高考数学总复习第八章立体几何课时规范练40直线、平面平行的判定与性质理新人教A版 10页

课时规范练 40 直线、平面平行 的判定与性质 一、基础巩固组 1. 如图,三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G,H 分别 为 AC,BC 的中点.求证:BD∥平面 FGH. 2. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA 是四棱锥 P-ABCD 的高,PA=AB=2,点 M,N,E 分别是 PD,AD,CD 的中点. (1)求证:平面 MNE∥平面 ACP; (2)求四面体 A-MBC 的体积. 3.一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示. (1)请将字母 F,G,H 标记在正方体相应的顶点处(不需说明理 由); (2)判断平面 BEG 与平面 ACH 的位置关系,并证明你的结论. 4. 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC⊥AB,AB=2AA1,M 是 AB 的中点,△A1MC1 是等腰三角形,D 为CC1 的中 点,E 为 BC 上一点. (1)若 BE=3EC,求证:DE∥平面 A1MC1; (2)若 AA1=1,求三棱锥 A-MA1C1 的体积. 5. 如图,在多面体 ABCDE 中,平面 ABE⊥平面 ABCD,△ABE 是等边三角形,四边形 ABCD 是直角梯形,AB⊥ AD,AB⊥BC,AB=AD= BC=2,M 是 EC 的中点. (1)求证:DM∥平面 ABE; (2)求三棱锥 M-BDE 的体积. 〚导学号 21500748〛 二、综合提升组 6. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,点 E 在线段 B1C1 上,B1E=3EC1,试探究:在 AC 上是否存在点 F, 满足 EF∥ 平面 A1ABB1?若存在,请指出点 F 的位置,并给出证明;若不存在,请说明理由. 7. 如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 ACC1A1⊥底面 ABC,∠A1AC=60°,AC=2AA1=4,点 D,E 分别是 AA1,BC 的中点. (1)证明:DE∥平面 A1B1C; (2)若 AB=2,∠BAC=60°,求三棱锥 A1-BDE 的体积. 〚导学号 21500749〛 8. 在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,△ABC 是正三角形,AC 与 BD 的交点 M 恰好是 AC 中点,又 PA=AB=4,∠CDA=120°,点 N 在线段 PB 上,且 PN= . (1)求证:MN∥平面 PDC; (2)求点 C 到平面 PBD 的距离. 三、创新应用组 9. 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D 是 AA1 的中点,E 为 BC 的中点. (1)求证:直线 AE∥平面 BC1D; (2)若三棱柱 ABC-A1B1C1 是正三棱柱,AB=2,AA1=4,求点 E 到平面 BC1D 的距离. 10. 如图,已知正方形 ABCD 的边长为 6,点 E,F 分别在边 AB,AD 上,AE=AF=4,现将△AEF 沿线段 EF 折起 到△A'EF 位置,使得 A'C=2 . (1)求五棱锥 A'-BCDFE 的体积; (2)在线段 A'C 上是否存在一点 M,使得 BM∥平面 A'EF?若存在,求 A'M;若不存在,请说明理由. 〚导学号 21500750〛 课时规范练 40 直线、平面平行的判定与性质 1.证法一 连接 DG,CD,设 CD∩GF=M.连接 MH. 在三棱台 DEF-ABC 中,AB=2DE,G 为 AC 的中点,可得 DF∥GC,DF=GC, 所以四边形 DFCG 为平行四边形. 则 M 为 CD 的中点. 又 H 为 BC 的中点, 所以 HM∥BD,又 HM⊂平面 FGH,BD⊄ 平面 FGH, 所以 BD∥平面 FGH. 证法二 在三棱台 DEF-ABC 中,由 BC=2EF,H 为 BC 的中点,可得 BH∥EF,BH=EF, 所以四边形 HBEF 为平行四边形,可得 BE∥HF. 在△ABC 中,G 为 AC 的中点,H 为 BC 的中点, 所以 GH∥AB. 又 GH∩HF=H, 所以平面 FGH∥平面 ABED. 因为 BD⊂平面 ABED, 所以 BD∥平面 FGH. 2.(1)证明 ∵M,N,E 分别是 PD,AD,CD 的中点,∴MN∥PA, 又 MN⊄ 平面 ACP,∴MN∥平面 ACP,同理 ME∥平面 ACP,又∵MN∩ME=M,∴平面 MNE∥平面 ACP. (2)解 ∵PA 是四棱锥 P-ABCD 的高,由 MN∥PA 知 MN 是三棱锥 M-ABC 的高,且 MN= PA=1, ∴VA-MBC=VM-ABC= S△A BC·MN = 2×2×1= 3.解 (1)点 F,G,H 的位置如图所示. (2)平面 BEG∥平面 ACH.证明如下: 因为 ABCD-EFGH 为正方体, 所以 BC∥FG,BC=FG, 又 FG∥EH,FG=EH, 所以 BC∥EH,BC=EH, 于是四边形 BCHE 为平行四边形. 所以 BE∥CH. 又 CH⊂平面 ACH,BE⊄ 平面 ACH,所以 BE∥平面 ACH. 同理 BG∥平面 ACH. 又 BE∩BG=B,所以平面 BEG∥平面 ACH. 4.(1)证明 如图 1,取 BC 中点为 N,连接 MN,C1N, ∵M 是 AB 中点,∴MN∥AC∥A1C1,∴M,N,C1,A1 共面. ∵BE=3EC,∴E 是 NC 的中点. 又 D 是 CC1 的中点,∴DE∥NC1. ∵DE⊄ 平面 MNC1A1,NC1⊂平面 MNC1A1,∴DE∥平面 A1MC1. (2)解 如图 2,当 AA1=1 时,则 AM=1,A1M= ,A1C1= ∴三棱锥 A-MA1C1 的体积 AM·AA1·A1C1= 图 1 图 2 5.(1)证法一 取 BE 的中点 O,连接 OA,OM, ∵O,M 分别为线段 BE,CE 的中点, ∴OM= BC. 又 AD= BC,∴OM=AD, 又 AD∥CB,OM∥CB, ∴OM∥AD. ∴四边形 OMDA 为平行四边形, ∴DM∥AO, 又 AO⊂平面 ABE,MD⊄ 平面 ABE, ∴DM∥平面 ABE. 证法二 取 BC 的中点 N,连接 DN,MN(图略), ∵M,N 分别为线段 CE,BC 的中点,∴MN∥BE, 又 BE⊂平面 ABE,MN⊄ 平面 ABE, ∴MN∥平面 ABE, 同理可证 DN∥平面 ABE, MN∩DN=N,∴平面 DMN∥平面 ABE, 又 DM⊂平面 DMN, ∴DM∥平面 ABE. (2)解法一 ∵平面 ABE⊥平面 ABCD,AB⊥BC,BC⊂平面 ABCD, ∴BC⊥平面 ABE, ∵OA⊂平面 ABE,∴BC⊥AO, 又 BE⊥AO,BC∩BE=B, ∴AO⊥平面 BCE, 由(1)知 DM=AO= ,DM∥AO, ∴DM⊥平面 BCE, ∴VM-BDE=VD-MBE= 2×2 解法二 取 AB 的中点 G,连接 EG, ∵△ABE 是等边三角形, ∴EG⊥AB, ∵平面 ABE∩平面 ABCD=AB,平面 ABE⊥平面 ABCD,且 EG⊂平面 ABE, ∴EG⊥平面 ABCD,即 EG 为四棱锥 E-ABCD 的高, ∵M 是 EC 的中点, ∴M-BCD 的体积是 E-BCD 体积的一半, ∴VM-BDE=VE-BDC-VM-BDC= VE-BDC, ∴VM-BDE= 2×4 即三棱锥 M-BDE 的体积为 6.解 方法一:当 AF=3FC 时,EF∥平面 A1ABB1. 证明如下:在平面 A1B1C1 内过点 E 作 EG∥A1C1 交 A1B1 于点 G,连接 AG. 因为 B 1E=3EC1 , 所以 EG= A1C1. 又因为 AF∥A1C1,且 AF= A1C1,所以 AF EG,所以四边形 AFEG 为平行四边形,所以 EF∥AG. 又因为 EF⊄ 平面 A1ABB1,AG⊂平面 A1ABB1,所以 EF∥平面 A1ABB1. 方法二:当 AF=3FC 时,EF∥平面 A1ABB1. 证明如下:在平面 BCC1B1 内过点 E 作 EG∥BB1 交 BC 于点 G, 因为 EG∥BB1,EG⊄ 平面 A1ABB1,BB1⊂平面 A1ABB1, 所以 EG∥平面 A1ABB1. 因为 B1E=3EC1,所以 BG=3GC, 所以 FG∥AB. 又因为 AB⊂平面 A1ABB1,FG⊄ 平面 A1ABB1, 所以 FG∥平面 A1ABB1. 又因为 EG⊂平面 EFG,FG⊂平面 EFG,EG∩FG=G, 所以平面 EFG∥平面 A1ABB1. 因为 EF⊂平面 EFG, 所以 EF∥平面 A1ABB1. 7.(1)证明 如图,取 AC 的中点 F,连接 DF,EF, 在△AA1C 中,点 D,F 分别是 AA1,AC 的中点,∴DF∥A1C, 同理,得 EF∥AB∥A1B1,DF∩EF=F,A1C∩A1B1=A1, ∴平面 DEF∥平面 A1B1C, 又 DE⊂平面 DEF, ∴DE∥平面 A1B1C. (2)解 过点 A1 作 AC 的垂线,垂足为 H,由题知侧面 ACC1A1⊥底面 ABC, ∴A1H⊥底面 ABC,在△AA1C 中, ∵∠A1AC=60°,AC=2AA1=4, ∴A1H= , ∵AB=2,∠BAC=60°, ∴BC=2 ,点 E 是 BC 的中点, ∴BE= ,S△ABE= AB·BE= 2 , ∵D 为 AA1 的中点, -VD-ABE= A1H×S△ ABE= 8.(1)证明 在正三角形 ABC 中,BM=2 在△ACD 中,∵M 为 AC 中点,DM⊥AC,∴AD=CD. ∵∠ADC=120°,∴DM= , =3. 在等腰直角三角形 PAB 中,PA=AB=4,PB=4 , =3, , ∴MN∥PD. 又 MN⊄ 平面 PDC,PD⊂平面 PDC,∴MN∥平面 PDC. (2)解 设点 C 到平面 PBD 的距离为 h. 由(1)可知,BD= ,PM= =2 , ∴S△PBD= 2 ∵S△BCD= 2= , ∴由等体积可得 4= h,∴h= , ∴点 C 到平面 PBD 的距离为 9.(1)证明 设 BC1 的中点为 F,连接 EF,DF,则 EF 是△BCC1 的中位线, 根据已知得 EF∥DA,且 EF=DA, ∴四边形 ADFE 是平行四边形, ∴AE∥DF, ∵DF⊂平面 BDC1,AE⊄ 平面 BDC1,∴直线 AE∥平面 BDC1. (2)解 由(1)的结论可知直线 AE∥平面 BDC1, ∴点 E 到平面 BDC1 的距离等于点 A 到平面 BDC1 的距离,设为 h. , h= , 2 h= 2×2 ,解得 h= ∴点 E 到平面 BDC1 的距离为 10.解 (1)连接 AC,设 AC∩EF=H,连接 A'H. 因为四边形 ABCD 是正方形,AE=AF=4, 所以 H 是 EF 的中点,且 EF⊥AH,EF⊥CH. 从而有 A'H⊥EF,CH⊥EF, 又 A'H∩CH=H,所以 EF⊥平面 A'HC,且 EF⊂平面 ABCD, 从而平面 A'HC⊥平面 ABCD. 过点 A'作 A'O 垂直 HC 且与 HC 相交于点 O,则 A'O⊥平面 ABCD. 因为正方形 ABCD 的边长为 6,AE=AF=4,故 A'H=2 ,CH=4 , 所以 cos ∠A'HC = = 所以 HO=A'H·cos ∠A'HC= ,则 A'O= 所以五棱锥 A'-BCDFE 的体积 V= (2)线段 A'C 上存在点 M,使得 BM∥平面 A'EF,此时 A'M= 证明如下: 连接 OM,BD,BM,DM,且易知 BD 过点 O. A'M= A'C,HO= HC, 所以 OM∥A'H. 又 OM⊄ 平面 A'EF,A'H⊂平面 A'EF,所以 OM∥平面 A'EF. 又 BD∥EF,BD⊄ 平面 A'EF,EF⊂平面 A'EF, 所以 BD∥平面 A'EF. 又 BD∩OM=O,所以平面 MBD∥平面 A'EF, 因为 BM⊂平面 MBD, 所以 BM∥平面 A'EF.