2021高三数学人教B版一轮学案：第二章 第十节　变化率与导数、导数的计算 9页

www.ks5u.com 第十节　变化率与导数、导数的计算 最新考纲 考情分析 ‎1.了解导数概念的实际背景．‎ ‎2．通过函数图象直观理解导数的几何意义．‎ ‎3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数．‎ ‎4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数.‎ 导数的概念和运算是高考的必考内容，一般渗透在导数的应用中考查；导数的几何意义常与解析几何中的直线交汇考查；题型为选择题或解答题的第(1)问，低档难度.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 知识点一　　导数的概念 ‎1．函数y＝f(x)与x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 ＝ 为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ .‎ 函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．‎ ‎2．导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．‎ 曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．‎ ‎3．函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ 为f(x)的导函数．‎ ‎4．f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.‎ 知识点二　　导数公式及运算法则 ‎1．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xn(n∈Q*)‎ f′(x)＝n·xn－1‎ f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝axlna f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1)‎ f′(x)＝ f(x)＝lnx f′(x)＝ ‎2.导数的运算法则 ‎(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；‎ ‎(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎(3)′＝(g(x)≠0)．‎ ‎3．复合函数的导数 复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x ‎)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．‎ ‎1．思考辨析 判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．(　√　)‎ ‎(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．(　×　)‎ ‎(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．(　×　)‎ ‎(4)对于函数y＝f(x)，当x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，若记Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则y＝f(x)的平均变化率为＝＝.(　√　)‎ 解析：(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数值与x0有关，所以正确．‎ ‎(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，所以错误．‎ ‎(3)在导数的定义中，Δy可以为零，所以错误．‎ ‎(4)f(x)平均变化率为＝＝＝.‎ ‎2．小题热身 ‎(1)函数y＝xcosx－sinx的导数为(　B　)‎ A．xsinx B．－xsinx C．xcosx D．－xcosx 解析：y′＝(xcosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx ‎＝－xsinx.‎ ‎(2)已知f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　B　)‎ A．e2 B．e C. D．ln2‎ 解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，由f′(x0)＝2，即lnx0＋1＝2，解得x0＝e.‎ ‎(3)某质点的位移函数是s(t)＝2t3－gt2(g＝‎10 m/s2)，则当t＝2 s时，它的加速度是(　A　)‎ A．‎14 m/s2 B．‎4 m/s2‎ C．‎10 m/s2 D．－‎4 m/s2‎ 解析：由v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得t＝2时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．‎ ‎(4)函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为3，在x＝2处的导数为4.‎ 解析：函数f(x)＝x2在区间[1,2]上的平均变化率为＝3，在x＝2处的导数为f′(2)＝2×2＝4.‎ ‎(5)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x.‎ 解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.当x＝0时，y′＝2，∴曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y－0＝2(x－0)，即y＝2x.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 考点一　导数的运算 命题方向1　　根据求导法则求函数的导数 ‎【例1】　求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；‎ ‎(4)y＝xsincos.‎ ‎【解】　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.‎ ‎(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.‎ ‎(3)y′＝′＝ ‎＝－.‎ ‎(4)∵y＝xsincos ‎＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，‎ ‎∴y′＝－sin4x－x·4cos4x＝－sin4x－2xcos4x.‎ 命题方向2　　抽象函数的导数计算 ‎【例2】　(2020·南昌模拟)已知f(x)在R上连续可导，f′(x)为其导函数，且f(x)＝ex＋e－x－f′(1)x·(ex－e－x)，则f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝(　　)‎ A．4e2＋4e－2 B．4e2－4e－2‎ C．0 D．4e2‎ ‎【解析】　由题意，得f′(x)＝ex－e－x－f′(1)[ex－e－x＋x(ex＋e－x)]，所以f′(0)＝e0－e0－f′(1)[e0－e0＋0·(e0＋e0)]＝0，f′(2)＋f′(－2)＝0，所以f′(2)＋f′(－2)－f′(0)f′(1)＝0，故选C.‎ ‎【答案】　C 方法技巧 (1)求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.,(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.‎ ‎1．若y＝x－cossin，则y′＝1－cosx.‎ 解析：因为y＝x－sinx，‎ 所以y′＝′＝x′－′＝1－cosx.‎ ‎2．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝－4.‎ 解析：∵f′(x)＝2x＋‎2f′(1)，∴f′(1)＝2＋‎2f′(1)，即f′(1)＝－2.∴f′(x)＝2x－4，∴f′(0)＝－4.‎ 考点二　导数的几何意义 命题方向1　已知切点求切线方程 ‎【例3】　(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则(　　)‎ A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1‎ C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1‎ ‎【解析】　因为y′＝aex＋lnx＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，所以曲线在点(1，ae)处的切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，所以解得 ‎【答案】　D 命题方向2　求切点坐标 ‎【例4】　(2019·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．‎ ‎【解析】　设A(x0，lnx0)，又y′＝，则曲线y＝lnx在点A 处的切线方程为y－lnx0＝(x－x0)，将(－e，－1)代入得，－1－lnx0＝(－e－x0)，化简得lnx0＝，解得x0＝e，则点A的坐标是(e,1)．‎ ‎【答案】　(e,1)‎ 命题方向3 　未知切点求切线方程 ‎【例5】　(2020·成都检测)已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，则直线l在x轴上的截距为(　　)‎ A．2 B．1‎ C．e2 D．－e2‎ ‎【解析】　设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：y＝e2x2的切点为B(x2，e2x)．由y＝ex，得y′＝ex，所以曲线C1在点A处的切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x－ex1(x1－1)　①.由y＝e2x2，得y′＝e2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为y－e2x＝e2x2(x－x2)，即y＝e2x2x－e2x　②.因为①②表示的切线为同一直线，所以解得所以直线l的方程为y＝e2x－e2，令y＝0，可得直线l在x上的截距为1，故选B.‎ ‎【答案】　B 命题方向4　　求参数的值或范围 ‎【例6】　已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－x－b有且仅有两个零点，则实数b的取值范围是________．‎ ‎【解析】　∵函数g(x)＝f(x)－x－b有且仅有两个零点，‎ ‎∴函数f(x)＝与函数y＝x＋b的图象有且仅有两个交点，‎ 作出函数f(x)＝与函数y＝x＋b的图象，如图所示．‎ 当b＝0时，两函数图象有一个交点，是一个临界值．‎ 当直线y＝x＋b与f(x)＝(x>0)的图象相切时，两函数图象有一个交点，此时b的值是另一个临界值．‎ 设切点为(m，)，m>0，‎ ‎∵f′(x)＝·(x>0)，‎ ‎∴·＝，解得m＝1，‎ 故切点为(1,1)，故b＝1－＝.‎ 结合图象可得，00)相切于同一点P，则a的值为2e.‎ 解析：设切点P(x0，y0)，则由y＝lnx，得y′＝，‎ 由x2＝ay，得y′＝x，则有解得a＝2e.‎ ‎4．(方向4)已知直线2x－y＋1＝0与曲线y＝aex＋x相切(其中e为自然对数的底数)，则实数a的值为1.‎ 解析：由题意知y′＝aex＋1＝2，则a>0，x＝－lna，代入曲线方程得y＝1－lna，所以切线方程为y－(1－lna)＝2(x＋lna)，即y＝2x＋lna＋1＝2x＋1⇒a＝1.‎