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  • 2021-06-24 发布

【精品试题】2021年高考数学一轮复习创优测评卷(新高考专用)测试卷09 直线与圆(解析版)

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2021 年高考一轮复习直线与圆创优测评卷(精选) 一、单选题(共 60 分,每题 5 分) 1.已知圆 C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切,则圆C 与直线 4 0x y   相交 所得弦长为( ) A.1 B.   2 C.2 D. 2 2 【答案】D 【解析】 【分析】 先根据圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切,由圆心到直线的距离等于半径求得 a,然后再利用弦长公式 2 22l r d  求解. 【详解】 圆心到直线 2 2 2 0x y    的距离为: 2 2 2 2 a d    , 因为圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a    与直线 2 2 2 0x y    相切, 所以 2 2 2 2 2 a d r      , 解得 2a  或 2 4 2a   , 因为 2a  , 所以 2a  , 所以 2 2( 2) 4x y   , 圆心到直线 4 0x y   的距离为: 2 4 2 2 d   , 所以圆C 与直线 4 0x y   相交所得弦长为 2 22 2 2l r d   , 故选:D 2.圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则圆 C 与 y 轴交点坐 标为 A. 0, 2 B. 0,2 C. 0, 4 D. 0,4 【答案】B 【解析】 【分析】 由圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则两圆圆心    O 0,0 C 1 a, , 都在直线 2y x b  上,从而得到结果. 【详解】 圆 2 2: 1O x y  与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a     都关于直线 2y x b  对称,则两圆圆心    O 0,0 C 1 a, , 都在直线 2y x b  上,所以 0 a 2b   , , 所以圆 C 方程为: 2 2 2 4 4 0x y x y     ,令 x=0 得 y=2, 所以圆 C 与 y 轴交点坐标为  0,2 故选:B 3.已知直线 : 2( )l y kx k   R ,圆 2 2:( 1) 6M x y   ,圆 2 2: ( 1) 9N x y   ,则( ) A. l 必与圆 M 相切, l 不可能与圆 N 相交 B. l 必与圆 M 相交, l 不可能与圆 N 相切 C. l 必与圆 M 相切, l 不可能与圆 N 相切 D. l 必与圆 M 相交, l 不可能与圆 N 相离 【答案】D 【解析】 直线  : 2 Rl y kx k   的过定点  0,2 ,代入圆  2 2: 1 6M x y   ,得 2 2(0 1) 2 5 6    ,即点  0,2 在圆 M 的内部,故l 必与圆 M 相交,而点 0,2 到圆 N 的圆心  0, 1N  的距离等于圆 N 的半径 3 ,故点 0,2 在圆 N 上,即l 不可能与圆 N 相离. 故选 D 4.已知圆 2 2 1 1: 4 0C x y x F    与圆 2 2 2 2: 8 0C x y x F    外切,则圆 1C 与圆 2C 的周长之和为 ( ) A. 6 B.12 C.18 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】 求出两圆圆心坐标,利用外切关系求出两圆的半径之和,结合圆的周长公式进行计算,即可求得答案. 【详解】 两圆的一般方程为圆 2 2 1 1: 4 0C x y x F    与圆 2 2 2 2: 8 0C x y x F    , 设 1C 半径为 R , 2C 半径为 r , 两圆的圆心为 1 2( 2,0), (4,0)C C 两圆外切, 两圆半径之和 1 2 | 2 4 | 6R r C C      圆 1C 与圆 2C 的周长之和: 2 2 2 ( ) 12R r R r       故选:B. 5.直线  2 1 4 0x m y    与直线 3 2 0mx y   平行, 则 m  ( ) A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 2 或 3 【答案】C 【解析】 试题分析:由直线  2 1 4 0x m y    与直线 3 2 0mx y   平行,则 2 1 4 3 2 m m    ,解得 2m  或 3 ,故选 C. 6.极坐标方程 2 sin( )2     和参数方程 2cos (3sin x y      为参数)所表示的图形分别是( ) A.圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆 【答案】D 【解析】 2 2= = cos =2cos+ 2sin          ,化为直角坐标方程为 2x  ,是一条直线; 2 2 2 2 cos2cos 2 1 sin cos3 4 9 3 x x x y yy sin sin                ,为椭圆,故选 D. 7.已知圆    2 2: cos sin 1M x y     ,直线 :l y kx ,则下面命题错误的是( ) A.必存在实数 k 与 ,使得直线l 与圆 M 相切 B.对任意实数 k 与 ,直线l 与圆 M 有公共点 C.对任意实数 k ,必存在实数 ,使得直线l 与圆 M 相切 D.对任意实数 ,必存在实数 k ,使得直线l 与圆 M 相切 【答案】D 【解析】圆心 M 的坐标为 cos ,sin  ,直线l 恒过原点O , 所以,圆心 M 到直线l 的距离 d 的最大值为  2 2cos sin 1OM      ,即 1d  , 所以直线l 与圆 M 必有公共点,B 选项正确; 对任意实数 k ,过原点作直线l 的垂线交圆 2 2 1x y  于点 M ,则点 M 即为所求,A、C 选项正确; 当 0  时,圆 M 的方程为  2 21 1x y   ,此时,直线 0x  与圆 M 相切,但 k 不存在,D 选项错误. 故选:D. 8.已知直线 ( 2) - 4 0b x ay   与直线 ( 2) 3 0ax b y    互相平行,则点 ( , )a b 在( ) A.圆 2 2 1a b  上 B.圆 2 2 2a b  上 C.圆 2 2 4a b  上 D.圆 2 2 8a b  上 【答案】C 【解析】∵直线 ( 2) - 4 0b x ay   与直线 ( 2) 3 0ax b y    互相平行,∴ 2( 2)( 2)b b a    ,即 2 2 4a b  .故选 C. 9.直线 3 3y x 绕原点逆时针方向旋转 30 后所得直线与圆 2 2( 2) 3x y   的位置关系是( ) A.直线过圆心 B.直线与圆相交,但不过圆心 C.直线与圆相切 D.直线与圆无公共点 【答案】C 【解析】 直线 3 3y x 的倾斜角为30 ,则将其绕原点按逆时针方向旋转30 后得到的直线的倾斜角为 60 ,所以直 线方程为 3y x .圆心 (2,0) 到直线 3y x 的距离 2 3 32d r   ,所以直线与圆相切,故选 C 10.若直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点,则点  ,P a b 与圆 2 2 1x y  的位置关系是( ) A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能 【答案】B 【解析】解:因为直线 1ax by  与圆 2 2 1x y  有两个公共点, 所以有 | | 2 2 1 1 a b   , 即 2 21 a b  , 因为点 P 与圆心的距离为 2 2a b ,圆的半径为 1, 所以点 P 在圆外,故选 B。 11.已知圆 2 2( 7) ( 4) 9x y    与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y    关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是( ) A.5 6 11 0x y   B. 6 5 1 0x y   C. 6 5 11 0x y   D.5 6 1 0x y   【答案】B 【解析】∵两圆 2 2( 7) ( 4) 9x y    与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y    关于直线l 对称,且两圆的圆心距为    2 27 5 4 6 2 61 6      , ∴两圆外离,将两个圆的方程相减可得 24 20 4 0x y   ,即 6 5 1 0x y   . 故直线l 的方程为 6 5 1 0x y   . 故选:B. 12.如图,半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A,圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 M  时,圆 M  与 直线l 相切于点 B,点 A 运动到点 A ,线段 AB 的长度为 3 ,2  则点 M  到直线 BA 的距离为( ) A.1 B. 3 2 C. 2 2 D. 1 2 【答案】C 【解析】线段 AB 的长度为 3 ,2  设圆滚动了 x 圈,则 3 32 ,2 4x xpp× = = 即圆滚动了 3 4 圈, 此时 A 到达 A , 90BM AⅱÐ =  ,则点 M  到直线 BA 的距离为 2sin 45 2r窗 = . 故选:C. 二、填空题(共 20 分,每题 5 分) 13.已知过点 的直线与圆 相切,且与直线 垂直,则 __________. 【答案】2 【解析】设切线为 ,因为过 ,故 ,所以切线为 ,又 圆心到它的距离为 ,解得 ,故填 2. 14.过原点的直线 与圆 交于 两点,点 是该圆与 轴负半轴的交点,以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ,且直线 与直线 的斜率之积等于 ,那么直线 的方程为________. 【答案】 【解析】由以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ,得 kAN•kl=﹣1,kAN•kAP=1, 所以 kl+kAP=0,设 P(x0,y0)(y0≠0) 则 kl= ,kAP= , ∴ + =0,解得 x0=﹣ ,又 x02+y02=1, 所以 y0=± ,kl= 所以直线 l 的方程为:y= x 故答案为:y= x 15.已知椭圆 2 2 164 16 x y  ,圆  2 2: 1C x t y   ,直线l 与椭圆交于 A , B 两点,与圆相切与 M 点,且 M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 有 4 条,则t 的取值范围为______. 【答案】 3 5 3 5t   【解析】根据椭圆和圆的对称性,要使这样的直线有 4 条,必斜率不存在的直线两条,且斜率存在的直线 两条, (i)当直线斜率不存在时,要有两条符合题意: 7 7t   (ii)当直线斜率存在时也有两条直线满足条件才符合题意,当 0t  时, 1, 1y y   两条直线符合题意, 当 0t  时,先证明中点弦公式:直线l 与椭圆 2 2 164 16 x y  交于 A , B 两点,且 0 0( , )M x y 为线段 AB 的中 点,则 0 0 1 ,4 4OM AB AB xk k k y      设 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ), ,A x y B x y x x y y  在椭圆上, 0 0( , )M x y 为线段 AB 的中点, 1 2 0 1 2 02 , 2x x x y y y    2 2 1 1 164 16 x y  , 2 2 2 2 164 16 x y  两式相减: 2 2 2 2 1 2 1 2 064 16 x x y y   1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 064 16 x x x x y y y y     1 2 1 2 1 2 1 2 ( )( )16 064 ( )( ) y y y y x x x x     0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 ( )( ) 1 ( )( ) 4OM AB y y y y y y yk k x x x x x x x           当直线斜率存在时,设点 0 0( , )M x y ,在圆上 2 2 0 0 1x t y   根据中点弦公式 1 4OM ABk k   , 0 04AB xk y   根据直线与圆相切 0 0 0 0 14CM AB y xk k x t y          点 0 0( , )M x y ,在圆上 2 2 0 0 1x t y   解得: 2 2 0 0 4 9,3 9 t tx y   ,这样的点 0 0( , )M x y 两个,关于 x 轴对称, 点 0 0( , )M x y 在椭圆内部: 2 2 0 0 164 16 x y  即 2 216 9 19 64 9 16 t t   解得 3 5 3 5t   , 0t  综上所述: 3 5 3 5t   故答案为: 3 5 3 5t   16.己知圆 2 2: 1O x y  ,及  0, 2 1A  ,  0, 2 1B  : ① P 是 x 轴上动点,当 APB 最大时, P 点坐标为  2,0 ②过 A 任作一条直线,与圆O 交于 ,M N ,则 2 1NA NB   ③过 A 任作一条直线,与圆O 交于 ,M N ,则 NA MA NB MB  成立 ④任作一条直线与圆O 交于 ,M N ,则仍有 NA MA NB MB  上述说法正确的是 . 【答案】②③④ 【解析】试题分析:对于①,设  ,0P t ,由 2 1 2 1tan ,tan ,APO BPOt t        tan tantan tan 1 tan tan BPO APOAPB BPO APO BPO APO            ,当且仅当 1t  ,即 1t   时,有最大值,即当 APB 最大时, P 点 坐 标 为  1,0 , 故 ① 错 ; 设 圆 上 任 意 一 点 的 坐 标 为  0 0M x y , 则 有         2 22 2 2 0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MA x y x y y y               ,         2 22 2 2 0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MB x y x y y y               , 所以       0 0 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 yMA MB y        ,由此可知②③④均正确,故应填②③④. 三、解答题 17.(10 分)已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y    . (Ⅰ)若直线 1l 过定点 (3,0)A ,且与圆C 相切,求直线 1l 的方程; (Ⅱ)若圆 D 半径是3,圆心在直线 2 : 2 0l x y   上,且与圆C 外切,求圆 D 的方程. 【答案】(Ⅰ) 3( 3)y x   ;(Ⅱ) 2 2 2 2( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 4) 9x y x y       或 . 【解析】(1)根据直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径, 2 42 3 1 d k k       ,即可 求出直线方程(2)圆与圆外切则转化为圆心距等于半径和,可得    2 23 2 5 3 2a a a a       或 , 即可算出圆的方程 解析:(Ⅰ)设直线 1l 的方程为  3 3 0y k x kx y k    即: ,则 圆心到 1l 的距离 d 为: 2 42 3 1 d k k       所以,直线 1l 的方程为  3 3y x   (Ⅱ)设圆心  ,2D a a ,则 5CD     2 23 2 5 3 2a a a a       或 所以,圆 D 的方程为:       2 2 2 23 1 9 2 4 9x y x y       或 18.(12 分)已知圆 ,直线 过点 且与圆 相切 . (I)求直线 的方程; (II)如图,圆 与 轴交于 两点,点 是圆 上异于 的任意一点,过点 且与 轴垂直的直线为 , 直线 交直线 于点 ,直线 交直线 于点 ,求证:以 为直径的圆 与 轴交于定点 ,并求出点 的 坐标 . 【答案】(1) . (2)证明见解析;定点 或 . 【解析】(Ⅰ)由题意得,直线 的斜率存在. 设直线 的方程为 . 因为直线 与圆 相切, 所以 . 所以 . 所以直线方程为 . (Ⅱ)由题意得,点 ,点 . 设点 ,则 . 直线 的方程为 . 所以直线 与直线 的交点为点 . 直线 的方程为 . 所以直线 与直线 的交点为点 . 设点 . 则 , . 因为以 为直径的圆 与 轴交于定点 , 所以 解得 . 所以定点 或 . 19.(12 分)已知圆O : 2 2 2x y r  ,直线 2 2 2 0x y   与 圆O 相切,且直线l : y kx m  与椭圆C : 2 2 12 x y  相交于 P Q、 两点,O 为原点. (1)若直线l 过椭圆C 的左焦点,且与圆O 交于 A B、 两点,且 60AOB   ,求直线l 的方程; (2)如图,若 POQ 的重心恰好在圆上,求 m 的取值范围. 【答案】(1)直线 l 的方程为 2 ( 1)2y x   (2) 1m   或 1m > 【解析】(1)首先求得圆的半径,然后结合题意可得直线l 的方程为  2 12y x   ; (2)设出点的坐标,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到关于实数 k 的方程,据此讨论计算可得 m 的 取值范围是 1m   或 1m  . 试题解析: 解: (1)因为直线 2 2 2 0x y   与圆O : 2 2 2x y r  相切 ∴  22 0 0 2 2 31 2 2 r     ∴ 2 2 4 9x y  因为左焦点坐标为  1,0F  ,设直线l 的方程为  1y k x  由 60AOB   得,圆心O 到直线l 的距离 1 3 d  又 2 1 kd k   ,∴ 2 1 31 k k   ,解得, 2 2k   ∴ 直线l 的方程为  2 12y x   (2)设  1 1,P x y ,  2 2,Q x y 由 2 2 12 x y y kx m       得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m     由 0  ,得 2 22 1k m  …(※), 且 1 2 2 4 1 2 kmx x k     由 POQ 重心恰好在圆 2 2 4 9x y  上,得   2 2 1 2 1 2 4x x y y    , 即    22 1 2 1 2 2 4x x k x x m       ,即     22 2 1 2 1 21 4 4 4k x x km x x m      . ∴     2 2 2 2 2 2 2 22 16 1 16 4 41 21 2 k k m k m mkk     , 化简得  22 2 2 1 2 4 1 k m k    ,代入(※)得 0k  又  22 4 2 2 2 2 4 1 2 4 41 1 4 14 1 4 1 k km k k k k         由 0k  , 得 2 1 0k  ,∴ 2 4 4 1 0k k   , ∴ 2 1m  ,得 m 的取值范围为 1m   或 1m  20.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 2 2: 64O x y  ,以 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ,已知圆 1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21. (1)求圆 1O 的标准方程; (2)求过点 (5,5)M 且与圆 1O 相切的直线的方程; (3)已知直线l 与 x 轴不垂直,且与圆O ,圆 1O 都相交,记直线l 被圆O ,圆 1O 截得的弦长分别为 d , 1d . 若 1 2d d  ,求证:直线 l 过定点. 【答案】(1) 2 2( 9) 16x y   ;(2) 9 49 40 8y x   或 5x  ;(3)证明见解析. 【解析】(1) 2 2: 64O x y  圆 (0,0)O 为圆心,半径为8 设 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ,设 1O 半径为 R 由圆 1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21. 可得8 9 21R   解得 4R  圆 1O 的标准方程为 2 2( 9) 16x y   . (2)①当切线的斜率不存在时,直线方程为 5x  符合题意; ②当切线的斜率存在时, 设直线方程为 5 ( 5)y k x   , 即 (5 5 ) 0kx y k    , 直线和圆相切, 设直线到圆的距离为 d  2 |5 4 | 4 1 kd k    , 解得 9 40k   ,从而切线方程为 9 49 40 8y x   . 故切线方程为 9 49 40 8y x   或 5x  (3)设直线l 的方程为 y kx m  , 则圆心O ,圆心 1O 到直线l 的距离分别为 2 | | 1 mh k   , 1 2 |9 | 1 k mh k   , 几何关系可得: 22 64d h  , 1 1 22 16d h   2 22 64 1 md k    , 2 1 2 (9 )2 16 1 k md k    . 由 1 2d d  ,得 2 2 2 22 1 2 64 1 4(9 )16 1 m d k k md k     , 整理得 2 24(9 )m k m  ,故 2(9 )m k m   , 即18 0k m  或 6 0k m  , 直线 l 为 18y kx k  或 6y kx k  , 直线 l 过点定点 (18,0) 或直线l 过定点 (6,0) . 21.(12 分)已知圆 2 2: 9O x y  ,直线 1l :x=6,圆O与 x 轴相交于点 A B、 (如图),点 P(-1,2) 是圆O内一点,点Q 为圆O上任一点(异于点 A B、 ),直线 A Q、 与 1l 相交于点C . (1)若过点 P 的直线 2l 与圆O 相交所得弦长等于 4 2 ,求直线 2l 的方程; (2)设直线 BQ BC、 的斜率分别为 BQ BCk k、 ,求证: BQ BCk k 为定值. 【答案】(1) 或3 4 5 0x y   (2)-3 【解析】(1)由点到直线距离公式可得圆心  0,0O 到直线的距离 1d  ,设直线 2l 的方程为  2 1y k x   , 由 2 2 1 1 kd k    解得 3 4k   ,又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x   显然符合要求, 故满足题意的直线 2l 应为两条; ( 2 ) 方 法 1 : 联 立   2 2 2 2 2 3 81 54{ 09 9 hy x h y yh hx y        得 点 2 2 2 243 3 54,81 81 h hQ h h       9 , 3BQ BC hk kh    ,问题得证; 方法 2:设点 的坐标为 ,分 0h  , 0h  ,两组情况讨论得证 ;方法 3:设点 Q 的坐标为  1 1,x y , 则 2 2 1 1 9x y  ,则由三点 A、Q、C 三点共线及直线 l 的方程得点 1 1 96, 3 yC x      ,表示出 ,BC BQk k ,可证 BQ BCk k 为定值 试题解析: (1)因直线 与圆O 相交所得弦长等于 ,所以圆心  0,0O 到直线的距离  2 9 2 2 1d    设直线 的方程为  2 1y k x   ,即 2 0kx y k    由 2 2 1 1 kd k    解得 3 4k   又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x   显然符合要求 所以直线 的方程是 或3 4 5 0x y   (2)方法 1:设点C 的坐标为 6,h ,则直线 AC 的方程为  39 hy x  由   2 2 2 2 2 3 81 54{ 09 9 hy x h y yh hx y        解得 1 2 2 540, 81 hy y h    从而得点 2 2 2 243 3 54,81 81 h hQ h h       9 , 3BQ BC hk kh    所以 3BQ BCk k   方法 2:设点 的坐标为 , 若 0h  ,则 3BC hk  9AC hk  BQ AC 9 BQk h    所以 3BQ BCk k   当 0h  时,同理可得 3BQ BCk k   所以 BQ BCk k 为定值 方法 3:设点Q 的坐标为 1 1,x y , 则 2 2 1 1 9x y  则三点 A、Q、C 三点共线及直线l 的方程得点 1 1 96, 3 yC x      1 1 3 ,3BC yk x   1 1 3BQ yk x   2 2 1 1 2 2 1 1 3 3 39BQ BC y yk k x y       22.(12 分)如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 A 、 B 两点,另一 圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 C 、 D 两点. (1)求圆 M 和圆 N 的方程; (2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线l 被圆 N 截得的弦的长度. 【答案】(1) 2 2( 3) ( 1) 1x y    , 2 2( 3 3) ( 3) 9x y    ;(2) 33 . 【解析】(1)由于 M 与 BOA 的两边均相切,故 M 到OA及 OB 的距离均为 M 的半径, 则 M 在 BOA 的平分线上,同理, N 也 BOA 在的平分线上, 即 O M N, , 三点共线,且OMN 为 BOA 的平分线, ∵ M 的坐标为 ( 3,1) ,∴ M 到 x 轴的距离为 1,即 M 的半径为 1, 则 M 的方程为 2 2( 3) ( 1) 1x y    , 设 Ne 的半径为 r ,其与 x 轴的切点为C ,连接 MA 、 MC , 由 Rt OAM Rt OCN ∽ 可知, : :OM ON MA NC , 即 2 1 33 rr r    . 则 3 3OC  ,则圆 N 的方程为 2 2( 3 3) ( 3) 9x y    ; (2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点,直线 MN 的平行线被圆 N 截得的弦的长度, 此弦的方程是 3 ( 3)3y x  ,即: 3 3 0x y   , 圆心 N 到该直线的距离 3 2d  ,则弦长= 2 22 33r d  .