2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第11讲条件概率与正态分布课件 43页

第 11 讲 条件概率与正态分布 课标要求 考情风向标 通过实际问题，借助 直观 ( 如实际问题的 直方图 ) ，认识正态 分布曲线 的特点及 曲线所表示的意义 1. 利用正态分布密度曲线的对称性研究相 关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线 关于直线 x ＝ μ 对称，及曲线与 x 轴之间的 面积为 1. 2. 利用 3 σ 原则求概率问题时，要注意把给 出的区间或范围与正态变量的 μ ， σ 进行对 比联系，确定它们属于 ( μ － σ ， μ ＋ σ ) ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 中的哪 一个 1. 正态分布 2. 正态曲线的特点 (1) 曲线位于 x 轴上方，与 x 轴不相交 . (2) 曲线是单峰的，关于直线 ________ 对称 . (4) 曲线与 x 轴之间的面积为 ______. (5) 当 σ 一定时，曲线随 μ 的变化沿 x 轴平移 . (6) 当 μ 一定时，曲线形状由 σ 确定： σ 越大，曲线越“ 矮胖 ” ， 表示总体分布越分散； σ 越 ______ ，曲线越“高瘦”，表示总体 分布越集中 . 1 小 x ＝ μ 3.3 σ 原则 (1) P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.6827. (2) P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.9545. (3) P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.9973. 4. 条件概率及其性质 (1) 条件概率的定义： A 发生的条件下，事件 B 发生的概率 . (2) 条件概率的求法： 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概 (3) 条件概率的性质： ① 条件概率具有一般概率的性质，即 ____≤ P ( B | A )≤____ ； ② 若 B 和 C 是两个互斥事件，则 P ( B ∪ C | A ) ＝ P ( B | A ) ＋ P ( C | A ). 0 1 ) B 1. 正态曲线下、横轴上，从均值到＋∞的面积为 ( A.0.95 B.0.5 C.0.975 D. 不能确定 ( 与标准差的大小有关 ) 2. 在某项检测中，测量结果服从正态分布 N (2,1) ，若 P ( X <1) ＝ P ( X >1 ＋ λ ) ，则 λ ＝ ( ) B A.0 B.2 C.3 D.5 解析： 依题意，正态曲线关于 x ＝ 2 对称，又 P ( X <1) ＝ P ( X >1 ＋ λ ) ，因此 1 ＋ λ ＝ 3 ，∴ λ ＝ 2. 则 P ( － 2≤ ξ ≤2) ＝ ( ) C A.0.477 B.0.628 C.0.954 D.0.977 3. 已知随机变量 ξ 服从正态分布 N (0 ， σ 2 ) ， P ( ξ >2) ＝ 0.023 ， 4.(2019 年山东淄博模拟 ) 设每天从甲地去乙地的旅客人数 为随机变量 X ，且 X ～ N (800,50 2 ) ，则一天中从甲地去乙地的旅 客人数不超过 900 的概率为 ( ) A ( 参考数据：若 X ～ N ( μ ， σ 2 ) ，有 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ＝ 0.6826 ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.9544 ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.9974) A.0.9772 B.0.6826 C.0.9974 D.0.9544 考点 1 条件概率 例 1 ： (1) 从 1,2, 3,4,5 中任取 2 个不同的数，事件 A 为“取 到的 2 个数之和为偶数”，事件 B 为“取到的 2 个数均为偶 数”，则 P ( B | A ) 等于 ( ) 答案： B (2) 有一批种子的发芽率为 0.9 ，出芽后的幼苗成活率为 0.8 ， 在这批种子中，随机抽取一粒，求这粒种子能成长为幼苗 的概 率 . ，得 解： 设种子发芽为事件 A ，种子成长为幼苗为事件 AB ( 发 芽，又成活为幼苗 ) ，出芽后的幼苗成活率为 P ( B | A ) ＝ 0.8 ， P ( A ) ＝ 0.9 ， 由 P ( B | A ) ＝ P ( AB ) P ( A ) P ( AB ) ＝ P ( B | A )· P ( A ) ＝ 0.8×0.9 ＝ 0.72. 故这粒种子成长为幼苗的概率为 0.72. 【 跟踪训练 】 1.(1) 一个盒子里有 6 支好晶体管， 4 支坏晶体管，任取两 次，每次取一支，每次取后不放回，已知 第一支是好晶体管， 则第二支也是好晶体管的概率为 ( ) A. 2 3 B. 5 12 C. 5 9 D. 7 9 (2) 在一次考试的 5 道题中，有 3 道理科题和 2 道文科题， 如果不放回的依次抽取 2 道题，则在第一次抽到理科题的条件 下，第二次抽到理科题的概率为 _____. (3)(2019 年江西南昌模拟 ) 口袋中装有大小、形状相同的红 球 2 个，白球 3 个，黄球 1 个，甲从中不放回地逐一取球，已 知第一次取得红球，则第二次取得 白球的概率为 ______. 考点 2 正态分布的相关计算 例 2 ： (1) (2015 年山东 ) 已知某批零件的长度误差 ( 单位：毫 米 ) 服从正态分布 N (0,3 2 ) ，从中随机取一件，其长度误差落在区 间 (3,6) 内的概率为 ( ) ( 附：若随机变量 ξ 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < ξ < μ ＋ σ ) ＝ 68.27% ， P ( μ － 2 σ < ξ < μ ＋ 2 σ ) ＝ 95.45%) A.4.56% B.13.59% C.27.18% D.31.74% 答案： B (2) 已知随机变量 X 服从正态分布 N (2 ， σ 2 ) ，且 P ( X <4) ＝ 0.8 ， 则 P (0< X <2) ＝ ( ) A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2 解析： 由 P ( X <4) ＝ 0.8 ，得 P ( X ≥4) ＝ 0.2 ，如图 D114 ，由 题意，知正态曲线的对称轴为直线 x ＝ 2 ， P ( X ≤0) ＝ P ( X ≥4) ＝ 0.2. ∴ P (0< X <4) ＝ 1 － P ( X ≤0) － P ( X ≥4) ＝ 0.6. ∴ P (0< X <2) ＝ 图 D114 答案： C (3)(2018 年长郡中学二模 ) 设随机变量 X 服从正态分布 N (4 ， σ 2 ) ，若 P ( X > m ) ＝ 0.3 ，则 P ( X >8 － m ) ＝ ( A.0.2 C.0.7 ) B.0.3 D. 与 σ 的值有关 解析： ∵随机变量 X 服从正态分布 N (4 ， σ 2 ) ， ∴ 正态曲线的对称轴是 x ＝ 4 ， ∵ P ( X > m ) ＝ 0.3 ，且 m 与 8 － m 关于 x ＝ 4 对称， 由正态曲线的对称性，得 P ( X > m ) ＝ P ( X <8 － m ) ＝ 0.3 ， 故 P ( X >8 － m ) ＝ 1 － 0.3 ＝ 0.7. 答案： C (4) 已知某公司生产的一种产品的质量 X ( 单位：克 ) 服从正 态分布 N (100,4) ，现从该产品的生产线上随机抽取 10 000 件产 品，其中质量在 [98,104] 内的产品估计有 ( ) A.3 413 件 C.6 826 件 B.4 772 件 D.8 185 件 [ 附：若 X 服从 N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ ＜ X ＜ μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ ＜ X ＜ μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4] 解析： ∵ N (100,4) ，∴ μ ＝ 100 ， σ ＝ 2 ， ＝ 0.818 5. ∴ 抽取的产品质量在 [98,104] 内的产品估计有 8185 件 . 答案： D (5) 某中学组织了“自主招生数学选拔赛”，已知此次选拔 赛的数学成绩 X 服从正态分布 N (75,121)( 单位：分 ) ，考生共有 1 000 人，估计数学成绩在 75 ～ 86 分之间的人数约为 ( 参考数据 P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， P ( μ － 2 σ < X < μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.954 4)( ) A.261 C.477 B.341 D.683 解析： ∵ X ～ N (75,121) ，∴ μ ＝ 75 ， σ ＝ 11 ， ∵ P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ＝ 0.682 6 ， ∴ P (64< X <86) ＝ 0.682 6 ，又 μ ＝ 75 ， 即数学成绩在 75 ～ 86 分之间的人数约为 341 ，故选 B. 答案： B 【 规律方法 】 关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法： ① 熟记 P ( μ － σ < X ≤ μ ＋ σ ) ， P ( μ － 2 σ < X ≤ μ ＋ 2 σ ) ， P ( μ － 3 σ < X ≤ μ ＋ 3 σ ) 的值；②充分利用正态曲线的对称性和曲线与 x 轴之间面 积为 1. 考点 3 正态分布密度函数的性质 ) 的密度函数图象如图 9-11-1 ，则有 ( 图 9-11-1 A. μ 1 < μ 2 ， σ 1 < σ 2 C. μ 1 > μ 2 ， σ 1 < σ 2 B. μ 1 < μ 2 ， σ 1 > σ 2 D. μ 1 > μ 2 ， σ 1 > σ 2 解析： ∵正态曲线的图象关于直线 x ＝ μ 对称，由图知 μ 1 < μ 2 . 又 σ 2 越大，即方差越大，说明样本数据越发散，图象越矮 胖；反之， σ 2 越小，即方差越小，说明样本数据越集中，图象 越瘦高 . 答案： A (2)( 多选 ) 若甲、乙两类水果的质量 ( 单位： kg) 分别服从正态 则下列说法正确的是 ( ) 图 9-11-2 A. 乙类水果的质量服从的正态分布的参数 σ 2 ＝ 64 B. 甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中 C. 甲类水果的平均质量 μ 1 ＝ 0.4 kg D. 甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小 解析： 由于甲的密度曲线比较“瘦高”，∴甲类水果质量 比乙类水果的质量更集中，故 B 正确；由图象可知，甲类水果 的平均质量 μ 1 ＝ 0.4 kg ，乙类水果的平均质量 μ 2 ＝ 0.8 kg ，故 C ， 正态分布的参数 σ 2 ＝ 8 ，故 A 不正确 . 故选 BCD. 答案： BCD 【 规律方法 】 正态曲线的性质 . ① 曲线在 x 轴的上方，与 x 轴不相交 . ② 曲线是单峰的，它关于直线 x ＝ μ 对称 . ④ 曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤ 当 σ 一定时，曲线随着 μ 的变化而沿 x 轴平移，如图 9-11-3(1). (1) (2) 图 9-11-3 ⑥ 当 μ 一定时，曲线的形状由 σ 确定 . σ 越大，曲线越“矮 胖”，总体分布越分散； σ 越小，曲线越 “ 瘦高 ”，总体分布越 集中 . 如图 9-11-3(2). 难点突破 ⊙ 与正态分布结合的综合问题 例题： (2017 年新课标 Ⅰ ) 为了监控某种零件的一条生产线 的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并 测量其尺寸 ( 单位： cm). 根据长期生产经验，可以认为这条生产 线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ). (1) 假设生产状态正常，记 X 表示一天内抽取的 16 个零件 中其尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件数，求 P ( X ≥1) 及 X 的数 学期望； 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 (2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能 出现 了异常情况，需对当天的生产过程进行检查 . ① 试说明上述监控生产过程方法的合理性； ② 下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸： 解： (1) 抽取的一个零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之内的概 率为 0.9973 ，从而零件的尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率为 0.0027 ，故 X ～ B (16,0.0027). 因此 P ( X ≥1) ＝ 1 － P ( X ＝ 0) ＝ 1 － 0.9973 16 ≈0.0423. X 的数学期望为 E ( X ) ＝ 16×0.0027 ＝ 0.0432. (2)① 如果生产状态正常，一个零件尺寸在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的概率只有 0.0027 ，一天内抽取的 16 个零件中，出现尺寸 在 ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) 之外的零件的概率只有 0.0423 ，发生的概率很 小 . 因 此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检 查，可见上述监控生产过程的方法是合理的 . 【 跟踪训练 】 2. 当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进 . 高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和 学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施 . 重庆 2018 年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、 掷实心球、 1 分钟跳绳三项测试，三项考试满分为 50 分，其中 立定跳远 15 分，掷实心球 15 分， 1 分钟跳绳 20 分 . 某学校在初 三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽 取了 100 名学生进行测试，得到频率分布直方图 ( 如图 9-11-4) ， 且规定计分规则如下表： 每分钟跳 绳个数 / 个 [155,165) [165,175) [175,185) [185 ，＋∞ ) 得分 / 分 17 18 19 20 图 9-11-4 (1) 现从样本的 100 名学生中，任意选取 2 人，求两人得分 之和不大于 35 分的概率； (2) 若该校初三年级所有学生的跳绳个数 X 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差， 已知样本方差 S 2 ≈169( 各组数据用中点值代替 ). 根据往年经验， 该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳 绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个 数比初三上学期开始时个数增加 10 个，现利用所得正态分布模 型： ① 预估全年级恰好有 2000 名学生时，正式测试每 分钟跳 182 个以上的人数； ( 结果四舍五入到整数 ) ② 若在全年级所有学生中任意选取 3 人，记正式测试时每 分钟跳 195 个以上的人数为 ξ ，求随机变量 ξ 的分布列和期望 . 附：若随机变量 X 服从正态分布 N ( μ ， σ 2 ) ，则 P ( μ － σ < X < μ ＋ σ ) ＝ 0.6826 ， P ( μ － 2 σ < X < μ ＋ 2 σ ) ＝ 0.9544 ， P ( μ － 3 σ < X < μ ＋ 3 σ ) ＝ 0.9974. ξ 0 1 2 3 P 0.125 0.375 0.375 0.125 ∴ ξ 的分布列为 E ( ξ ) ＝ 0×0.125 ＋ 1×0.375 ＋ 2×0.375 ＋ 3×0.125 ＝ 1.5. 2. 正态曲线的形状特征 —— 对称性，顶点变化趋势 . 要充分 利用正态曲线关于直线 x ＝ μ 对称和曲线与 x 轴之间的面积为 1. 3. 正态分布中 P ( a ≤ x ≤ b ) 几何意义是正态密度函数图象与 x 轴及直线 x ＝ a ， x ＝ b 围成的图形的面积 . 4. 在实际问题中进行概率、百分比计算时，关键把正态分 布的两个重要参数 μ ， σ 求出，然后确定三个区间 ( μ － σ ， μ ＋ σ ) ， ( μ － 2 σ ， μ ＋ 2 σ ) ， ( μ － 3 σ ， μ ＋ 3 σ ) ，由 3 σ 原则进行联系求解 .