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- 2021-06-16 发布
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- 1 -
太原市 2020 年高三年级模拟试题(三)
数学试卷(文科)
(考试时间:下午 3:00——5:00)
注意事项:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,第Ⅰ卷 1 至 4 页,第Ⅱ卷 5 至 8
页.
2.回答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
3.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.
4.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡相应位置上,写在本试卷上无效.
5.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合 2 2 0A x x x , 2 1 0B x x ,则 A B ( )
A. 1, B. 1 12
, C. 1 22
, D. 1 2
,
【答案】A
【解析】
【分析】
确定出集合 ,A B 中的元素后,由并集定义计算.
【详解】由题意 { | 1 2}a x x , 1{ | }2B x x ,∴ { | 1}A B x x .
故选:A.
【点睛】本题考查集合的并集运算,确定集合中的元素是解题关键.
2.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别为 120 件,80 件,60 件.为了解
它们的产品质量是否存在显著差异,用分层抽样方法抽取了一个容量为 n 的样本进行调查,其
中从乙车间的产品中抽取了 4 件,则 n ( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
【答案】D
【解析】
- 2 -
【分析】
由题意结合分层抽样的性质可得 4
120 80 60 80
n
,即可得解.
【详解】由题意 4
120 80 60 80
n
,解得 13n .
故选:D.
【点睛】本题考查了分层抽样的应用,考查了运算求解能力,牢记分层抽样的性质是解题关
键,属于基础题.
3.设复数 z 满足 1 iz z (i 为虚数单位), z 在复平面内对应的点为( x , y ),则( )
A. y x B. y x C. 2 21 1 1x y D.
2 21 1 1x y
【答案】B
【解析】
【分析】
设 ( , )z x yi x y R ,代入已知等式化简即可.
【详解】设 ( , )z x yi x y R ,∵ 1 iz z ,∴ 1x yi x yi i ,
即 2 2 2 2( 1) ( 1)x y x y ,化简得 y x .
故选:B.
【点睛】本题考查复数模的运算,直接代入复数的代数形式由模的定义化简即得.也可由模
的几何意义求解.
4.已知等差数列{ }na 的前 n 项和为 nS ,且 2 82, 10a a ,则 9S ( )
A. 45 B. 42 C. 25 D. 36
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可知 1 9 2 8a a a a+ = + ,进而代入等差数列的前 n 项和的公式即可.
【详解】由题, 1 9 2 8
9
9( ) 9( ) 9 ( 2 10) 362 2 2
a a a aS .
故选:D
- 3 -
【点睛】本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前 n 项和.
5.“ 1x ”是“ 2log 0x ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【详解】 2log 0 1x x “ 1x ”是“ 2log 0x ”的充要条件,选 C.
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生"的问题,松长三尺,竹长一尺,松日
自半,竹日自倍,松竹何日而长等,如图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a ,b 分别
为 3,1,则输出的 n 等于
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知中的程序框图可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值,模拟程序
的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案.
- 4 -
【详解】解:当 n=1 时,a=3 3 9
2 2
,b=2,满足进行循环的条件,
当 n=2 时,a 9 9 27
2 4 4
,b=4,满足进行循环的条件,
当 n=3 时,a 27 27 81
4 8 8
,b=8,满足进行循环的条件,
当 n=4 时,a 81 81 243
8 16 16
,b=16,不满足进行循环的条件,
故输出的 n 值为 4,
故选:B.
【点睛】本题考查的知识点是程序框图,当循环的次数不多,或有规律时,常采用模拟循环
的方法解答.
7.已知sin cos 2 , (0, π),则 tan =
A. 1 B. 2
2
C. 2
2
D. 1
【答案】A
【解析】
【详解】 2sin cos , 0, ,
1 2sin cos 2 ,即 sin 2 1 ,故 3
4
1tan
故选 A
8.已知向量 1 2,e e
是夹角为
3
的两个单位向量,则 1 22a e e 与 1 23 2b e e 的夹角为
( )
A.
6
B.
3
C. 2
3
D. 5
6
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合单位向量的性质、平面向量数量积的定义可得 1 2
1
2e e ,利用平面向量数量积的
运算可得 a
r
、 b
、 a b ,再利用 cos , a ba b
a b
即可得解.
- 5 -
【详解】向量 1 2,e e
是夹角为
3
的两个单位向量,
1 1e
, 2 1e
, 1 2 1 2
1cos 3 2e e e e ,
又 1 22a e e , 1 23 2b e e ,
2 2 2
1 2 1 1 2 22 4 4 7a e e e e e e ,
2 2 2
1 2 1 1 2 23 2 9 12 4 7b e e e e e e ,
2 2
1 2 1 2 1 1 2 2
72 3 2 6 2 2a b e e e e e e e e ,
7
12cos , 27 7
a ba b
a b
,
又 , 0,a b
, 2, 3a b .
故选:C.
【点睛】本题考查了单位向量的性质及平面向量数量积的应用,考查了运算求解能力,熟练
使用平面向量数量积的运算律是解题关键,属于中档题.
9.把函数 f(x)=sin2x 的图象向右平移
12
个单位后,得到函数 y=g(x)的图象.则 g(x)
的解析式是( )
A. 2
12g x sin x
B. 1 22 12g x cos x
C. 1 122 6 2g x cos x
D. 1 122 6 2g x sin x
【答案】C
【解析】
【分析】
利用函数 sin( )y A wx 的图象变换规律,即可求解,得到函数的解析式.
- 6 -
【详解】由题意,把函数 2 1 1sin cos22 2f x x x 的图象向右平移
12
个单位后,
得到函数 1 1 1 1cos[2( )] cos(2 )2 2 12 2 2 6y g x x x 的图象.
故选:C.
【点睛】本题主要考查了利用三角函数的图象变换求解三角函数的解析式,其中解答中利用
余弦的倍角公式,化简得到 f x 的解析式,再结合三角函数的图象变换求解是解答的关键,
着重考查推理与运算能力.
10.已知函数 f x 是定义在 R 上的偶函数,且在区间 0, 单调递增,若实数 a 满足
2 1
2
log log 2 1f a f a f
,则 a 的取值范围是( )
A. 1 ,12
B. 1,2 C. 1 ,22
D. 0,2
【答案】C
【解析】
【分析】
由偶函数的性质将 2 1
2
log log 2 1f a f a f
化为: 2(log ) (1)f a f ,再由 f(x)
的单调性列出不等式,根据对数函数的性质求出 a 的取值范围.
【详解】因为函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,所以 1 2 2
2
(log ) ( log ) (log )f a f a f a ,
则 2 1
2
log log 2 1f a f a f
为 2(log ) (1)f a f ,
因为函数 ( )f x 在区间 0, 上单调递增,所以 2log 1a ,解得 1 22 a ,
则 a 的取值范围是 1 ,22
,
故选:C.
【点睛】此题考查函数的奇偶性、单调性的应用,以及对数函数的性质,属于中档题.
11.设 1 2,F F 分别是双曲线
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的左右焦点若双曲线上存在点 P ,使
1 2 60F PF ,且 1 22PF PF ,则双曲线的离心率为( )
- 7 -
A. 3 B. 2 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】
由 1 22PF PF 及双曲线定义得 1PF 和 2PF (用 a 表示),然后由余弦定理得出 ,a c 的齐次
等式后可得离心率.
【详解】由题意∵ 1 22PF PF ,∴由双曲线定义得 1 2 2PF PF a ,从而得 1 4PF a ,
2 2PF a ,
在 1 2PF F 中,由余弦定理得 2 2 2(2 ) (4 ) (2 ) 2 4 2 cos60c a a a a ,化简得
3 ce a
.
故选:A.
【点睛】本题考查求双曲线的离心率,解题关键是应用双曲线定义用 a 表示出 P 到两焦点的
距离,再由余弦定理得出 ,a c 的齐次式.
12.在三棱锥 P ABC 中,PA、PB、PC 两两垂直, 1 12PA PB ,Q 是棱 BC 上一个动点,
若直线 AQ 与平面 PBC 所成角的正切的最大值为 5
2
,则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知得 PA 平面 PBC ,因此当 PQ BC 时,直线 AQ 与平面 PBC 所成角最大,此时可求
得 PQ ,从而求得 PC ,又以 , ,PA PB PC 为棱的长方体的对角线就是三棱锥 P ABC 外接球
直径,从而可求得其表面积.
【详解】∵PA 与 PB、PC 垂直,∴ PA 平面 PBC ,
∴ PQ 是 AQ 在平面 PBC 内的射影, AQP 就是直线 PA 与平面 PBC 所成的角,
由 PA 平面 PBC 得 PA PQ , tan PAAQP PQ
,要使 tan AQP 最大,则 PQ 最小,
- 8 -
显然当 PQ BC 时, PQ 最小,此时 5tan 2AQP ,
又 1PA ,∴ 2
5
PQ ,而 2PB ,∴ 4
5
BQ ,
由 PB PC ,得
2
5PBBC BQ
,从而 1PC ,
如图,以 , ,PA PB PC 为棱作出长方体,此长方体的外接球就是三棱锥 P ABC 的外接球,
外接球直径等于长方体的对角线长 2 2 2 2 2 21 2 1 6PA PB PC ,
∴球表面积为 2 264 4 ( ) 62S R .
故选:A.
【点睛】本题考查求球表面积,解题关键是要求出球的半径.由于 , ,PA PB PC 两两垂直,因
此以它们为棱作出长方体,此长方体的外接球就是三棱锥 P ABC 的外接球,长方体的对角
线就是球的直径.由此可得解.
第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第
22 题、第 23 题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
13.已知函数
1
2
2
log 0 1
( )
1 1
x x
f x
x x
< ,
> ,
则 1
8f f
_____.
【答案】8.
【解析】
【分析】
- 9 -
依题意得 f( 1
8
)=3,从而 f(f( 1
8
))=f(3),由此能求出结果.
【详解】解:∵函数
1
2
2
log 0 1
( )
1 1
x x
f x
x x
< ,
> ,
则 1
2
1 1( ) log 38 8f ;
∴ 1
8f f
f(3)=32﹣1=8.
故答案为:8.
【点睛】此题考查的是分段函数求值问题,属于基础题.
14.抛物线 2y px 经过点(1,4),则抛物线的焦点到准线的距离等于_________.
【答案】 1
8
【解析】
【分析】
由点在抛物线上可得抛物线的方程为 2 1
4x y ,结合抛物线的性质可得抛物线的准线方程与
焦点坐标,即可得解.
【详解】由点 1,4 在抛物线 2y px 上可得 4p ,
所以该抛物线方程为 2 1
4x y ,
所以该抛物线的焦点为 10,16
,准线方程为 1
16y ,
所以抛物线的焦点到准线的距离等于 1 1 1
16 16 8
.
故答案为: 1
8
.
【点睛】本题考查了抛物线方程的求解与性质的应用,考查了运算求解能力,属于基础题.
15.已知数列{ }na 的前 n 项和为 nS 且满足 2n nS a ,则数列{ }na 的通项 na _______.
【答案】
11
2
n
【解析】
- 10 -
【分析】
先求得 1n 时 1 1a ;再由 2n nS a 可得 2n 时 1 1 2n nS a ,两式作差可得
12 0n na a ,进而求解.
【详解】当 1n 时, 1 1 12 2S a a ,解得 1 1a ;
由 2n nS a ,可知当 2n 时, 1 1 2n nS a ,两式相减,得 12 0n na a ,即
1
1 ( 2)2n na a n ≥ ,
所以数列{ }na 是首项为 1 ,公比为 1
2
的等比数列,
所以
11
2
n
na
,
故答案为:
11
2
n
【点睛】本题考查由 nS 与 na 的关系求通项公式,考查等比数列的通项公式的应用.
16.对任意正整数 n ,函数 3 2( ) 2 7 cos 1f n n n n n ,若 (2) 0f ,则 的取值范围
是_________;若不等式 ( ) 0f n 恒成立,则 的最大值为_________.
【答案】 (1). 13, 2
(2). 13
2
【解析】
【分析】
将 2n 代入求解即可;当 n 为奇数时,cos 1n ,则转化 3 2( ) 2 7 1 0f n n n n ≥ 为
2 12 7n n n
≤ ,设 2 1( ) 2 7g n n n n
,由单调性求得 g n 的最小值;同理,当 n 为偶数
时 , cos 1n , 则 转 化 3 2( ) 2 7 1 0f n n n n ≥ 为 2 12 7n n n
≤ , 设
2 1( ) 2 7 ( 2)h x x x xx
≥ ,利用导函数求得 h x 的最小值,进而比较得到 的最大值.
【详解】由题, (2) 16 28 2 1 0f ≥ ,解得 13
2
≤ .
当 n 为奇数时, cos 1n ,由 3 2( ) 2 7 1 0f n n n n ≥ ,得 2 12 7n n n
≤ ,
- 11 -
而函数 2 1( ) 2 7g n n n n
为单调递增函数,所以 min( ) (1) 8g n g ,所以 8 ;
当 n 为偶数时, cos 1n ,由 3 2( ) 2 7 1 0f n n n n ≥ ,得 2 12 7n n n
≤ ,
设 2 1( ) 2 7 ( 2)h x x x xx
≥ ,
2
12, ( ) 4 7 0x h x x x
≥ , ( )h x 单调递增,
min
13( ) (2) 2h x h ,所以 13
2
≤ ,
综上可知,若不等式 ( ) 0f n 恒成立,则 的最大值为 13
2
.
故答案为:(1) 13, 2
;(2) 13
2
【点睛】本题考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想和转化思想.
三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每
个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17.垃圾分类是对垃圾进行有效处置的一种科学管理方法.太原市为推进这项工作的实施,开
展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现有甲、乙两个小区采取不同的宣传与倡导方式对各自
小区居民进行了有关垃圾分类知识的培训,并参加了评比活动,评委会随机从两个小区各选
出 20 户家庭进行评比打分,每户成绩满分为 100 分,评分后得到如下茎叶图.
(1)依茎叶图判断哪个小区的平均分高?
(2)现从甲小区不低于 80 分的家庭中随机抽取两户,求分数为 87 的家庭至少有一户被抽中
的概率;
(3)如果规定分数不低于 85 分的家庭为优秀,请填写下面的 2 2 列联表,并判断“能否在
犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关?”
甲 乙 合计
- 12 -
优秀 a b
不优秀 c d
合计
参考公式和数据:
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n a b c d .
2
0P K k
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)乙小区的平均分高;(2)3
5
;(3)填表见解析;可以在犯错误的概率不超过 0.025
的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.
【解析】
【分析】
(1)由茎叶图中数据直接判断即可得解;
(2)由题意列出所有基本事件,分别求出所有的基本事件的个数、满足要求的基本事件的个
数,再由古典概型概率公式即可得解;
(3)由题意完成列联表,代入公式求出 2K ,再与 5.024 比较即可得解.
【详解】(1)甲小区分数集中于 60~90 之间,乙小区分数集中于 80~100 之间,所以乙小区的
平均分高;
(2)记分数为 87 的家庭为 A B、 ,其他不低于 80 的家庭为 , , ,C D E F ,
则从甲小区不低于 80 分的家庭中随机抽取两户的基本事件有: ( , )A B , (A,C) , ( , )A D ,
( , )A E ,( , )A F ,( , )B C ,( , )B D ,( , )B E ,( , )B F ,( , )C D ,( , )C E ,( , )C F ,( , )D E ,
( , )D F , ( , )E F ,共 15 种;
- 13 -
分数为 87 的家庭至少有一户被抽中的基本事件有: ( , ), ( , ), ( , )A B A C A D , ( , )A E ,
( , )A F , ( , )B C , ( , )B D , ( , )B E , ( , )B F ,共 9 种;
故所求概率 9 3
15 5P ;
(3)列联表如下:
甲 乙 合计
优秀 3 10 13
不优秀 17 10 27
合计 20 20 40
2
2 40 3 10 17 10 5.584 5.02420 20 13 27K
,
因此可以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为得分是否优秀与小区宣传培训方式有关.
【点睛】本题考查了茎叶图的应用及古典概型概率的求解,考查了独立性检验的应用与运算
求解能力,属于中档题.
18.在 ABC 中,角 A , B ,C 所对的边分别为 a ,b , c ,且 cos sina b C c B .
1 求 B 的值;
2 设 BAC 的平分线 AD 与边 BC 交于点 D ,已知 17
7AD , 7cos 25A ,求b 的值.
【答案】 1
4B ; 2 sin
sin
AD ADCb C
.
【解析】
【分析】
1 利用正弦定理化简求值即可;
2 利用两角和差的正弦函数的化简公式,结合正弦定理求出b 的值.
【详解】解: 1 cos sina b C c B ,由正弦定理得:sin sin cos sin sinA B C C B ,
sin sin cos sin sinB C B C C B ,
- 14 -
sin sin cos sin sinB C B C C B ,
sin cos sin cos sin cos sin sinB C C B B C C B ,
sinCcos sin sinB C B ,
又 B ,C 为三角形内角,故sin 0B ,sin 0C ,
则 cos sin 0B B ,故 tan 1B ,
4B ;
(2) AD 平分 BAC ,设 BAD CAD x ,则 2 0,A x , 0, 2x
,
2 7cos cos2 2cos 1 25A x x , 3cos 5x ,则 2 4sin 1 cos 5x x ,
2 24sin 1 cos 25A A ,又
4B ,
则 3 3 3 17 2sin sin sin cos cos sin4 4 4 50C A A A
7 2sin sin sin sin cos cos sin4 4 4 10ADC B x x x x
在 ACD 中,由正弦定理:
sin sin
b AD
ADC C
, sin
sin
AD ADCb C
.
【点睛】本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式,二倍角公式,考查运算能力,
属于基础题.
19.如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, 1 1 1 1A B AC , D 是 1 1B C 的中点, 1 1 1 2A A A B .
(Ⅰ)求证: 1AB //平面 1ACD ;
(Ⅱ)异面直线 1AB 和 BC 所成角的余弦值为 26
13
,求几何体 1 1A B DCA 的体积.
- 15 -
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)2
【解析】
【分析】
(Ⅰ)连结 1AC 交 1AC 于点 E ,连结 DE ,证出 1/ /DE AB ,利用线面平行的判定定理即可
证出.
(Ⅱ)根据题意可求出 1 2 2AB ,在 1 1AB C 中,利用余弦定理求出 1 1 13B C ,由
1 1 1 1 1A B DCA D A AB D AA CV V V 结合三棱锥的体积公式即可求解.
【详解】
(Ⅰ)如图,连结 1AC 交 1AC 于点 E ,连结 DE ,
因为在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中,四边形 1 1AAC C 是矩形,
所以点 E 是 1AC 的中点,
因为 D 是 1 1B C 的中点,
所以 1/ /DE AB .
因为 1AB 平面 1ACD , DE 平面 1ACD ,
所以 1AB //平面 1ACD .
(Ⅱ)因为棱柱 1 1 1ABC A B C 是直三棱柱,
所以 1 1 1AA AC ,
因为 1 1 1 1A B AC , 1 1 1A A A B ,
所以 1 1 1AC B C ,
- 16 -
因为异面直线 1AB 和 BC 所成角的余弦值为 26
13
.
所以 1 1
26cos 13AB C ,
因为 1 1 1 2A A A B , 1 1 1A A A B ,
所以 1 2 2AB .
根据余弦定理,在 1 1AB C 中, 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 12 cosAC B C AB B C AB AB C ,
可得 1 1 13B C ,
因为 1 1 1 1A B AC , 1 1 2A B ,所以由勾股定理可得 1 1 3AC ,
因为 1 1 1 1C A A B , 1 1 1C A A A , 1 1 1 1A A A B A ,
所以 1 1C A 平面 1A B ,
同理 1 1A B 平面 1AC ,
所以 1 1 1 1 1A B DCA D A AB D AA CV V V
1 1 3 1 12 2 2 3 13 2 2 3 2
2 .
所以几何体 1 1A B DCA 的体积为 2.
【点睛】本题主要考查了线面平行的判定定理、三棱锥的体积公式,在证明线面平行时,需
先证线线平行,此题属于中档题.
20.已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的焦距为 2,且过点 31, 2
.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知 BMN△ 是椭圆C 的内接三角形,若坐标原点O 为 BMN△ 的重心,求点 O 到直线
MN 距离的最小值.
【答案】(1)
2 2
14 3
x y ;(2) 3
2
.
- 17 -
【解析】
【分析】
(1)由题意结合椭圆性质可得 2 2 1a b ,再结合点在椭圆上即可得解;
(2)设 ( , )B m n ,记线段 MN 中点为 D ,由重心的性质可得点 ,2 2
m nD
,按照 0n 、
0n 分类,结合点差法、点到直线的距离可得 2
3
9
d
n
,即可得解.
【详解】(1)因为椭圆C 的焦距为 2,所以 2 2 2 1c a b ,
因为椭圆C 过点 31, 2
,所以 2 2
1 9 14a b
.
解得 2 24, 3a b ,
故椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y ;
(2)设 ( , )B m n ,记线段 MN 中点为 D ,
因为O 为 BMN△ 的重心,所以 2BO OD
uuur uuur
,则点 D 的坐标为 ,2 2
m n
,
若 0n ,则| | 2m ,此时直线 MN 与 x 轴垂直,
故原点O 到直线 MN 的距离为
2
m ,即为 1;
若 0n ,此时直线 MN 的斜率存在,
设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 2 1 2,x x m y y n ,
又
2 2
1 1
2 2
2 2
14 3
14 3
x y
x y
,两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 04 3
x x x x y y y y ,
可得 1 2
1 2
3
4MN
y y mk x x n
.
故直线 MN 的方程为 3
2 4 2
n m my xn
即 2 26 8 3 4 0mx ny m n ,
- 18 -
则点O 到直线 MN 的距离为
2 2
2 2
3 4
36 64
m n
d
m n
,
将
2 2
14 3
m n 代入得 2
3
9
d
n
,
因为 20 3n ,所以 min
3
2d ;
又 3 12
,故原点O 到直线 MN 距离的最小值为 3
2
.
【点睛】本题考查了椭圆方程的求解及直线与椭圆的综合应用,考查了点差法的应用及运算
求解能力,属于中档题.
21.已知两数 ( ) lnf x x kx .
(1)当 1k 时,求函数 ( )f x 的极值点;
(2)当 0k 时,若 ( ) 0( , )bf x a a b Rx
恒成立,求 1 1ae b 的最大值.
【答案】(1)唯一的极大值点 1,无极小值点.(2)1
【解析】
【分析】
(1)求出导函数,求得 ( ) 0f x 的解,确定此解两侧导数值的正负,确定极值点;
(2)问题可变形为 ln ba x x
恒成立,由导数求出函数 ln by x x
的最小值, 0b 时,
ln by x x
无最小值,因此只有 0b ,从而得出 ,a b 的不等关系,得出所求最大值.
【详解】解:(1) ( )f x 定义域为 (0, ) ,当 1k 时,
1( ) ln , ( ) 1f x x x f x x
,
令 ( ) 0f x 得 1x ,当 ( ) 0,0 1; ( ) 0, 1f x x f x x
所以 ( )f x 在 (0,1) 上单调递增,在 (1, ) 上单调递减,
所以 ( )f x 有唯一的极大值点 1x ,无极小值点.
(2)当 0k 时, ( ) lnb bf x a x ax x
.
若 ( ) 0,( , )bf x a a b Rx
恒成立,则 ln 0( , )bx a a b Rx
恒成立,
- 19 -
所以 ln ba x x
恒成立,
令 ln by x x
,则 2
x by x
,由题意 0b ,函数在 (0, )b 上单调递减,在 ( , )b 上单调
递增,
所以 ln 1a b ,所以 1 lna b
所以 1ae b
,
所以 1 1 1ae b ,
故 1 1ae b 的最大值为 1.
【点睛】本题考查用导数求函数极值,研究不等式恒成立问题.在求极值时,由 ( ) 0f x 确
定的 0x 不一定是极值点,还需满足在 0x 两侧 ( )f x 的符号相反.不等式恒成立深深转化为求
函数的最值,这里分离参数法起关键作用.
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一
题计分.作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑,
【选修 4-4:坐标系与参数方程】
22.已知曲线C 的极坐标方程是 6cos 0 ,以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立
平面直角坐标系,直线 l 过点 0,2M ,倾斜角为 3 π4
.
(1)求曲线C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程;
(2)设直线 l 与曲线C 交于 A , B 两点,求 1 1
MA MB
的值.
【答案】(1) 2 2( 3) 9x y ,
2
2
22 2
x t
y t
( t 为参数);(2) 5 2
4
.
【解析】
【分析】
(1)将曲线C 的极坐标方程两边同乘 ,根据公式即可化简为直角坐标方程;根据已知信息,
直接写出直线的参数方程,整理化简即可;
(2)联立曲线C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程,得到关于 t 的一元二次方程,根据直
- 20 -
线参数方程中参数的几何意义,求得结果.
【详解】(1)因为 6cos ,所以 2 6 cos ,
所以 2 2 6x y x ,即曲线 C 的直角坐标方程为: 2 2( 3) 9x y ,
直线 l 的参数方程
3πcos 4
3π2 sin 4
x t
y t
( t 为参数),
即
2
2
22 2
x t
y t
( t 为参数).
(2)设点 A , B 对应的参数分别为 1t , 2t ,
将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,
得 2 22 2( 3) (2 ) 92 2t t ,
整理,得 2 4 05 2t t ,
所以 1 2
1 2
5 2
· 4
t t
t t
,
因为 1 2 1 2 210, 0, 0, 0t tt t t t
所以 1 2MA MB t t 1 2( )t t =5 2 ,
MA MB 1 2t t =4,
所以 1 1
MA MB
=
MA MB
MA MB
5 2
4
.
【点睛】本题考查将极坐标方程转化为直角坐标方程,以及直线参数方程的求解,涉及利用
直线参数方程中参数的几何意义求解问题,属综合基础题.
【选修 4-5:不等式选讲】
23.已知函数 1 2f x x x a .
(1)若 1a ,解不等式 4f x ;
- 21 -
(2)对任意的实数 m,若总存在实数 x,使得 2 2 4m m f x ,求实数 a 的取值范围.
【答案】(1) 3 5,2 2
(2) 2,1
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组,最后求并集得结果;
(2)先根据绝对值三角不等式得 f x 值域,再根据二次函数性质得值域,最后根据两个值
域关系列不等式,解得结果.
【详解】解:(1)当 1a 时, 4 1 2 4f x x x ,
化为 1
2 3
x
x
或 1 2
3 4
x
或 2
2 1 4
x
x
,
解得 3 12 x 或 1 2x 或 52 2x ,
∴ 3 5
2 2x .即不等式 4f x 的解集为 3 5,2 2
.
(2)根据题意,得 2 2 4m m 的取值范围是 f x 值域的子集.
22 2 4 1 3 3m m m ,
又由于 1 2 2 1f x x x a a ,∴ f x 的值域为 2 1 ,a
故 2 1 3a ,∴ 2 1a .即实数 a 的取值范围为 2,1
【点睛】本题考查分类讨论求解含绝对值不等式、绝对值三角不等式、方程恒有解问题,考
查综合分析求解能力,属中档题.
- 22 -
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