高中数学人教a版必修二 第一章 空间几何体 学业分层测评4 word版含答案 7页

学业分层测评(四) (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行 于 x 轴、y 轴，且∠A＝90°，则在直观图中∠A′等于( ) A．45° B．135° C．45°或 135° D．90° 【解析】 在画直观图时，∠A′的两边依然分别平行于 x′轴、y′ 轴，而∠x′O′y′＝45°或 135°. 【答案】 C 2．由斜二测画法得到： ①相等的线段和角在直观图中仍然相等； ②正方形在直观图中是矩形； ③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形； ④菱形的直观图仍然是菱形． 上述结论正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的 角在直观图中不一定相等，如角为 90°，在直观图中可能是 135°或 45°， 故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选 A. 【答案】 A 3．如图 1230 为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形 可能是( ) 【导学号：09960020】 图 1230 A B C D 【解析】 根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯 形，且在直观图中平行于 y′轴的边与底边垂直． 【答案】 C 4．(2015·江西师大附中高一检测)已知水平放置的△ABC 是按“斜 二测画法”得到如图 1231 所示的直观图，其中 B′O′＝C′O′＝1， A′O′＝ 3 2 ，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是( ) 图 1231 A．30° B．45° C．60° D．90° 【解析】 根据斜二测画法可知△ABC 中，BC＝2，AO＝ 3， AO⊥BC，∴AB＝AC＝ 12＋ 32＝2，故△ABC 是等边三角形，则 ∠ABC＝60°. 【答案】 C 5．如图，在斜二测画法下，两个边长为 1 的正三角形 ABC 的直 观图不是全等三角形的一组是( ) 【解析】 根据斜二测画法知在 A，B，D 中，正三角形的顶点 A， B 都在 x 轴上，点 C 由 AB 边上的高线确定，所得直观图是全等的；对 于 C，左侧建系方法画出的直观图，其中有一条边长度为原三角形的 边长，但右侧的建系方法中所得的直观图中没有边与原三角形的边长 相等，由此可知不全等． 【答案】 C 二、填空题 6．如图 1232 所示，四边形 OABC 是上底为 2，下底为 6，底角 为 45° 的 等 腰 梯 形 ， 由 斜 二 测 画 法 ， 画 出 这 个 梯 形 的 直 观 图 O′A′B′C′，则在直观图中梯形的高为________． 图 1232 【解析】 按斜二测画法，得梯形的直观图 O′A′B′C′，如图 所示，原图形中梯形的高 CD＝2，在直观图中 C′D′＝1，且 ∠C′D′E′＝45°，作 C′E′垂直于 x′轴于 E′，则 C′E′＝ C′D′·sin 45°＝ 2 2 . 【答案】 2 2 7．(2015·雅安高二检测)如图 1233 所示，斜二测画法得到直观图 四边形 A′B′C′D′是一个底角为 45°，腰和上底均为 1 的等腰梯形， 那么原平面图形的面积是________． 【导学号：09960021】 图 1233 【 解 析 】 在 梯 形 A′B′C′D′ 中 ， B′C′ ＝ A′D′ ＋ 2·A′B′cos 45°＝1＋ 2，则原平面图形是上底为 1，下底为 1＋ 2， 高为 2 的直角梯形，其面积 S＝1 2(1＋1＋ 2)×2＝2＋ 2. 【答案】 2＋ 2 三、解答题 8．如图 1234，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直 观图，将其恢复成原图形． 图 1234 【解】 画法：(1)如图②，画直角坐标系 xOy，在 x 轴上取 OA＝ O′A′，即 CA＝C′A′； ① ② (2)在图①中，过 B′作 B′D′∥y′轴，交 x′轴于 D′，在图② 中，在 x 轴上取 OD＝O′D′，过 D 作 DB∥y 轴，并使 DB＝2D′B′. (3)连接 AB，BC，则△ABC 即为△A′B′C′原来的图形，如图 ②. 9．有一个正六棱锥(底面为正六边形，侧面为全等的等腰三角形的 棱锥)，底面边长为 3 cm，高为 3 cm，画出这个正六棱锥的直观图． 【解】 (1)先画出边长为 3 cm 的正六边形的水平放置的直观图， 如图①所示； (2)过正六边形的中心 O′建立 z′轴，在 z′轴上截取 O′V′＝3 cm，如图②所示； (3)连接 V′A′、V′B′、V′C′、V′D′、V′E′、V′F′， 如图③所示； (4)擦去辅助线，遮挡部分用虚线表示，即得到正六棱锥的直观图， 如图④所示． [自我挑战] 10．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图 1235 所示，已知 B′C′＝4，A′C′＝3，则△ABC 中 AB 边上的中线的长度为( ) 【导学号：09960022】 图 1235 A. 73 2 B. 73 C．5 D.5 2 【解析】 由斜二测画法规则知△ABC 是∠ACB 为直角的三角形， 其中 AC＝3，BC＝8，AB＝ 73，所以 AB 边上的中线长为 73 2 . 【答案】 A 11．(2015·咸阳高一检测)一个水平放置的平面图形的斜二测直观 图是直角梯形 ABCD，如图 1236 所示，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1， DC⊥BC，求原平面图形的面积． 图 1236 【解】 过 A 作 AE⊥BC，垂足为 E， 又∵DC⊥BC 且 AD∥BC， ∴四边形 ADCE 是矩形， ∴EC＝AD＝1，由∠ABC＝45°，AB＝AD＝1 知 BE＝ 2 2 ， ∴原平面图形是梯形且上下两底边长分别为 1 和 1＋ 2 2 ，高为 2， ∴原平面图形的面积为1 2 × 1＋1＋ 2 2 ×2＝2＋ 2 2 .