2) 2 3417 【解析】 试题分析:(1)利用空间向量研究线线角,先建立恰当的空间直角坐标系,设出各点坐标, 表示出向量 AC1 及向量 CD 坐标,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据线线角与向量 夹角之间关系确定等量关系,求出  的值(2)先根据方程组求出平面 1CDB 的一个法向量 及平面 1CBB 的一个法向量,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据二面角与向量夹角 之间关系,求二面角的余弦值。 试题解析:解:(1)由 AC = 3,BC = 4,AB = 5 得 090ACB  ……………1分 以 CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(3,0,0), 1C (0,0,4),B(0,4,0),设 D(x,y,z),则由 ABAD  得 (3 3 ,4 ,0)CD    ,而 1 ( 3,0,4)AC   , 根据 2 9 10 9 9| |50 5 25 18 9        解得, 1 5   或 1 3    ……………5分 (2) 1 3( ,2,0), (0,4,4)2CD CB   ,可取平面 1CDB 的一个法向量为 1 (4, 3,3)n   ; …………………………7分 而平面 1CBB 的一个法向量为 2 (1,0,0)n  ,并且 1 2,n n   与二面角 D—CB1—B 相等, 所以二面角 D—CB1—B 的余弦值为 1 2 2cos cos , 3417n n     . ………10分 (第(1)题中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分.第(2)题如果结果 相差符号扣1分.) 考点:利用空间向量研究线线角及二面角 23.已知 , N*k m ,若存在互不相等的正整数 1 2, ,a a …, ma ,使得 1 2 2 3, ,a a a a … 1 1, ,m m ma a a a 同时小于 k ,则记 ( )f k 为满足条件的 m 的最大值. (1) 求 (6)f 的值; (2) 对于给定的正整数 n ( 1)n  , (ⅰ)当 ( 2) ( 1)( 2)n n k n n     时,求 ( )f k 的解析式; (ⅱ)当 ( 1) ( 2)n n k n n    时,求 ( )f k 的解析式. 【答案】(1) (6) 2f  (2)(i) ( ) 2f k n (ii) ( ) 2 1f k n  【解析】 试题分析:(1) 阅读理解题意,具体验证:取 1 21, 2a a  , 1 2 6a a  ,满足题意,若 3 3a  , 则必有 2 3 6a a  ,不满足题意,即 (6) 2f  .(2)(i) 取一串数 ia 为: 1,2 ,2,2 1,3,2 2,n n n  …, 1, 2, , 1n n n n   ,满足题意,若 2n 1 2 1a n   ,则必有 1 ( 1)( 2)j ja a n n k     ,不满足题意,因此 ( ) 2f k n , (ii) 取一串数 ia 为: 1,2 1,2,2 2,3,2 3,n n n   …, 2, 2, 1, 1,n n n n n    ,满足题意,若 2n 2a n  ,则必有 1 ( 2)j ja a n n k    ,不满足题意,因此 ( ) 2 1.f k n  试题解析:解:(1)由题意,取 1 21, 2a a  , 1 2 6a a  ,满足题意, 若 3 3a  ,则必有 2 3 6a a  ,不满足题意, 综上所述: m 的最大值为 2 ,即 (6) 2f  . ………………4 分 (2)由题意,当 ( 1) ( 1)( 2)n n k n n     时, 设 1 {1,2,A  …, }n , 2 { 1, 2, 3,A n n n    …}, 显然, 1 1,i ia a A  时,满足 1 ( 1) ( 1)i ia a n n n n k      , ∴从集合 1A 中选出的 ia 至多 n 个,  1 2,j ja a A  时, 1 ( 1)( 2)j ja a n n k     , ∴从集合 2A 中选出的 ja 必不相邻, 又∵从集合 1A 中选出的 ia 至多 n 个, ∴从集合 2A 中选出的 ja 至多 n 个,放置于从集合 1A 中选出的 ia 之间, ∴ ( ) 2f k n , ………………6 分 (ⅰ)当 ( 2) ( 1)( 2)n n k n n     时, 取一串数 ia 为:1,2 ,2,2 1,3,2 2,n n n  …, 1, 2, , 1n n n n   , 或写成 1, 2 2 1 ,2 i i i a in i       为奇数 为偶数 ,(1 2i n  ), 此时 1 ( 2)i ia a n n k    ,(1 2 1i n   ), 2 1 1na a n k   ,满足题意, ∴ ( ) 2f k n , ………………8 分 (ⅱ)当 ( 1) ( 2)n n k n n    时, 从 1A 中选出的 n 个 ia :1,2, …,n ,考虑数 n 的两侧的空位,填入集合 2A 的两个数 ,p qa a , 不妨设 p qna na ,则 ( 2)pna n n k   ,与题意不符, ∴ ( ) 2 1f k n  , 取一串数 ia 为:1,2 1,2,2 2,3,2 3,n n n   …, 2, 2, 1, 1,n n n n n    或写成 1,2 2 ,2 i i i a in i      为奇数 为偶数 ,(1 2 1i n   ), 此时 1 ( 1)i ia a n n k    ,(1 2 2i n   ), 2 1 1na a n k   ,满足题意, ∴ ( ) 2 1f k n  , ………………10 分 (写出(ⅰ)、(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分.) 考点:新定义,构造数列