2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：模块综合评估1 10页

模块综合评估(一) 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题(本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小 题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．sin585°的值为( A ) A．－ 2 2 B. 2 2 C．－ 3 2 D． 3 2 解析：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－ 2 2 . 2．若角β的终边经过点 P(a,2a)(a≠0)，则 cosβ等于( A ) A．± 5 5 B.2 5 5 C．±2 5 5 D．－2 5 5 解析：根据三角函数定义：cosβ＝x r ＝ a a2＋4a2 ＝ a 5|a| ，当 a>0 时，cosβ＝ 5 5 ，当 a<0 时，cosβ＝－ 5 5 ，故选 A. 3．已知 cosα－sinα＝ 2 4 ，则 sin2α的值为( C ) A.1 8 B．－1 8 C.7 8 D．－7 8 解析：将已知等式两边平方可得 1－sin2α＝1 8 ，∴sin2α＝7 8. 4．把函数 y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移π 6 个单位长 度，再将所得的图像的横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)，则最后 得到的图像所表示的函数是( D ) A．y＝sin(1 2x＋π 6) B．y＝sin(1 2x＋ π 12) C．y＝sin(2x＋π 3) D．y＝sin(2x＋π 6) 解析：y＝sinx(x∈R)的图像上所有的点向左平移π 6 个单位长度， 得到函数 y＝sin(x＋π 6)的图像，再将所得的图像的横坐标缩短到原来 的1 2 倍(纵坐标不变)，则最后得到的图像所表示的函数是 y＝sin(2x＋ π 6)． 5．向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)，则△ABC 的形状为 ( C ) A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 解析：由于向量BA→＝(4，－3)，向量BC→＝(2，－4)．所以AC→＝BC→ －BA→＝(－2，－1)，所以AC→·BC→＝0.又|AC→|≠|BC→ |.所以△ABC 为直角 非等腰三角形．故选 C. 6．若 f(x)＝tan(x＋π 4)，则( A ) A．f(0)>f(－1)>f(1) B．f(0)>f(1)>f(－1) C．f(1)>f(0)>f(－1) D．f(－1)>f(0)>f(1) 解析：f(x)＝tan(x＋π 4)在(－3π 4 ，π 4)上是增函数，且 f(1)＝f(1－π)．又 －3π 4 <1－π<－1<0<π 4 ，∴f(1－π)0，点 P 在线段 AB 上，且AP→＝tAB→(0≤t≤1)，则OA→ ·OP→ 的最大 值为( D ) A．a B．2a C．3a D．a2 解析：OA→ ·OB→ ＝0，由AP→＝tAB→，得OP→ －OA→ ＝tOB→ －tOA→ ，∴OP→ ＝ (1－t)OA→ ＋tOB→ .代入OA→ ·OP→ 中求得． 10．已知向量OA→ ＝(cosα，sinα)，将向量OA→ 绕坐标原点 O 逆时针 旋转θ角得到向量OB→ (0°<θ<90°)，则下列说法不正确的是( A ) A．|OA→ ＋OB→ |＝|OA→ －OB→ | B．|OA→ ＋OB→ |>|OA→ －OB→ | C．(OA→ ＋OB→ )⊥(OA→ －OB→ ) D．OA→ ，OB→ 在OA→ ＋OB→ 方向上的 投影相等 解析：由题意可知，以OA→ ，OB→ 所在线段为一组邻边可构造边长 为 1 的菱形，且OA→ ＋OB→ ，OA→ －OB→ 所在线段为菱形的对角线，又θ角 为锐角，所以 B，C，D 正确，A 不正确． 二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请把答案 填写在题中横线上) 11．已知 cos(7π 8 －α)＝1 5 ，则 cos(π 8 ＋α)＝－1 5. 解析：因为 cos(7π 8 －α)＝1 5 ，所以 cos(π 8 ＋α)＝cos[π－(7π 8 －α)]＝ －cos(7π 8 －α)＝－1 5. 12．已知向量 a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，若 a∥b，则|b|＝2 5. 解析：因为 a＝(1，－2)，b＝(－2，x)，且 a∥b，所以 1·x－(－ 2)×(－2)＝0，所以 x＝4，b＝(－2,4)，所以|b|＝ －22＋42＝2 5. 13．函数 f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<2π)的图像的一部分 如图所示，则 f(x)的表达式为 f(x)＝ 2cos 2x＋π 4 . 解析：由题图知 A＝ 2，3T 4 ＝7π 8 －π 8 ＝3π 4 ，T＝π，则由ω>0 知ω ＝2π T ＝2，则 f(x)＝ 2cos(2x＋φ)． 根据 2×π 8 ＋φ＝π 2 ＋2kπ(k∈Z)及 0<φ<2π，得φ＝π 4 ，故 f(x)＝ 2cos 2x＋π 4 . 14．若两个向量 a 与 b 的夹角为θ，则称向量“a×b”为向量的 “外积”，其长度为|a×b|＝|a||b|sinθ.若已知|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4， 则|a×b|＝3. 解析：∵|a|＝1，|b|＝5，a·b＝－4，∴a·b＝|a||b|·cosθ＝－4，∴ 5cosθ＝－4，∴cosθ＝－4 5. 又θ∈[0，π]，∴sinθ＝ 1－cos2θ＝ 1－ －4 5 2＝3 5 ，∴|a×b|＝ |a||b|sinθ＝1×5×3 5 ＝3. 15．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝ 2，BC＝2，点 E 为 BC 的中 点，点 F 在边 CD 上，若AB→·AF→＝ 2，则AE→·BF→的值是 2. 解析：如图，由AB→·AF→＝ 2，得|AB→|·|AF→|·cos∠FAB＝ 2，由矩形 的性质，得|AF→|·cos∠FAB＝DF. ∵AB＝ 2，∴ 2·DF＝ 2，∴DF＝1，∴CF＝ 2－1.记AE→和BF→ 之间的夹角为θ，∠AEB＝α，∠FBC＝β，则θ＝α＋β. 又∵BC＝2，点 E 为 BC 的中点，∴BE＝1. ∴ AE→ · BF→ ＝ | AE→ |·| BF→ |·cosθ ＝ | AE→ |·| BF→ |·cos(α ＋ β) ＝ |AE→|·|BF→|·(cosαcosβ－sinαsinβ) ＝|AE→|cosα·|BF→|·cosβ－|AE→|sinα·|BF→|sinβ＝BE·BC－AB·CF＝1×2 － 2( 2－1)＝ 2. 三、解答题(本大题共 6 小题，共 75 分．解答应写出文字说明， 证明过程或演算步骤) 16．(本小题 12 分)已知 tanα＝2，α∈(π，3π 2 )． (1)求 sinα，cosα的值； (2)求 sinπ＋α＋2sin3π 2 ＋α cos3π－α＋1 的值． 解：(1)由 tanα＝2，α∈(π，3π 2 )，且联立 sin2α＋cos2α＝1，得 sinα ＝－2 5 5 ，cosα＝－ 5 5 ； (2)原式＝－sinα－2cosα －cosα＋1 ＝ 2 5 5 ＋2 5 5 5 5 ＋1 ＝ 4 5＋1 ＝ 5－1. 17．(本小题 12 分)已知α是第三象限角，化简 1＋sinα 1－sinα － 1－sinα 1＋sinα. 解：因为α是第三象限角，所以 1＋sinα>0,1－sinα>0，cosα<0， 所 以 1＋sinα 1－sinα － 1－sinα 1＋sinα ＝ 1＋sinα2 1－sinα1＋sinα － 1－sinα2 1＋sinα1－sinα ＝ 1＋sinα2 1－sin2α － 1－sinα2 1－sin2α ＝ 1＋sinα2 cos2α － 1－sinα2 cos2α ＝ |1＋sinα cosα | － |1－sinα cosα | ＝ － 1＋sinα cosα ＋ 1－sinα cosα ＝ －2sinα cosα ＝－2tanα. 18．(本小题 12 分)已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求 a 与 b 的夹角θ； (2)求|a＋b|. 解：(1)已知(2a－3b)·(2a＋b)＝61，即 4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.将|a| ＝4，|b|＝3 代入上式，得 64－4a·b－27＝61，所以 a·b＝－6，所以 cosθ＝ a·b |a||b| ＝ －6 4×3 ＝－1 2.又因为 0≤θ≤π，所以θ＝2 3π. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16－12＋9＝13，所以|a＋b|＝ 13. 19．(本小题 12 分)已知函数 f(x)＝x2＋2xsinθ－1，x∈[－ 3 2 ，1 2]． (1)当θ＝π 6 时，求 f(x)的最大值和最小值． (2)若 f(x)在 x∈[－ 3 2 ，1 2]上是单调函数，且θ∈[0,2π)，求θ的取 值范围． 解：(1)当θ＝π 6 时，f(x)＝x2＋x－1＝(x＋1 2)2－5 4 ，x∈[－ 3 2 ，1 2]， f(x)在[－ 3 2 ，－1 2]上单调递减，在[－1 2 ，1 2]上单调递增． 故当 x＝－1 2 时，f(x)取得最小值－5 4 ；当 x＝1 2 时，f(x)取得最大值 －1 4. (2)若 f(x)在 x∈[－ 3 2 ，1 2]上是单调函数，则有－sinθ≤－ 3 2 或－ sinθ≥1 2 ，又θ∈[0,2π)，解得π 3 ≤θ≤2π 3 或7π 6 ≤θ≤11π 6 .故θ的取值范围为 [π 3 ，2π 3 ]∪[7π 6 ，11π 6 ]． 20．(本小题 13 分)已知△ABC 中，A(2，－1)，B(3,2)，C(－3， －1)，BC 边上的高为 AD.求： (1)点 D 的坐标； (2)向量AD→ . 解：(1)如图，设 D(x，y)， 则AD→ ＝(x－2，y＋1)，BC→＝(－6，－3)， CD→ ＝(x＋3，y＋1)，DB→ ＝(3－x,2－y)， 由AD→ ⊥BC→得－6(x－2)＋(－3)(y＋1)＝0， ① 由CD→ 与DB→ 共线得(x＋3)(2－y)＝(y＋1)(3－x)， ② 联立①②解得 x＝1，y＝1，所以 D(1,1)． (2)由AD→ ＝(x－2，y＋1)得AD→ ＝(－1,2)． 21．(本小题 14 分)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(x1， y1)在单位圆 O 上，∠xOA＝α，且α∈ π 6 ，π 2 . (1)若 cos α＋π 3 ＝－11 13 ，求 x1 的值； (2)若 B(x2，y2)也是单位圆 O 上的点，且∠AOB＝π 3.过点 A、B 分 别作 x 轴的垂线，垂足为 C、D，记△AOC 的面积为 S1，△BOD 的 面积为 S2.设 f(α)＝S1＋S2，求函数 f(α)的最大值． 解：(1)由三角函数的定义有 x1＝cosα，因为 cos α＋π 3 ＝－11 13 ，α ∈ π 6 ，π 2 ，所以 sin α＋π 3 ＝4 3 13 ， 所以 x1＝cosα＝cos α＋π 3 －π 3 ＝cos α＋π 3 cosπ 3 ＋sin α＋π 3 sinπ 3 ＝ －11 13 ×1 2 ＋4 3 13 × 3 2 ＝ 1 26. (2)由 y1＝sinα，得 S1＝1 2x1y1＝1 2cosαsinα＝1 4sin2α.由定义得 x2＝ cos α＋π 3 ，y2＝sin α＋π 3 . 又由 α∈ π 6 ，π 2 ，得 α ＋π 3 ∈ π 2 ，5π 6 ，于 是 S2 ＝－ 1 2x2y2 ＝－ 1 2cos α＋π 3 sin α＋π 3 ＝－1 4sin 2α＋2π 3 ， 所 以 f(α) ＝ S1 ＋ S2 ＝ 1 4 sin2α － 1 4 sin 2α＋2π 3 ＝ 1 4 sin2α － 1 4 sin2αcos2π 3 ＋cos2αsin2π 3 ＝3 8sin2α－ 3 8 cos2α ＝ 3 4 3 2 sin2α－1 2cos2α ＝ 3 4 sin 2α－π 6 . 由α∈ π 6 ，π 2 ，可得 2α－π 6 ∈ π 6 ，5π 6 . 于是当 2α－π 6 ＝π 2 ，即α＝π 3 时，f(α)max＝ 3 4 .