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- 2021-06-24 发布
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一、填空题:本大题共 14 个小题,每小题 5 分,共 70 分.
1.已知集合 2 1A x x ≤ ,集合 2, 1,0,1,2B ,则 A B ▲ .
【答案】 1,0,1
【解析】
试题分析: 2 1 = -11A x x ≤ , , 2, 1,0,1,2B ,则 A B 1,0,1
考点:集合运算
2.如图,在复平面内,点 A 对应的复数为 1z ,若 2
1
iz
z (i 为虚数单位),则 2z ▲ .
【答案】 2 i
【解析】
试题分析: -1 2A , , 1 1 2z i , 2
2 1
1
i,z ( 1 2 ) 2z z i i i iz
考点:复数运算
3.在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线
2
2 12
x y 的实轴长为 ▲ .
【答案】 2 2
【解析】
试题分析:由双曲线方程得, 2a ,则实轴长为 2 2 2a
考点:双曲线性质
4.某校共有教师 200 人,男学生 800 人,女学生 600 人,现用分层抽样的方法从所有师生中
抽取一个容量为 n 的样本,已知从男学生中抽取的人数为 100 人,那么 n ▲ .
(第 2 题)
【答案】200
【解析】
试题分析:男学生占全校总人数 800 1
200 800 600 2 ,那么100 1 , 2002 nn
考点:分层抽样
5.执行如图所示的伪代码,当输入 ,a b 的值分别为1,3 时,最后输出的 a 的值为 ▲ .
【答案】5
【解析】
试题分析:第一次循环, 1 3 4, 4 1 3, 1 1 2a b i ,第二次循环, 4 1 5a
考点:伪代码
6.甲乙两人下棋,若甲获胜的的概率为 1
5
,甲乙下成和棋的概率为 2
5
,则乙不输棋的概率
为 ▲ .
【答案】 4
5
【解析】
试题分析:“乙不输棋”的对立事件为“甲获胜”,P(乙不输棋)=1-P(甲获胜)= 4
5
考点:概率
7.已知直线 ( 0)y kx k 与圆 2 2:( 2) 1C x y 相交于 ,A B 两点,若 2 55AB ,则
k ▲ .
【答案】 1
2
【解析】
Read ,
1
While 2
1
End While
Print
a b
i
i
a a b
b a b
i i
a
(第 5 题)
试题分析:圆心 2,0C ,半径为 1,圆心到直线距离
2
2
1
kd
k
,而 2 55AB ,得
2
2
2
2 5( ) 151
k
k
,解得 1
2k
考点:直线与圆位置关系
8.若命题“存在 2 0, 4Rx ax x a ≤ ”为假命题,则实数 a 的取值范围是 ▲ .
【答案】 (2, )
【解析】
试题分析:由题意得 20, 16 4 0a a V ,解得 2a
考点:命题真假
9.如图,长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中,O 为 1BD 的中点,三棱锥 O ABD 的体积为 1V ,
四棱锥 1 1O ADD A 的体积为 2V ,则 1
2
V
V
的值为 ▲ .
【答案】 1
2
【解析】
试题分析:设长方体长宽高分别为 , ,a b c ,
1
1 2
2
1 1 1 1 1 1, ,3 2 2 12 3 2 6 2
Vabc abcV ab c V bc a V
考点:棱锥体积
10.已知公差为 2 的等差数列{ }na 及公比为 2 的等比数列{ }nb 满足 1 1 2 20, 0a b a b ,
则 3 3a b 的取值范围是 ▲ .
【答案】 ( , 2)
【解析】
(第 9 题)
试题分析:
1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 2 10, 2 2 0,0 2 , 2, 2 4a b a b a b a b b b b b ,
3 3 2 2 2 2 22 2 2 0 2 4 2a b a b a b b ,则 3 3a b 的取值范围是 ( , 2)
考点:等差数列与等比数列综合
11.设 ( )f x 是 R 上的奇函数,当 0x 时, ( ) 2 ln 4
x xf x ,记 ( 5)na f n ,则数列
{ }na 的前8 项和为 ▲ .
【答案】 16
【解析】
试题分析:
1 2 3 4 5 6 7 8
4
( 4) ( 3) ( 2) ( 1) (0) (1) (2) (3) ( 4)
4(4) 2 ln 164
a a a a a a a a f f f f f f f f f
f
考点:奇函数性质
12.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 ,A B 分别为 x 轴, y 轴上一点,且 2AB ,若点
(2, 5)P ,则 AP BP OP 的取值范围是 ▲ .
【答案】[7,11]
考点:直线与圆位置关系
13.若正实数 ,x y 满足 2(2 1) (5 2)( 2)xy y y ,则 1
2x y 的最大值为 ▲ .
【答案】 3 2 12
【解析】
试题分析:令 1 ,( 0)2x t ty ,则
2 2 2(2 2) (5 2)( 2),(4 5) (8 8 ) 8 0yt y y t y t y ,因此
2 2 2 3 2(8 8 ) 32(4 5) 0 2 4 7 0 0 1 2t t t t t ,当 3 21 2t
时, 2
6 2 8 35 24 24 4 0 04 5 17 12 2 12 2 16
ty xt
, ,因此 1
2x y 的最大值为 3 2 12
考点:判别式法求最值
14.已知函数 π( ) sin( ) cos cos( )2 6 2
x xf x A x (其中 A 为常数, ( π,0) ),若实
数 1 2 3, ,x x x 满足:① 1 2 3x x x ,② 3 1x x 2π ,③ 1 2 3( ) ( ) ( )f x f x f x ,则 的值
为 ▲ .
【答案】 2
3
考点:三角函数图像与性质
二、解答题 (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.在 ABC 中,角 ,A B 的对边分别为 ,a b ,向量 (cos ,sin ), (cos ,sin )A B B A m n .
(1)若 cos cosa A b B ,求证: / /m n ;
(2)若 m n , a b ,求 tan 2
A B 的值.
【答案】(1)详见解析(2) tan 12
A B
【解析】
试题分析:(1)因为 / / sin cos sin cosA A B B m n ,所以由正弦定理得
cos cos sin cos sin cosa A b B A A B B ,得证(2)由
cos cos sin sin 0 cos( ) 0A B A B A B m n ,又 a b 得
2A B ,从而
tan tan 12 4
A B
试题解析:证明:(1)因为 cos cosa A b B ,
所以sin cos sin cosA A B B ,所以 / /m n . ……………7 分
(2)因为 m n ,所以 cos cos sin sin 0A B A B ,即 cos( ) 0A B ,
因为 a b ,所以 A B ,又 , (0, )A B ,所以 (0, )A B ,则
2A B ,…12 分
所以 tan tan 12 4
A B .
……………14 分
考点:正弦定理,向量平行与垂直
16.如图,在三棱锥 P ABC 中, 90PAC BAC ,PA PB ,点 D ,F 分别为 BC ,
AB 的中点.
(1)求证:直线 / /DF 平面 PAC ;
(2)求证: PF AD .
D
F
C
P
A B
【答案】(1)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行判定定理,即从线线平行出发给予证明,
而线线平行,一般从平面几何中进行寻找,如三角形中位线性质,本题点 D ,F 分别为 BC ,
AB 的中点,故 / /DF AC 再应用线面平行判定定理即可(2)线线垂直证明,一般利用线
面垂直的判定及性质定理,经多次转化进行论证:先从平面几何中找垂直,∵ PA PB ,F
为 AB 的中点,∴ PF AB ,再利用线面垂直判定定理进行转化,由已知条件 AC AB 及
AC AP ,转化到 AC 平面 PAB ,再转化到 AC PF ,因此得到 PF 平面 ABC ,
即 AD PF .
试题解析:证明(1)∵点 D , F 分别为 BC , AB 的中点,
∴ / /DF AC ,
又∵ DF 平面 PAC , AC 平面 PAC ,
∴直线 / /DF 平面 PAC . ……………6 分
(2)∵ 90PAC BAC ,
∴ AC AB , AC AP ,
又∵ AB AP A , ,AB AP 在平面 PAB 内,
∴ AC 平面 PAB , ……………8 分
∵ PF 平面 PAB ,∴ AC PF ,
∵ PA PB , F 为 AB 的中点,∴ PF AB ,
∵ AC PF , PF AB , AC AB A , ,AC AB 在平面 ABC 内,
∴ PF 平面 ABC , ……………12 分
∵ AD 平面 ABC ,∴ AD PF . ……………14 分
D
F
C
P
A B
考点:线面平行判定定理,线面垂直的判定及性质定理
17.一个玩具盘由一个直径为 2 米的半圆 O 和一个矩形 ABCD 构成, 1AB 米,如图所
示.小球从 A 点出
发以 v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点 E 处后,经弹射器以 6v 的速度沿与点 E 切线垂直的
方向弹射到落袋
区 BC 内,落点记为 F .设 AOE 弧度,小球从 A 到 F 所需时间为T .
(1)试将T 表示为 的函数 ( )T ,并写出定义域;
(2)求时间T 最短时 cos 的值.
F
O
C
B A
D
E
【答案】(1) 1 1( ) 5 6 sin 6T v v v
, [ , ]4 4
π 3π (2) 2cos 3
【解析】
试题分析:(1)小球从 A 到 F 所需时间为T 分两段计算:
5 6
AE EF
v v
, ;而 AE ,EF 必过
圆心 O,所以 11 sinEF ,从而 1 1( ) 5 6 5 6 sin 6
AE EFT v v v v v
,又由矩形限制
得定义域 [ , ]4 4
π 3π
(2)利用导数求函数最值:先求导数
2
2 2 2
1 cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)( ) 5 6 sin 30 sin 30 sinT v v v v
,再求导函数零点
0
2cos 3
,
列表分析得结论当 2cos 3
时,时间T 最短.
试题解析:解:(1)过O 作OG BC 于G ,则 1OG ,
1
sin sin
OGOF , 11 sinEF , AE ,
所以 1 1( ) 5 6 5 6 sin 6
AE EFT v v v v v
, [ , ]4 4
π 3π .……7 分
(写错定义域扣 1 分)
(2) 1 1( ) 5 6 sin 6T v v v
,
2
2 2 2
1 cos 6sin 5cos (2cos 3)(3cos 2)( ) 5 6 sin 30 sin 30 sinT v v v v
,…………9 分
记 0
2cos 3
, 0 [ , ]4 4
π 3π ,
0( , )4
0 0
3( , )4
( )T - 0 +
( )T
故当 2cos 3
时,时间T 最短. …………14 分
考点:函数实际问题,利用导数求函数最值
18.已知数列{ },{ }n na b 满足 2 ( 2)n n nS a b ,其中 nS 是数列{ }na 的前 n 项和.
(1)若数列{ }na 是首项为 2
3
,公比为 1
3
的等比数列,求数列{ }nb 的通项公式;
(2)若 nb n , 2 3a ,求数列{ }na 的通项公式;
(3)在(2)的条件下,设 n
n
n
ac b
,求证:数列{ }nc 中的任意一项总可以表示成该数
列其他两项之积.
【答案】(1) 1
2nb (2) 1na n (3)详见解析
【解析】
试题分析:(1)先根据等比数列通项公式得 12 1 1( ) 2( )3 3 3
n n
na ,再根据等比数列前
n 项和公式得
2 1[(1 ( ) ] 1 13 3 [(1 ( ) ]1 2 31 ( )3
n
n
nS
,代入 2 ( 2)n n nS a b 得
11 ( )2 13
12 22( ) 23
n
n
n
nn
Sb a
(2)由题意得 2 2n nS na n ,因此利用 nS 与 na 关系得
1 12 ( 1) 2n nS n a , 1 12 ( 1) 2n n na n a na 即 1( 1) 2n nna n a ,
1 2 ( 2)1 ( 1)
n na a nn n n n
,利用累加法得
2 1 2 42[1 ] 3 11 1 1 1 1
n n
n
a aa n a nn n n n
(3)因为 1
n
nc n
,所以由
1 1 1n k t
n k t
确定 k,t,解不定方程,首先先分离 ( 1)n kt k n
,再根据整数性质,可
取 1k n ,则 ( 2)t n n .
试题解析:解:(1)因为 12 1 1( ) 2( )3 3 3
n n
na ,
2 1[(1 ( ) ] 1 13 3 [(1 ( ) ]1 2 31 ( )3
n
n
nS
, …………2 分
所以
11 ( )2 13
12 22( ) 23
n
n
n
nn
Sb a
. …………4 分
(2)若 nb n ,则 2 2n nS na n ,∴ 1 12 ( 1) 2n nS n a ,
两式相减得 1 12 ( 1) 2n n na n a na ,即 1( 1) 2n nna n a ,
当 2n 时, 1( 1) ( 2) 2n nn a n a ,
两式相减得 1 1( 1) ( 1) 2( 1)n n nn a n a n a ,即 1 1 2n n na a a , …………8 分
又由 1 12 2S a , 2 22 2 4S a 得 1 2a , 2 3a ,
所以数列{ }na 是首项为 2 ,公差为3 2 1 的等差数列,
故数列{ }na 的通项公式是 1na n . …………10 分
(3)由(2)得 1
n
nc n
,
对于给定的 *n N ,若存在 *, , ,k t n k t N ,使得 n k tc c c ,
只需 1 1 1n k t
n k t
,
即 1 1 11 (1 ) (1 )n k t
,即 1 1 1 1
n k t kt
,则 ( 1)n kt k n
, …………12 分
取 1k n ,则 ( 2)t n n ,
∴对数列{ }nc 中的任意一项 1
n
nc n
,都存在 1
2
1n
nc n
和 2
2
22
2 1
2n n
n nc n n
使得
21 2n n n nc c c . …………16 分
考点:等比数列通项公式及前 n 项和公式,累加法求和,不定方程正整数解
19.如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 已知圆 :O 2 2 4x y ,椭圆 :C
2
2 14
x y , A
为椭圆右顶点.过
原点O 且异于坐标轴的直线与椭圆C 交于 ,B C 两点,直线 AB 与圆O 的另一交点为 P ,直
线 PD 与圆O 的
另一交点为Q ,其中 6( ,0)5D .设直线 ,AB AC 的斜率分别为 1 2,k k .
(1)求 1 2k k 的值;
(2)记直线 ,PQ BC 的斜率分别为 ,PQ BCk k ,是否存在常数 ,使得 PQ BCk k ?若存
在,求 值;若不存在,说明理由;
(3)求证:直线 AC 必过点Q .
x
y
D
Q
P
C
AO
B
【答案】(1) 1 2
1
4k k (2) 5
2
(3)详见解析
试题解析:解:(1)设 0 0( , )B x y ,则 0 0( , )C x y ,
2
20
0 14
x y
所以
2
2 0
0 0 0
1 2 2 2
0 0 0 0
11 14
2 2 4 2 4
xy y yk k x x x x
. …………4 分
(2)联立 1
2 2
( 2)
4
y k x
x y
得 2 2 2 2
1 1 1(1 ) 4 4( 1) 0k x k x k ,
解得
2
1 1
12 2
1 1
2( 1) 4, ( 2)1 1P P P
k kx y k xk k
,
联立
1
2
2
( 2)
14
y k x
x y
得 2 2 2 2
1 1 1(1 4 ) 16 4(4 1) 0k x k x k ,
解得
2
1 1
12 2
1 1
2(4 1) 4, ( 2)1 4 1 4B B B
k kx y k xk k
, …………8 分
所以 1
2
1
2
4 1
B
BC
B
y kk x k
,
1
2
1 1
2 2
1 1
2
1
4
1 5
6 2( 1) 6 4 1
5 1 5
P
PQ
P
k
y k kk k kx
k
,
所以 5
2PQ BCk k ,故存在常数 5
2
,使得 5
2PQ BCk k . …………10 分
(3)当直线 PQ 与 x 轴垂直时, 6 8( , )5 5Q ,
则 2
8
15
6 225
AQk k
,所以直线 AC 必过点Q .
当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,直线 PQ 方程为: 1
2
1
5 6( )4 1 5
ky xk
,
联立
1
2
1
2 2
5 6( )4 1 5
4
ky xk
x y
,解得
2
1 1
2 2
1 1
2(16 1) 16,16 1 16 1Q Q
k kx yk k
,
所以
1
2
1
22
1 1
2
1
16
16 1 1
2(16 1) 4216 1
AQ
k
kk kk k
k
,故直线 AC 必过点Q . …………16 分
(不考虑直线 PQ 与 x 轴垂直情形扣 1 分)
考点:直线与圆位置关系,直线与椭圆位置关系
20.已知函数 4 21
2f x ax x , (0, )x , g x f x f x .
(1)若 0a ,求证:
(ⅰ) f x 在 ( )f x 的单调减区间上也单调递减;
(ⅱ) g x 在 (0, ) 上恰有两个零点;
(2)若 1a ,记 g x 的两个零点为 1 2,x x ,求证: 1 24 4x x a .
【答案】(1)(i)详见解析(ii)详见解析(2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)(i)先确定导函数的单调减区间:因为 3( ) 4f x ax x ,所以 ( )f x 的递
减区间为 1(0, )
2 3a
,再确定 1(0, )
2 3
x
a
时, 3 2( ) 4 (4 1) 0f x ax x x ax ,(ii)
4 3 2 3 21 14 0 4 1 0( 0)2 2g x ax ax x x ax ax x x ,变量分离得
3 21 4 ( 2, 0)2 2
x x x xa x
,利用导数研究函数
3 2
1
4( ) 2
x xx x
得当 (0,2)x 时, 1( )x
单调递增,
1( )x 值域为 (0, ) ;当 (2, )x 时, 1( )x 单调递增,且 1(4) 0 , 1( )x 值域为
( , ) ;因此 1 ( 0)2y aa
与 1( )x 有两个交点,所以 1( )x 在 (0, ) 上恰有两个零
点.(2)由零点存在定理确定 1 2,x x 取值范围: 1 1 1 1
1 1(0) 0 ( ) ( )2 2x a
,
1 1 2 1
1 9(4) 0 ( ) ( )2 2x a
,所以 1
10 2x , 2
94 2x ,
1 2
1 94 5 42 2x x a .
试题解析:证:(1)(i)因为 4 21 02f x ax x x ,所以 3( ) 4f x ax x ,
由 3 2(4 ) 12 1 0ax x ax 得 ( )f x 的递减区间为 1(0, )
2 3a
, …………2 分
当 1(0, )
2 3
x
a
时, 3 2( ) 4 (4 1) 0f x ax x x ax ,
所以 f x 在 ( )f x 的递减区间上也递减. …………4 分
(ii)解 1: 4 2 3 4 3 21 1(4 ) 42 2g x f x f x ax x ax x ax ax x x ,
因为 0x ,由 4 3 214 02g x ax ax x x 得 3 2 14 1 02ax ax x ,
令 3 2 1( ) 4 12x ax ax x ,则 2 1( ) 3 8 2x ax ax ,
因为 0a ,且 1(0) 02
,所以 ( )x 必有两个异号的零点,记正零点为 0x ,则
0(0, )x x 时, ( ) 0x , ( )x 单调递减; 0( , )x x 时, ( ) 0x , ( )x 单调递增,
若 ( )x 在 (0, ) 上恰有两个零点,则 0( ) 0x , …………7 分
由 2
0 0 0
1( ) 3 8 02x ax ax 得 2
0 0
13 8 2ax ax ,
所以 0 0 0
32 1 7( ) 9 3 9x ax x ,又因为对称轴为 4 ,3x 所以 8 1( ) (0) 03 2
,
所以 0
8 7
3 3x ,所以 0 0 0
32 1 7( ) ( ) 09 3 3x ax x ,
又 3 2 2 21 1 1( ) 4 1 ( 8) ( 1) 12 2 2x ax ax x ax x x ax ,
设 1 ,8
a
中的较大数为 M ,则 ( ) 0M ,
故 0a g x 在 (0, ) 上恰有两个零点. …………10 分
解 2: 4 2 3 4 3 21 1(4 ) 42 2g x f x f x ax x ax x ax ax x x ,
因为 0x ,由 4 3 214 02g x ax ax x x 得 3 2 14 1 02ax ax x ,
令 3 2 1( ) 4 12x ax ax x ,
若 g x 在 (0, ) 上恰有两个零点,则 ( )x 在 (0, ) 上恰有两个零点,
当 2x 时, 由 ( ) 0x 得 0a ,此时 1( ) 12x x 在 (0, ) 上只有一个零点,不合
题意;
当 2x 时,由 3 2 1( ) 4 1 02x ax ax x 得
3 21 4
2 2
x x
a x
, …………7 分
令
3 2
2
1
4 8( ) 2 42 2
x xx x xx x
,
则
2
2
1 2 2
5 72 [( ) ]2 ( 5 8) 2 4( ) 0( 2) ( 2)
x xx x xx x x
,
当 (0,2)x 时, ( )x 单调递增,且由 2 82 4, 2y x x y x
值域知
( )x 值域为 (0, ) ;当 (2, )x 时, 1( )x 单调递增,且 1(4) 0 ,由
2 82 4, 2y x x y x
值域知 ( )x 值域为 ( , ) ;
因为 0a ,所以 1 02a
,而 1
2y a
与 1( )x 有两个交点,所以 1( )x 在 (0, ) 上恰有两
个零点. …………10 分
(2)解 1:由(2)知,对于 3 2 1( ) 4 12x ax ax x 在 (0, ) 上恰有两个零点 1 2,x x ,
不妨设 1 2x x ,又因为 (0) 1 0 , 1 1( ) (6 7 ) 02 8 a ,所以 1
10 2x ,……12 分
又因为 (4) 1 0 , 9 1( ) (657 10) 02 8 a ,所以 2
94 2x ,
所以 1 2
1 94 5 42 2x x a . …………16 分
解 2:由(2)知
3 21 4
2 2
x x
a x
,
因为 [0,2)x 时, 1( )x 单调递增, 1 7( )2 12
, 1 1 1 1
1 1(0) 0 ( ) ( )2 2x a
,
所以 1
10 2x , …………12 分
当 (2, )x 时, 1( )x 单调递增, 1
9 81( )2 20
, 1 1 2 1
1 9(4) 0 ( ) ( )2 2x a
,
所以 2
94 2x ,
所以 1 2
1 94 5 42 2x x a . …………16 分
考点:利用导数研究函数单调性,零点存在定理
附加题
21.A(几何证明选讲,本题满分 10 分)如图,圆O 是 ABC 的外接圆,点 D 是劣弧 BC 的中
点,连结 AD 并延长,与以C 为切点的切线交于点 P ,求证: PC BD
PA AC
.
B
P
D
O
A
C
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:由弦切角定理得 PCD PAC ,因此 PCD ~ PAC ,从而 PC CD
PA AC
,又
等弧对等弦,所以CD BD ,即 PC BD
PA AC
.
试题解析:证明:连结CD ,因为CP 为圆 O 的切线,
所以 PCD PAC ,
又 P 是公共角,所以 PCD ~ PAC , ……………5 分
所以 PC CD
PA AC
,
因为点 D 是劣弧 BC 的中点,所以CD BD ,即 PC BD
PA AC
. ……………10 分
考点:三角形相似,弦切角定理
21.B(矩阵与变换,本题满分 10 分)已知矩阵
1 2
5
2
M
x
的一个特征值为 2 ,求 2M .
【答案】 2 6 4
5 14M
【解析】
试题分析:由矩阵特征多项式得 2 ( 1) ( 5) 0x x 一个解为 2 ,因此 3x ,再根
据矩阵运算得 2 6 4
5 14M
试题解析:解: 2 代入 2
1 2
( 1) ( 5) 05
2
x x
x
,得 3x
矩阵
1 2
5 32
M
……………5 分
∴ 2 6 4
5 14M
……………10 分
考点:特征多项式
21.C(坐标系与参数方程,本题满分 10 分)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知直线
1
1: ( )7 2
x tC ty t
为参数 与椭圆 2
cos: ( 0)3sin
x aC ay
为参数, 的一条准线的交
点位于 y 轴上,求实数 a 的值.
【答案】 2 2a
【解析】
试题分析:利用加减消元得直线 1C 普通方程:2 9x y ,利用平方关系 2 2cos sin 1
消参数得椭圆 2C 普通方程
2 2
2 1(0 3)9
y x a
a
,得准线: 2
9
9
y
a
,因此
2
9 9
9 a
,即 2 2a
试题解析:解:直线 1C : 2 9x y ,
椭圆 2C :
2 2
2 1(0 3)9
y x a
a
, …………………………5 分
准线: 2
9
9
y
a
由 2
9 9
9 a
得, 2 2a …………………………10 分
考点:参数方程化普通方程
21.D(不等式选讲,本题满分 10 分)已知正实数 , ,a b c 满足 2 3 1a b c ,求证:
2 4 6 271 1 1
a b c
≥ .
【答案】详见解析
【解析】
试题分析:由均值不等式得 3
2 4 6 2 4 6
1 1 1 13a b c a b c
, 2 3 3 2 33a b ab cc ,因此
2 4 6
1 1 1 27a b c
试题解析:证明:因为正实数 , ,a b c 满足 2 3 1a b c ,
所以 3 2 31 3 ab c ,即 2 3 1
27ab c , …………………………5 分
所以 2 3
1 27ab c
因此, 3
2 4 6 2 4 6
1 1 1 13 27a b c a b c
……………………10 分
考点:均值不等式
22.如图,在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC = 3,BC = 4,AB = 5,AA1 = 4.
(1)设 ABAD ,异面直线 AC1 与 CD 所成角的余弦值为 9 10
50
,求 的值;
(2)若点 D 是 AB 的中点,求二面角 D—CB1—B 的余弦值.
【答案】(1) 1
5
或 1
3
(2) 2 3417
【解析】
试题分析:(1)利用空间向量研究线线角,先建立恰当的空间直角坐标系,设出各点坐标,
表示出向量 AC1 及向量 CD 坐标,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据线线角与向量
夹角之间关系确定等量关系,求出 的值(2)先根据方程组求出平面 1CDB 的一个法向量
及平面 1CBB 的一个法向量,再根据向量数量积求出向量夹角,最后根据二面角与向量夹角
之间关系,求二面角的余弦值。
试题解析:解:(1)由 AC = 3,BC = 4,AB = 5 得 090ACB ……………1分
以 CA、CB、CC1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.则A(3,0,0),
1C (0,0,4),B(0,4,0),设 D(x,y,z),则由 ABAD 得 (3 3 ,4 ,0)CD ,而
1 ( 3,0,4)AC ,
根据
2
9 10 9 9| |50 5 25 18 9
解得, 1
5
或 1
3
……………5分
(2) 1
3( ,2,0), (0,4,4)2CD CB ,可取平面 1CDB 的一个法向量为 1 (4, 3,3)n ;
…………………………7分
而平面 1CBB 的一个法向量为 2 (1,0,0)n ,并且 1 2,n n 与二面角 D—CB1—B 相等,
所以二面角 D—CB1—B 的余弦值为 1 2
2cos cos , 3417n n . ………10分
(第(1)题中少一解扣1分;没有交代建立直角坐标系过程扣 1 分.第(2)题如果结果
相差符号扣1分.)
考点:利用空间向量研究线线角及二面角
23.已知 , N*k m ,若存在互不相等的正整数 1 2, ,a a …, ma ,使得 1 2 2 3, ,a a a a … 1 1, ,m m ma a a a
同时小于 k ,则记 ( )f k 为满足条件的 m 的最大值.
(1) 求 (6)f 的值;
(2) 对于给定的正整数 n ( 1)n ,
(ⅰ)当 ( 2) ( 1)( 2)n n k n n 时,求 ( )f k 的解析式;
(ⅱ)当 ( 1) ( 2)n n k n n 时,求 ( )f k 的解析式.
【答案】(1) (6) 2f (2)(i) ( ) 2f k n (ii) ( ) 2 1f k n
【解析】
试题分析:(1) 阅读理解题意,具体验证:取 1 21, 2a a , 1 2 6a a ,满足题意,若 3 3a ,
则必有 2 3 6a a ,不满足题意,即 (6) 2f .(2)(i) 取一串数 ia 为:
1,2 ,2,2 1,3,2 2,n n n …, 1, 2, , 1n n n n ,满足题意,若 2n 1 2 1a n ,则必有
1 ( 1)( 2)j ja a n n k ,不满足题意,因此 ( ) 2f k n , (ii) 取一串数 ia 为:
1,2 1,2,2 2,3,2 3,n n n …, 2, 2, 1, 1,n n n n n ,满足题意,若 2n 2a n ,则必有
1 ( 2)j ja a n n k ,不满足题意,因此 ( ) 2 1.f k n
试题解析:解:(1)由题意,取 1 21, 2a a , 1 2 6a a ,满足题意,
若 3 3a ,则必有 2 3 6a a ,不满足题意,
综上所述: m 的最大值为 2 ,即 (6) 2f . ………………4 分
(2)由题意,当 ( 1) ( 1)( 2)n n k n n 时,
设 1 {1,2,A …, }n , 2 { 1, 2, 3,A n n n …},
显然, 1 1,i ia a A 时,满足 1 ( 1) ( 1)i ia a n n n n k ,
∴从集合 1A 中选出的 ia 至多 n 个,
1 2,j ja a A 时, 1 ( 1)( 2)j ja a n n k ,
∴从集合 2A 中选出的 ja 必不相邻,
又∵从集合 1A 中选出的 ia 至多 n 个,
∴从集合 2A 中选出的 ja 至多 n 个,放置于从集合 1A 中选出的 ia 之间,
∴ ( ) 2f k n , ………………6 分
(ⅰ)当 ( 2) ( 1)( 2)n n k n n 时,
取一串数 ia 为:1,2 ,2,2 1,3,2 2,n n n …, 1, 2, , 1n n n n ,
或写成
1, 2
2 1 ,2
i
i i
a in i
为奇数
为偶数
,(1 2i n ),
此时 1 ( 2)i ia a n n k ,(1 2 1i n ), 2 1 1na a n k ,满足题意,
∴ ( ) 2f k n , ………………8 分
(ⅱ)当 ( 1) ( 2)n n k n n 时,
从 1A 中选出的 n 个 ia :1,2, …,n ,考虑数 n 的两侧的空位,填入集合 2A 的两个数 ,p qa a ,
不妨设 p qna na ,则 ( 2)pna n n k ,与题意不符,
∴ ( ) 2 1f k n ,
取一串数 ia 为:1,2 1,2,2 2,3,2 3,n n n …, 2, 2, 1, 1,n n n n n
或写成
1,2
2 ,2
i
i i
a in i
为奇数
为偶数
,(1 2 1i n ),
此时 1 ( 1)i ia a n n k ,(1 2 2i n ), 2 1 1na a n k ,满足题意,
∴ ( ) 2 1f k n , ………………10 分
(写出(ⅰ)、(ⅱ)题的结论但没有证明各给1分.)
考点:新定义,构造数列
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