浙江省湖州中学2020届高三下学期模拟测试（二）数学试题 Word版含解析 20页

- 1 - 浙江省湖州中学 2019 学年第二学期高三年级高考阶段测试二 数学 考生须知：全卷分试卷和答卷，满分为 120 分，考试时间 90 分钟. 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每个小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1. 设集合 2{ |1 4}, { | 2 3 0},      A x x B x x x 则  R A B ð （ ） A. [－1，3] B. [－1，1] C. （3，4） D. （1，2） 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合一元二次不等式的求解可得  1 3B x x    ，再由集合的补集、交集运算即可 得解. 【详解】由题意        2 2 3 0 3 1 0 1 3B x x x x x x x x            ，  1R A x x ð 或 4x  ， 所以     1 1 1,1R A B x x      ð . 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解及集合的运算，考查了运算求解能力，属于基础 题. 2. 已知 i 是虚数单位，则 2 1 i i 等于（ ） A. 1 i B. 1 i C.  1  i D.  1＋i 【答案】B 【解析】 【分析】 直接由复数代数形式的除法运算化简得答案． 【详解】      2 12 2 2 11 1 1 2 i ii i ii i i        ， - 2 - 故选 B． 【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题． 3. 已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积是 A. 1cm3 B. 2cm3 C. 3cm3 D. 6cm3 【答案】A 【解析】 【详解】 【分析】 观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角 形，右侧面也是一直角三角形． - 3 - 故体积等于 1 13 1 2 12 3      ． 4. 若 0a b ， ，则 “ ”a b 是“ 3 3 2 2a b a b ab   ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充分且必要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 试 题 分 析 ： 3 3 2 2a b a b ab   3 3 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b a b ab a a b b b a a b a b           ，显然由 “ ”a b 可以得出“ 3 3 2 2a b a b ab   ”，反之由“ 3 3 2 2a b a b ab   ”，不一定有 “ ”a b ，所以 “ ”a b 是“ 3 3 2 2a b a b ab   ”的充分非必要条件. 考点：本小题主要考查不等式的性质和充分条件、必要条件的判断. 点评：比较大小的常用方法是作差或作商，要灵活运用，要判断充分条件、必要条件，首先 要看清谁是条件谁是结论，分清楚是谁能推出谁. 5. 已知 a＞0，x，y 满足约束条件 1 { 3 ( 3) x x y y a x      ,若 z=2x+y 的最小值为 1，则 a= A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】画出不等式组表示的平面区域如图所示： 当目标函数 z=2x+y 表示的直线经过点 A 时， z 取得最小值，而点 A 的坐标为（1， 2a ），所 以 - 4 - 2 2 1a  ，解得 1 2a  ，故选 B. 【考点定位】本小题考查线性规划的基础知识，难度不大，线性规划知识在高考中一般以小 题的形式出现，是高考的重点内容之一，几乎年年必考. 6. 随机变量 X 的分布列如表所示，则 ( )D X  （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意结合分布列的性质可得 1 2a  ，由离散型随机变量的期望公式可得 ( )E X ，再由方差公 式即可得解. 【详解】由题意 1 1 11 4 4 2a     ，则 1 1 1( ) 0 2 4 24 2 4E X        ， 所以      2 2 21 1 1( ) 0 2 2 2 4 2 24 2 4D X           . 故选：B. 【点睛】本题考查了离散型随机变量分布列性质的应用及期望、方差的求解，考查了运算求 解能力，属于基础题. 7. 把函数   2cos 2 4f x x      的图象向左平移 ( 0)m m  个单位，得到函数   2sin 2 3g x x      的图象，则 m 的最小值是 ( ) A. 7 24  B. 17 24  C. 5 24  D. 19 24  【答案】B 【解析】 【分析】 - 5 - 根据三角函数的诱导公式化成同名函数，结合三角函数的图象平移关系进行求解即可． 【详解】解：把函数   2cos 2 4f x x      的图象向左平移 ( 0)m m  个单位， 得到    2cos 2 2cos 2 24 4f x x m x m               ，   5 52sin 2 2cos 2 2cos 2 2cos 23 2 3 6 6g x x x x x                                     ， 由 52 24 6m k      ，得 7 24m k    ， k Z 0m  ， 当 1k  时，m 最小，此时 7 17 24 24m     ， 故选 B． 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，根据图象平移关系以及三角函数的诱导公式 进行化简是解决本题的关键． 8. 已知 ( )y f x 为 R 上的可导函数，当 0x  时， ( )'( ) 0f xf x x   ，若 1( ) ( )F x f x x   ， 则函数 ( )F x 的零点个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 0 或 2 【答案】A 【解析】 令 ( ) ( ) ( ) 1h x xF x xf x   ， 则 ( ) ( ) ( )h x xf x f x  ． 故 由 题 设 可 知 当 0x  时 ， ( ) ( ) 0, ( ) 0xf x f x h x   ，函数 ( ) ( ) 1h x xf x  在 (0, ) 上单调递增，且 ( ) (0) 1h x h  ， 即函数 ( ) ( ) 1h x xf x  在 (0, ) 内无零点，所以函数 1( ) ( )F x f x x   在 (0, ) 内无零点； 当 0x  时， ( ) ( ) 0, ( ) 0xf x f x h x   ，函数 ( ) ( ) 1h x xf x  在 ( ,0) 上单调递减，且 ( ) (0) 1h x h  ，则函数 ( ) ( ) 1h x xf x  在 ( ,0) 内无零点，即函数 1( ) ( )F x f x x   在 ( ,0) 内无零点．综合函数 1( ) ( )F x f x x   在 ( ,0) 与 (0, ) 内均无零点，应选答案 A． 点睛：解答本题的关键是依据题设条件构设函数 ( ) ( ) ( ) 1h x xF x xf x   ，然后再借助导数 知识判断该函数的单调性，最后再运用分类整合思想推断函数方程中的零点的个数，从而使 - 6 - 得问题获解． 9. 已知向量 ,a r b  满足| |=2 , 60a a b     ， ，且 1 ( )2c a tb t R     ，则| |+ -    c c a 的最小值为 （ ） A. 9 3 4 B. 4 C. 2 13 D. 13 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意知，可设  = 2,0 ,a OA   =tb BO   ，    1,0 , 3,0C D  ，由向量的坐标运算可得 c BC  ， =c a BD   ，可转为在直线 3y x 上取一点 B，使得 BC BD 最小，利用化曲 为直的思想即可得到答案. 【详解】由题意知，可设  = 2,0 ,a OA   =tb BO   ,因为 , 60a b     ，则点 B 在直线 3y x 上 ， 如 图 ，    1,0 , 3,0C D  , 则  1 1,02 a OC     , 1 2c a tb BO OC BC           , 3 =2c a a tb OD BO BD            , 则| |+ -c c a BC BD    的最小值,可转化为在直线 3y x 上取一点 B，使得 BC BD 最 小，作点 C 关于直线 3y x 的对称点C ,则 BC BD 的最小值即为 DC ,设点  ,C x y ， 则 1 1 3 132 2 y x y x        ，解得 1 3 2 2x y  ， ， 则 221 33 0 132 2C D                 ,即最小值为 13 ， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的坐标运算及向量的几何意义，考查了化曲为直的转化思想和数形 - 7 - 结合的思想，综合性较强. 10. 如图所示，在底面为正三角形的棱台 1 1 1ABC A B C 中，记锐二面角 1A AB C  的大小 为 ，锐二面角 1B BC A  的大小为  ，锐二面角 1C AC B  的大小为 ，若    ， 则 ( ) A. 1 1 1AA BB CC  B. 1 1 1AA CC BB  C. 1 1 1CC BB AA  D. 1 1 1CC AA BB  【答案】D 【解析】 【分析】 利用二面角的定义，数形结合能求出结果． 【详解】解：棱台 1 1 1ABC A B C 的侧棱延长交于点 P 过点 P 在平面 ABC 上的射影为 H， 设 H 到 AB,BC,AC 的距离分别为 'HC HA HB ， ， ， ∵    ， - 8 - ∴ tan tan tan    ， 则 'HA HB HC＜ ＜  故 H 所在区域如图所示（点 D 为 ABC 垂心） 比较 1 1 1AA BB CC， ， 即比较 PA，PB，PC， 即比较 HA，HB，HC， 由图可知：HC>HA>HB ∴ 1 1 1CC AA BB  故选 D． 【点睛】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位 置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题． 二、填空题：本大题共 7 小题，共 36 分. 11. 已知 5 3sin , ,13 2 2         ，则 tan 4       _____， cos2  _____ 【答案】 (1). 7 17 (2). 119 169 【解析】 【分析】 由题意结合同角三角函数的关系可得 tan ，再由两角和的正切公式、二倍角的余弦公式即可 得解. 【详解】因为 5 3sin , ,13 2 2         ，所以 ,2      ， 所以 2 12cos 1 sin 13       ，所以 sin 5tan cos 12     ， - 9 - 所以 5tan tan 1 74 12tan 54 171 tan tan 14 12                 ； 2 2 5 119cos2 1 2sin 1 2 13 169            . 故答案为： 7 17 ； 119 169 . 【点睛】本题考查了同角三角函数关系、三角恒等变换的应用，考查了运算求解能力，属于 基础题. 12. 若 522 1x = 2 4 10 0 1 2 5a a x a x a x    ，则 3a 的值为________； 0 1 5| | | | + +| | = a a a _____ 【答案】 (1). 80 (2). 243 【解析】 【分析】 由题意结合二项式定理可得 522 1x 展开式的通项公式，给 r 赋值即可得 1a 、 3a 、 5a ；结 合 通 项 公 式 可 得 5a 、 3a 、 1a 为 正 数 、 4a 、 2a 、 0a 为 负 数 ， 令 1x  可 得 0 1 2 3 4 5a a a a a a     ，进而可得 0 2 4a a a  ，即可得解. 【详解】由题意二项式  522 1x 展开式的通项公式为      52 5 10 2 1 5 52 1 1 2r r rr r r r rT C x C x              ， 令10 2 6r  即 2r = 可得  5 10 2 2 5 2 6 6 5 51 2 2 80r r r rC x C x x          ， 所以 3 80a  ； 令10 2 2r  即 4r  可得  5 10 2 4 5 4 2 2 5 51 2 2 10r r r rC x C x x          ，所以 1 10a  ， 令10 2 10r  即 0r  可得  5 10 2 0 5 0 10 10 5 51 2 2 32r r r rC x C x x          ， 所以 5 32a  ， 所以 1 3 5 10 80 32 122a a a      ， 由通项公式可得当 0r  、 2r = 、 4r  时，  5 51 2r r rC    为正数，即 5a 、 3a 、 1a 为正数； - 10 - 当 1r  、 3r  、 = 5r 时，  5 51 2r r rC    为负数，即 4a 、 2a 、 0a 为负数； 令 1x  则 5 0 1 2 3 4 52 1 1a a a a a a        ， 所以 0 2 4 121a a a    ， 所以    0 1 5 1 3 5 0 2 4| | | | + +| | = 122 121 243a a a a a a a a a          . 故答案为：80；243. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化条 件、细心计算是解题关键，属于中档题. 13. 已知 , Ra b ，且 3 6 0a b   ，则 12 8 a b 的最小值为_____________. 【答案】 1 4 【解析】 【分析】 由题意首先求得 3a b 的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意 等号成立的条件. 【详解】由 3 6 0a b   可知 3 6a b   ， 且： 312 2 28 a a b b    ，因为对于任意 x ， 2 0x  恒成立， 结合均值不等式的结论可得： 3 3 6 12 2 2 2 2 2 2 4 a b a b         . 当且仅当 32 2 3 6 a b a b       ，即 3 1 a b     时等号成立. 综上可得 12 8 a b 的最小值为 1 4 . 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项 均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出 现错误． 14. 已知 1 4( ) logf x x ，  2 6logf x x ，  3 9logf x x ，若 1 2 3( ) ( ) ( )f n f m f m n   ， 则 m n =____. 【答案】 1 5 2  - 11 - 【解析】 【分析】 设 1 2 3( ) ( ) ( )f n f m f m n t    ，用含t 的式子表示出 m 、n 以及 m n ，列出关于t 的等式， 再运用换元法求解 m n 的值. 【详解】设  4 6 9log log logn m m n t    ，则 4 6 9 t t t n m m n        ，所以 4 6 9t t t  ，两边同除以 4t 得， 23 31 2 2 t t           ， 即 23 3 1 02 2 t t            ，解得 3 1 5 2 2 t      ，又 3 02 t     ，故 3 1 5 2 2 t      ， 所以 3 1 5 2 2 tm n      . 故答案为：1 5 2  . 【点睛】本题考查对数式的求值问题，其解答的本质是将对数式化为指数式，将问题转化为 指数式方程的运算问题，难度一般. 15. 设  1 2 3 4, , , 1, 0, 2x x x x   ，那么满足 1 2 3 42 4x x x x     的所有有序数组 1 2 3 4( , , , )x x x x 的组数为___________. 【答案】 45 【解析】 分类讨论： ① 1 2 3 4| | | | | | | | 2x x x x    ，则这四个数为 2,0,0,0 或 1, 1,0,0  ， 有 1 2 4 4 4 6 10C C    组； ② 1 2 3 4| | | | | | | | 3x x x x    ，则这四个数为 2, 1,0,0 或 1, 1, 1,0   ， 有 1 1 3 4 3 4 12 4 16C C C     组； ③ 1 2 3 4| | | | | | | | 4x x x x    ，则这四个数为 2,2,0,0 或 1, 1,2,0  或 1, 1, 1, 1    ， - 12 - 有 2 2 1 4 4 4 2 4 6 6 2 1 19C C C C       组； 综上可得，所有有序数组 1 2 3 4, , ,x x x x 的组数为10 16 19 45   . 点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事 情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特 殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． (2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组； ②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 16. 过双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的右焦点 2F 向其一条渐近线作垂线l ，垂足为 P，l 与另 一条渐近线交于Q 点.若 2 23F Q F P  ，则该双曲线的离心率为_______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 由 题 意 结 合 双 曲 线 的 性 质 可 设 直 线 l 的 方 程 为  ay x cb    ， 联 立 方 程 组 可 得 点 2 ,a abP c c      、点 2 2 2 2 2,a c abcQ a b a b      ，再由平面向量的知识可得 2 2 3abc ab a b c    ，化简后结 合双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】由题意可得该双曲线的渐近线方程为 by xa   ，设右焦点  2 ,0F c ， 不妨令直线l 垂直于直线 by xa  ，则直线l 的方程为  ay x cb    ， 由   by xa ay x cb       可得点 2 2 2 2 2,a c abcP a b a b       ， 因为 2 2 2 a b c ，所以点 2 ,a abP c c      ， 由   by xa ay x cb        可得点 2 2 2 2 2,a c abcQ a b a b      ， - 13 - 又 2 23F Q F P  ，所以 2 2 3abc ab a b c    即  2 2 2 2 2 23 3 3 3c a b a c a      ， 所以 2 23c a ， 所以该双曲线的离心率 2 2 3c ce a a    . 故答案为： 3 . 【点睛】本题考查了双曲线性质的应用及离心率的求解，考查了运算求解能力与转化化归思 想，属于中档题. 17. 设 n N ， na 为 ( 4) ( 1)n nx x   的展开式的各项系数之和， 3 24c t  ，t R ， 1 2 2 2 5 5n a ab            + 5 n n na     … （ x 表示不超过实数 x 的最大整数），则 2 2( ) ( )nn t b c   的 最小值为_____ 【答案】 4 25 【解析】 利用赋值法，令 1x  可得： 5 2n n na   ， 2 5 5 n n n n na nn          ， 利用数学归纳法证明：  *2 5n nn n N   ， 当 1n  时，1 2 5  成立， 假设当 n k 时不等式成立，即 2 5k kk   ，当 1n k  时：         1 1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 5 2 2 5 2 2 2 5 3 5 5 , k k k k k k k k k k k k k k                     据此可知命题  *2 5n nn n N   成立， 则 2 15 n n n  ， 21 5 n n nn n n    ， - 14 - 2 15 5 n n n n na nn n            ，故 2 2n n nb  ， 2 2( ) ( )nn t b c   的几何意义为点 2 ( , )2 n nn  ( )n *N 到点 3( ,2 )4t t 的距离， 如图所示，最小值即 (2,1) 到 32 4y x  的距离，由点到直线距离公式可得   2 2 nn t b c   的最小值为 4 25 . 点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后 根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义 的透彻理解．对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求．但是，透过现象看本质， 它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应 万变才是制胜法宝． 三、解答题：本大题共 3 小题，共 44 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 18. 已知向量 (cos , 1)2 xm   ， 2( 3sin ,cos )2 2 x xn  ，设函数 ( ) 1f x m n    ． （1）若 [0, ]2x  ， ( ) 1f x  ，求 x 的值； （2）在△ ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别是 , ,a b c 且满足 2 cos 2 3 ,b A c a  求 ( )f B 的取值范围． - 15 - 【答案】（1） 3  ；（2） 10, 2      . 【解析】 【分析】 （1）由题意结合平面向量的数量积运算、三角恒等变换可得 1( ) sin 6 2f x x       ，利用 三角函数的性质即可得解； （2）由题意结合正弦定理、三角恒等变换可得 3cos 2B  ，进而可得 0, 6B     ，利用三角 函数的图象与性质即可得解. 【详解】（1）由题意 2 3 1 cos( ) 1 3sin cos cos 1 sin 12 2 2 2 2 x x x xf x m n x            3 1 1 1sin cos sin2 2 2 6 2x x x          ， 因为 ( ) 1f x  ，所以sin 6 1 2x      ， 又 0, 2x     ，所以 ,6 6 3x         ， 所以 6 6x    即 3x  ； （2）由 2 cos 2 3b A c a  可得 2sin cos 2sin 3sinB A C A  ， 因为  C A B   ，所以  sin sin sin cos cos sinC A B A B A B    ， 所以  2sin cos 2 sin cos cos sin 3sinB A A B A B A   即 3sin 2sin cosA A B ， 由  0,A  可得 sin 0A  ，所以 3cos 2B  ，所以 0, 6B     ， 所以 ,06 6B        ， 1sin ,06 2B             ， 所以 1 1( ) sin 0,6 2 2f B B              . - 16 - 【点睛】本题考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质及正弦定理的应用，考查了运算 求解能力，属于中档题. 19. 数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 1 1a  ，  1 1 .n na S n N    ( Ⅰ ) 求通项公式 na ； ( Ⅱ ) 记 1 2 1 1 1 n n T S S S    ，求证： 3 1 22 2 nn T   ． 【答案】 ( Ⅰ 1)  2n na  ； ( Ⅱ ) 见解析 【解析】 【分析】 ( Ⅰ ) 直接利用递推关系式求出数列的通项公式． ( Ⅱ ) 利用等比数列的前 n 项和公式和放缩法求出数列的和． 【详解】解： ( Ⅰ 1) 1n na S ①   ， 当 2n  时， 1 1n na S   ② ，  ① ② 得  1 2 2n na a n   ， 又 2 1 1 2a S    ， 2 12a a  ， 数列 na 是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 12n na   ； 证明： ( Ⅱ 1) 2n na   ， 2 1n nS   ， 2n  时， 1 1 1 1 2 2n n nS   ， 1 1 2 1 111 1 1 3 14 21 1 2 21 2 n n n n T S S S              ， - 17 - 同理： 1 1 11 12 21 2 21 21 2 n n nT           ， 故： 3 1 22 2 nn T   ． 【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，等比数列的前 n 项和公式和 放缩法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 20. 已知椭圆  ： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     ，其左、右焦点分别为 1 2F F、 ，上顶点为 B ，O 为 坐标原点，过 2F 的直线l 交椭圆  于 P Q、 两点， 1 3sin 3BFO  . （1）若直线 l 垂直于 x 轴，求 1 2 PF PF 的值； （2）若 2b  ，直线 l 的斜率为 1 2 ，则椭圆  上是否存在一点 E ，使得 1F E、 关于直线 l 成 轴对称？如果存在，求出点 E 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）设直线 1l : 6y  上总存在点 M 满足 2OP OQ OM    ，当b 的取值最小时，求直线l 的倾斜角 . 【答案】(1)5；(2)不存在；(3) 5 6   . 【解析】 试题分析： （1）由题意可得 3 3 b a  ，则 2c b ，结合勾股定理可得 2 3 3PF b ， 1 5 3 3PF b ， 则 1 2 5PF PF  . （2）由题意可得椭圆  方程为 2 23 6x y  ，且 2c  ， 1 2F F、 的坐标分别为   2,0 2,0 、 ， 由对称性可求得点 E 坐标为 2 16,5 5E      ，该点不在椭圆上，则椭圆  上不存在满足题意的 点 E . - 18 - （3）由题意可得椭圆  方程为 2 2 23 3 0x y b   ，且 2c b ， 2F 的坐标为  2 ,0b ，设 直线 l 的 y 轴截距式方程  2x my b m cot   ，与椭圆方程联立有  2 2 23 2 2 0m y bmy b    ，由题意可知点 M 是线段 PQ 的中点，据此计算可得 33 6b m m        ， 当且仅当 3m   时取等号.则直线l 的倾斜角 5 6   . 试题解析： （1）因为 1 3 3sin BFO  ，则 3 3 b a  ， 即 3a b ，设椭圆的半焦距为 c ，则 2c b ，在直角 1 2PF F 中， 2 2 2 2 1 2 1PF F F PF  ， 即  222 2 24 2c PF a PF   解得 2 2 3 3 bPF ba   ， 1 5 3 3PF b  ，所以 1 2 5PF PF  . （2）由 3a b ， 2b  ，得 6a  ，因此椭圆  方程为 2 23 6x y  ，且 2c  ， 1 2F F、 的坐标分别为   2,0 2,0 、 ，直线 l 的方程为 1 12y x  ，设点 E 坐标为  1 1,x y ， 则由已知可得：  1 1 1 1 2 2 1 0 21 12 2 2 x y y x          ，解得 1 1 2 5 16 5 x y       ，而 2 22 16 7723 65 5 25               ， 即点 E  1 1,x y 不在椭圆  上， 所以，椭圆  上不存在这样的点 E ，使得 1F E、 关于直线l 成轴对称. （3）由 3a b ，得椭圆  方程为 2 2 23 3 0x y b   ，且 2c b ， 2F 的坐标为 2 ,0b ， 所以可设直线 l 的方程为  2x my b m cot   ，代入 2 2 23 3 0x y b   得：  2 2 23 2 2 0m y bmy b    ， 因为点 M 满足 2OP OQ OM    ，所以点 M 是线段 PQ 的中点， - 19 - 设 M 的坐标为 ,x y  ，则 y  1 2 2 2 2 3 y y bm m     ， 因为直线 1 : 6l y  上总存在点 M 满足 2OP OQ OM    ， 所以 2 2 63 bmy m     ，且 0m  ，所以 33 3 2 3 6b m m          ， 当且仅当 3m m    ，即 3m   时取等号.所以当 3m cot   时， 6minb  ，此时直线 l 的倾斜角 5 6   . 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： (1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦 长、斜率、三角形的面积等问题． - 20 -