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- 2021-06-24 发布
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2021 年高考一轮复习直线与圆创优测评卷(精选)
一、单选题(共 60 分,每题 5 分)
1.已知圆 C : 2 2( ) 4( 2)x a y a 与直线 2 2 2 0x y 相切,则圆C 与直线 4 0x y 相交
所得弦长为( )
A.1 B. 2 C.2 D. 2 2
【答案】D
【解析】
【分析】
先根据圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a 与直线 2 2 2 0x y 相切,由圆心到直线的距离等于半径求得
a,然后再利用弦长公式 2 22l r d 求解.
【详解】
圆心到直线 2 2 2 0x y 的距离为:
2 2 2
2
a
d
,
因为圆C : 2 2( ) 4( 2)x a y a 与直线 2 2 2 0x y 相切,
所以 2 2 2
2
2
a
d r
,
解得 2a 或 2 4 2a ,
因为 2a ,
所以 2a ,
所以 2 2( 2) 4x y ,
圆心到直线 4 0x y 的距离为:
2 4 2
2
d ,
所以圆C 与直线 4 0x y 相交所得弦长为 2 22 2 2l r d ,
故选:D
2.圆 2 2: 1O x y 与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a 都关于直线 2y x b 对称,则圆 C 与 y 轴交点坐
标为
A. 0, 2 B. 0,2 C. 0, 4 D. 0,4
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆 2 2: 1O x y 与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a 都关于直线 2y x b 对称,则两圆圆心
O 0,0 C 1 a, , 都在直线 2y x b 上,从而得到结果.
【详解】
圆 2 2: 1O x y 与圆 2 2 2: 2 2 0C x y x ay a 都关于直线 2y x b 对称,则两圆圆心
O 0,0 C 1 a, , 都在直线 2y x b 上,所以 0 a 2b , ,
所以圆 C 方程为: 2 2 2 4 4 0x y x y ,令 x=0 得 y=2,
所以圆 C 与 y 轴交点坐标为 0,2
故选:B
3.已知直线 : 2( )l y kx k R ,圆 2 2:( 1) 6M x y ,圆 2 2: ( 1) 9N x y ,则( )
A. l 必与圆 M 相切, l 不可能与圆 N 相交
B. l 必与圆 M 相交, l 不可能与圆 N 相切
C. l 必与圆 M 相切, l 不可能与圆 N 相切
D. l 必与圆 M 相交, l 不可能与圆 N 相离
【答案】D
【解析】
直线 : 2 Rl y kx k 的过定点 0,2 ,代入圆 2 2: 1 6M x y ,得 2 2(0 1) 2 5 6 ,即点
0,2 在圆 M 的内部,故l 必与圆 M 相交,而点 0,2 到圆 N
的圆心 0, 1N 的距离等于圆 N 的半径 3 ,故点 0,2 在圆 N 上,即l 不可能与圆 N 相离.
故选 D
4.已知圆 2 2
1 1: 4 0C x y x F 与圆 2 2
2 2: 8 0C x y x F 外切,则圆 1C 与圆 2C 的周长之和为
( )
A. 6 B.12 C.18 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】
求出两圆圆心坐标,利用外切关系求出两圆的半径之和,结合圆的周长公式进行计算,即可求得答案.
【详解】
两圆的一般方程为圆 2 2
1 1: 4 0C x y x F 与圆 2 2
2 2: 8 0C x y x F ,
设 1C 半径为 R , 2C 半径为 r ,
两圆的圆心为 1 2( 2,0), (4,0)C C
两圆外切,
两圆半径之和 1 2 | 2 4 | 6R r C C
圆 1C 与圆 2C 的周长之和: 2 2 2 ( ) 12R r R r
故选:B.
5.直线 2 1 4 0x m y 与直线 3 2 0mx y 平行, 则 m ( )
A. 2 B. 3
C. 2 或 3 D. 2 或 3
【答案】C
【解析】
试题分析:由直线 2 1 4 0x m y 与直线 3 2 0mx y 平行,则 2 1 4
3 2
m
m
,解得 2m 或
3 ,故选 C.
6.极坐标方程
2
sin( )2
和参数方程 2cos (3sin
x
y
为参数)所表示的图形分别是( )
A.圆与直线 B.圆与椭圆 C.直线与圆 D.直线与椭圆
【答案】D
【解析】
2 2= = cos =2cos+ 2sin
,化为直角坐标方程为 2x ,是一条直线;
2 2
2 2
cos2cos 2 1 sin cos3 4 9
3
x
x x y
yy sin sin
,为椭圆,故选 D.
7.已知圆 2 2: cos sin 1M x y ,直线 :l y kx ,则下面命题错误的是( )
A.必存在实数 k 与 ,使得直线l 与圆 M 相切
B.对任意实数 k 与 ,直线l 与圆 M 有公共点
C.对任意实数 k ,必存在实数 ,使得直线l 与圆 M 相切
D.对任意实数 ,必存在实数 k ,使得直线l 与圆 M 相切
【答案】D
【解析】圆心 M 的坐标为 cos ,sin ,直线l 恒过原点O ,
所以,圆心 M 到直线l 的距离 d 的最大值为 2 2cos sin 1OM ,即 1d ,
所以直线l 与圆 M 必有公共点,B 选项正确;
对任意实数 k ,过原点作直线l 的垂线交圆 2 2 1x y 于点 M ,则点 M 即为所求,A、C 选项正确;
当 0 时,圆 M 的方程为 2 21 1x y ,此时,直线 0x 与圆 M 相切,但 k 不存在,D 选项错误.
故选:D.
8.已知直线 ( 2) - 4 0b x ay 与直线 ( 2) 3 0ax b y 互相平行,则点 ( , )a b 在( )
A.圆 2 2 1a b 上 B.圆 2 2 2a b 上
C.圆 2 2 4a b 上 D.圆 2 2 8a b 上
【答案】C
【解析】∵直线 ( 2) - 4 0b x ay 与直线 ( 2) 3 0ax b y 互相平行,∴ 2( 2)( 2)b b a ,即
2 2 4a b .故选 C.
9.直线 3
3y x 绕原点逆时针方向旋转 30 后所得直线与圆 2 2( 2) 3x y 的位置关系是( )
A.直线过圆心
B.直线与圆相交,但不过圆心
C.直线与圆相切
D.直线与圆无公共点
【答案】C
【解析】
直线 3
3y x 的倾斜角为30 ,则将其绕原点按逆时针方向旋转30 后得到的直线的倾斜角为 60 ,所以直
线方程为 3y x .圆心 (2,0) 到直线 3y x 的距离 2 3 32d r ,所以直线与圆相切,故选 C
10.若直线 1ax by 与圆 2 2 1x y 有两个公共点,则点 ,P a b 与圆 2 2 1x y 的位置关系是( )
A.在圆上 B.在圆外 C.在圆内 D.以上都有可能
【答案】B
【解析】解:因为直线 1ax by 与圆 2 2 1x y 有两个公共点,
所以有
| |
2 2
1 1
a b
,
即 2 21 a b ,
因为点 P 与圆心的距离为 2 2a b ,圆的半径为 1,
所以点 P 在圆外,故选 B。
11.已知圆 2 2( 7) ( 4) 9x y 与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y 关于直线l 对称 ,则直线l 的方程是( )
A.5 6 11 0x y B. 6 5 1 0x y
C. 6 5 11 0x y D.5 6 1 0x y
【答案】B
【解析】∵两圆 2 2( 7) ( 4) 9x y 与圆 2 2( 5) ( 6) 9x y 关于直线l 对称,且两圆的圆心距为
2 27 5 4 6 2 61 6 ,
∴两圆外离,将两个圆的方程相减可得 24 20 4 0x y ,即 6 5 1 0x y .
故直线l 的方程为 6 5 1 0x y .
故选:B.
12.如图,半径为 1 的圆 M 与直线 l 相切于点 A,圆 M 沿着直线 l 滚动.当圆 M 滚动到圆 M 时,圆 M 与
直线l 相切于点 B,点 A 运动到点 A ,线段 AB 的长度为 3 ,2
则点 M 到直线 BA 的距离为( )
A.1 B. 3
2
C. 2
2
D. 1
2
【答案】C
【解析】线段 AB 的长度为 3 ,2
设圆滚动了 x 圈,则 3 32 ,2 4x xpp× = = 即圆滚动了 3
4
圈,
此时 A 到达 A , 90BM AⅱÐ = ,则点 M 到直线 BA 的距离为 2sin 45 2r窗 = .
故选:C.
二、填空题(共 20 分,每题 5 分)
13.已知过点 的直线与圆 相切,且与直线 垂直,则 __________.
【答案】2
【解析】设切线为 ,因为过 ,故 ,所以切线为 ,又
圆心到它的距离为 ,解得 ,故填 2.
14.过原点的直线 与圆 交于 两点,点 是该圆与 轴负半轴的交点,以 为直径的圆与直线
有异于 的交点 ,且直线 与直线 的斜率之积等于 ,那么直线 的方程为________.
【答案】
【解析】由以 为直径的圆与直线 有异于 的交点 ,得 kAN•kl=﹣1,kAN•kAP=1,
所以 kl+kAP=0,设 P(x0,y0)(y0≠0)
则 kl= ,kAP= ,
∴ + =0,解得 x0=﹣ ,又 x02+y02=1,
所以 y0=± ,kl=
所以直线 l 的方程为:y= x
故答案为:y= x
15.已知椭圆
2 2
164 16
x y ,圆 2 2: 1C x t y ,直线l 与椭圆交于 A , B 两点,与圆相切与 M 点,且
M 为线段 AB 的中点,若这样的直线 l 有 4 条,则t 的取值范围为______.
【答案】 3 5 3 5t
【解析】根据椭圆和圆的对称性,要使这样的直线有 4 条,必斜率不存在的直线两条,且斜率存在的直线
两条,
(i)当直线斜率不存在时,要有两条符合题意: 7 7t
(ii)当直线斜率存在时也有两条直线满足条件才符合题意,当 0t 时, 1, 1y y 两条直线符合题意,
当 0t 时,先证明中点弦公式:直线l 与椭圆
2 2
164 16
x y 交于 A , B 两点,且 0 0( , )M x y 为线段 AB 的中
点,则 0
0
1 ,4 4OM AB AB
xk k k y
设 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ), ,A x y B x y x x y y 在椭圆上,
0 0( , )M x y 为线段 AB 的中点, 1 2 0 1 2 02 , 2x x x y y y
2 2
1 1 164 16
x y ,
2 2
2 2 164 16
x y 两式相减:
2 2 2 2
1 2 1 2 064 16
x x y y
1 2 1 2 1 2 1 2( )( ) ( )( ) 064 16
x x x x y y y y
1 2 1 2
1 2 1 2
( )( )16 064 ( )( )
y y y y
x x x x
0 1 2 1 2 1 2
0 1 2 1 2 1 2
( )( ) 1
( )( ) 4OM AB
y y y y y y yk k x x x x x x x
当直线斜率存在时,设点 0 0( , )M x y ,在圆上 2 2
0 0 1x t y
根据中点弦公式 1
4OM ABk k ,
0
04AB
xk y
根据直线与圆相切 0 0
0 0
14CM AB
y xk k x t y
点 0 0( , )M x y ,在圆上 2 2
0 0 1x t y
解得:
2
2
0 0
4 9,3 9
t tx y ,这样的点 0 0( , )M x y 两个,关于 x 轴对称,
点 0 0( , )M x y 在椭圆内部:
2 2
0 0 164 16
x y 即
2 216 9 19 64 9 16
t t
解得 3 5 3 5t , 0t
综上所述: 3 5 3 5t
故答案为: 3 5 3 5t
16.己知圆 2 2: 1O x y ,及 0, 2 1A , 0, 2 1B :
① P 是 x 轴上动点,当 APB 最大时, P 点坐标为 2,0
②过 A 任作一条直线,与圆O 交于 ,M N ,则 2 1NA
NB
③过 A 任作一条直线,与圆O 交于 ,M N ,则 NA MA
NB MB
成立
④任作一条直线与圆O 交于 ,M N ,则仍有 NA MA
NB MB
上述说法正确的是 .
【答案】②③④
【解析】试题分析:对于①,设 ,0P t ,由 2 1 2 1tan ,tan ,APO BPOt t
tan tantan tan 1 tan tan
BPO APOAPB BPO APO BPO APO
,当且仅当 1t ,即 1t 时,有最大值,即当 APB 最大时,
P 点 坐 标 为 1,0 , 故 ① 错 ; 设 圆 上 任 意 一 点 的 坐 标 为 0 0M x y , 则 有
2 22 2 2
0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MA x y x y y y ,
2 22 2 2
0 0 0 0 0 02 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2MB x y x y y y ,
所以
0
0
2 2 1 2
2 1
2 2 1 2
yMA
MB y
,由此可知②③④均正确,故应填②③④.
三、解答题
17.(10 分)已知圆 2 2:( 3) ( 4) 4C x y .
(Ⅰ)若直线 1l 过定点 (3,0)A ,且与圆C 相切,求直线 1l 的方程;
(Ⅱ)若圆 D 半径是3,圆心在直线 2 : 2 0l x y 上,且与圆C 外切,求圆 D 的方程.
【答案】(Ⅰ) 3( 3)y x ;(Ⅱ) 2 2 2 2( 3) ( 1) 9 ( 2) ( 4) 9x y x y 或 .
【解析】(1)根据直线与圆相切转化为圆心到直线的距离等于半径, 2
42 3
1
d k
k
,即可
求出直线方程(2)圆与圆外切则转化为圆心距等于半径和,可得 2 23 2 5 3 2a a a a 或 ,
即可算出圆的方程
解析:(Ⅰ)设直线 1l 的方程为 3 3 0y k x kx y k 即: ,则
圆心到 1l 的距离 d 为: 2
42 3
1
d k
k
所以,直线 1l 的方程为 3 3y x
(Ⅱ)设圆心 ,2D a a ,则 5CD
2 23 2 5 3 2a a a a 或
所以,圆 D 的方程为: 2 2 2 23 1 9 2 4 9x y x y 或
18.(12 分)已知圆 ,直线 过点 且与圆 相切 .
(I)求直线 的方程;
(II)如图,圆 与 轴交于 两点,点 是圆 上异于 的任意一点,过点 且与 轴垂直的直线为 ,
直线 交直线 于点 ,直线 交直线 于点 ,求证:以 为直径的圆 与 轴交于定点 ,并求出点 的
坐标 .
【答案】(1) .
(2)证明见解析;定点 或 .
【解析】(Ⅰ)由题意得,直线 的斜率存在.
设直线 的方程为 .
因为直线 与圆 相切,
所以 .
所以 .
所以直线方程为 .
(Ⅱ)由题意得,点 ,点 .
设点 ,则 .
直线 的方程为 .
所以直线 与直线 的交点为点 .
直线 的方程为 .
所以直线 与直线 的交点为点 .
设点 .
则 , .
因为以 为直径的圆 与 轴交于定点 ,
所以
解得 .
所以定点 或 .
19.(12 分)已知圆O : 2 2 2x y r ,直线 2 2 2 0x y 与
圆O 相切,且直线l : y kx m 与椭圆C :
2
2 12
x y
相交于 P Q、 两点,O 为原点.
(1)若直线l 过椭圆C 的左焦点,且与圆O 交于 A B、
两点,且 60AOB ,求直线l 的方程;
(2)如图,若 POQ 的重心恰好在圆上,求 m 的取值范围.
【答案】(1)直线 l 的方程为 2 ( 1)2y x (2) 1m 或 1m >
【解析】(1)首先求得圆的半径,然后结合题意可得直线l 的方程为 2 12y x ;
(2)设出点的坐标,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理得到关于实数 k 的方程,据此讨论计算可得 m 的
取值范围是 1m 或 1m .
试题解析:
解:
(1)因为直线 2 2 2 0x y 与圆O : 2 2 2x y r 相切
∴ 22
0 0 2 2
31 2 2
r
∴ 2 2 4
9x y
因为左焦点坐标为 1,0F ,设直线l 的方程为 1y k x
由 60AOB 得,圆心O 到直线l 的距离 1
3
d
又
2 1
kd
k
,∴
2
1
31
k
k
,解得, 2
2k
∴ 直线l 的方程为 2 12y x
(2)设 1 1,P x y , 2 2,Q x y
由
2
2 12
x y
y kx m
得 2 2 21 2 4 2 2 0k x kmx m
由 0 ,得 2 22 1k m …(※),
且 1 2 2
4
1 2
kmx x k
由 POQ 重心恰好在圆 2 2 4
9x y 上,得 2 2
1 2 1 2 4x x y y ,
即 22
1 2 1 2 2 4x x k x x m ,即 22 2
1 2 1 21 4 4 4k x x km x x m .
∴
2 2 2 2 2
2
2 22
16 1 16 4 41 21 2
k k m k m mkk
,
化简得 22
2
2
1 2
4 1
k
m k
,代入(※)得 0k
又
22 4
2
2 2
2 4
1 2 4 41 1 4 14 1 4 1
k km k k
k k
由 0k , 得 2
1 0k
,∴ 2 4
4 1 0k k
,
∴ 2 1m ,得 m 的取值范围为 1m 或 1m
20.(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 2 2: 64O x y ,以 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ,已知圆 1O
上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21.
(1)求圆 1O 的标准方程;
(2)求过点 (5,5)M 且与圆 1O 相切的直线的方程;
(3)已知直线l 与 x 轴不垂直,且与圆O ,圆 1O 都相交,记直线l 被圆O ,圆 1O 截得的弦长分别为 d , 1d .
若
1
2d
d
,求证:直线 l 过定点.
【答案】(1) 2 2( 9) 16x y ;(2) 9 49
40 8y x 或 5x ;(3)证明见解析.
【解析】(1) 2 2: 64O x y
圆 (0,0)O 为圆心,半径为8
设 1(9,0)O 为圆心的圆记为圆 1O ,设 1O 半径为 R
由圆 1O 上的点与圆O 上的点之间距离的最大值为 21.
可得8 9 21R
解得 4R
圆 1O 的标准方程为 2 2( 9) 16x y .
(2)①当切线的斜率不存在时,直线方程为 5x 符合题意;
②当切线的斜率存在时,
设直线方程为 5 ( 5)y k x ,
即 (5 5 ) 0kx y k ,
直线和圆相切,
设直线到圆的距离为 d
2
|5 4 | 4
1
kd
k
,
解得 9
40k ,从而切线方程为 9 49
40 8y x .
故切线方程为 9 49
40 8y x 或 5x
(3)设直线l 的方程为 y kx m ,
则圆心O ,圆心 1O 到直线l 的距离分别为 2
| |
1
mh
k
, 1 2
|9 |
1
k mh
k
,
几何关系可得: 22 64d h , 1 1
22 16d h
2
22 64 1
md k
,
2
1 2
(9 )2 16 1
k md k
.
由
1
2d
d
,得
2
2 2
22
1
2
64 1 4(9 )16 1
m
d k
k md
k
,
整理得 2 24(9 )m k m ,故 2(9 )m k m ,
即18 0k m 或 6 0k m ,
直线 l 为 18y kx k 或 6y kx k ,
直线 l 过点定点 (18,0) 或直线l 过定点 (6,0) .
21.(12 分)已知圆 2 2: 9O x y ,直线 1l :x=6,圆O与 x 轴相交于点 A B、 (如图),点 P(-1,2)
是圆O内一点,点Q 为圆O上任一点(异于点 A B、 ),直线 A Q、 与 1l 相交于点C .
(1)若过点 P 的直线 2l 与圆O 相交所得弦长等于 4 2 ,求直线 2l 的方程;
(2)设直线 BQ BC、 的斜率分别为 BQ BCk k、 ,求证: BQ BCk k 为定值.
【答案】(1) 或3 4 5 0x y (2)-3
【解析】(1)由点到直线距离公式可得圆心 0,0O 到直线的距离 1d ,设直线 2l 的方程为
2 1y k x , 由
2
2 1
1
kd
k
解得 3
4k ,又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x 显然符合要求,
故满足题意的直线 2l 应为两条;
( 2 ) 方 法 1 : 联 立 2
2
2
2 2
3 81 54{ 09
9
hy x h y yh hx y
得 点
2
2 2
243 3 54,81 81
h hQ h h
9 , 3BQ BC
hk kh
,问题得证;
方法 2:设点 的坐标为 ,分 0h , 0h ,两组情况讨论得证
;方法 3:设点 Q 的坐标为 1 1,x y , 则 2 2
1 1 9x y ,则由三点 A、Q、C 三点共线及直线 l 的方程得点
1
1
96, 3
yC x
,表示出 ,BC BQk k ,可证 BQ BCk k 为定值
试题解析:
(1)因直线 与圆O 相交所得弦长等于 ,所以圆心 0,0O 到直线的距离 2
9 2 2 1d
设直线 的方程为 2 1y k x ,即 2 0kx y k
由
2
2 1
1
kd
k
解得 3
4k
又过点 P 且与 x 轴垂直的直线 1x 显然符合要求
所以直线 的方程是 或3 4 5 0x y
(2)方法 1:设点C 的坐标为 6,h ,则直线 AC 的方程为 39
hy x
由 2
2
2
2 2
3 81 54{ 09
9
hy x h y yh hx y
解得 1 2 2
540, 81
hy y h
从而得点
2
2 2
243 3 54,81 81
h hQ h h
9 , 3BQ BC
hk kh
所以 3BQ BCk k
方法 2:设点 的坐标为 ,
若 0h ,则
3BC
hk
9AC
hk BQ AC
9
BQk h
所以 3BQ BCk k
当 0h 时,同理可得 3BQ BCk k
所以 BQ BCk k 为定值
方法 3:设点Q 的坐标为 1 1,x y , 则 2 2
1 1 9x y
则三点 A、Q、C 三点共线及直线l 的方程得点 1
1
96, 3
yC x
1
1
3 ,3BC
yk x
1
1 3BQ
yk x
2 2
1 1
2 2
1 1
3 3 39BQ BC
y yk k x y
22.(12 分)如图,已知圆心坐标为 ( 3,1) 的圆 M 与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 A 、 B 两点,另一
圆 N 与圆 M 外切,且与 x 轴及直线 3y x 分别相切于 C 、 D 两点.
(1)求圆 M 和圆 N 的方程;
(2)过点 B 作直线 MN 的平行线 l ,求直线l 被圆 N 截得的弦的长度.
【答案】(1) 2 2( 3) ( 1) 1x y , 2 2( 3 3) ( 3) 9x y ;(2) 33 .
【解析】(1)由于 M 与 BOA 的两边均相切,故 M 到OA及 OB 的距离均为 M 的半径,
则 M 在 BOA 的平分线上,同理, N 也 BOA 在的平分线上,
即 O M N, , 三点共线,且OMN 为 BOA 的平分线,
∵ M 的坐标为 ( 3,1) ,∴ M 到 x 轴的距离为 1,即 M 的半径为 1,
则 M 的方程为 2 2( 3) ( 1) 1x y ,
设 Ne 的半径为 r ,其与 x 轴的切点为C ,连接 MA 、 MC ,
由 Rt OAM Rt OCN ∽ 可知, : :OM ON MA NC ,
即 2 1 33 rr r
.
则 3 3OC ,则圆 N 的方程为 2 2( 3 3) ( 3) 9x y ;
(2)由对称性可知,所求的弦长等于过 A 点,直线 MN 的平行线被圆 N 截得的弦的长度,
此弦的方程是 3 ( 3)3y x ,即: 3 3 0x y ,
圆心 N 到该直线的距离 3
2d ,则弦长= 2 22 33r d .
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