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- 2021-06-24 发布
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茂名市 2021 届五校联盟高三级第一次联考
数学试题
本试卷共 4 页。总分 150 分。考试时间 120 分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,
用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡对应位置上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的。
1.复数 2i
1 i
,的虚部为
A.-1 B.1 C.i D.-i
2.已知集合 A={x| x 1
x 1
≤0},B={x∈Z|y=ln(6+x-x2)},则 A∩B=
A.{0,1} B.{-1,0,1} C.(-1,1] D.[-1,1]
3.己知向量| a
|=4,|b
|=8, a
与b
的夹角为 60°,则|2 a
+b
|=
A.5 3 B.8 3 C.8 2 D.6 3
4.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事,打造一部见证新中国体
育改革 40 年的力作,该影片于 2020 年 09 月 25 日正式上映。在《夺冠》,上映当天,一对夫
妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片,订购的 4 张电影票恰好在同一排且连在一起。为
安全起见,影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐,则不同的坐法种数是
A.8 B.12 C.16 D.20
5..若 a=( 2
3 )-1,b=log23,c=( 1
2 )0.3,则
A.a0)
- 3 -
个单位得到函数 g(x)=sin(2x+
6
)+1 的图像,则下列结论正确的是
A.直线 x=
4
是 y=f(x)的一条对称轴 B.函数 y=f(x)的最小正周期是π
C.函数 y=f(x)的值域是[0,2] D.φ的最小值是
6
11.双曲线 C:
2 2
2 2 1( 0, 0)x y a ba b
的焦点在圆 O:x2+y2=13 上,圆 O 与双曲线 C 的渐
近线在第一、二象限分别交于 M、N 两点,点 E(0,a)满足 EO EM EN 0
(其中 O 为坐
标原点),则正确说法是
A.双曲线 C 的一条渐近线方程为 3x-2y=0 B.| OE
|=1
C.双曲线 C 的离心率为 13
2 D.△OMN 的面积为 6
12.如图所示,正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 1,E,F 分别是棱 AA',CC'的中点,过直线
EF 的平面分别与棱 BB',DD'交于 M,N,设 BM=x,x∈(0,1),则正确的说法是
A.四边形 MENF 为平行四边形
B.若四边形 MENF 面积 S=f(x),x∈(0,1),则 f(x)有最小值
C.若四棱锥 A-MENF 的体积 V=p(x),x∈(0,1),则 p(x)是常函数
D.若多面体 ABCD-MENF 的体积 V=h(x),x∈( 1
2
,1),则 h(x)为单调函数
三、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。
13.设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 an=2n-1,则数列{ nS
n }的前 20 项和为 。
14.已知直线 y=x+1 是曲线 f(x)=ln(x+a)的切线,则 a= 。
15.设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(1,0),准线为 l,过焦点的直线交抛物线于 A,B 两点,
分别过 A,B 作 l 的垂线,垂足为 C,D,若|AF|=4|BF|,则|AB|= 。△CDF 的面积
为 。(本题第一个空 2 分,第二个空 3 分)
- 4 -
16.如图,已知正方体的 ABCD-A1B1C1D1 棱长为 2,点 M,N 分别是棱 BC,C1D1 的中点,
点 P 在平面 A1B1C1D1 内,点 Q 在线段 A1N 上,若 PM= 5 ,则 PQ 长度的最小值为 。
四、解答题:本题共 6 小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤。
17.(满分 10 分)
如图,在平面四边形 ABCD 中,∠B=120°,BC=2,△ABC 的面积为 2 3 。
(1)求 AC;
(2)若∠ADC=60°,求四边形 ABCD 周长的最大值。
18.(满分 12 分)
在①a2,a3,a4-4 成等差数列;②S1,S2+2,S3 成等差数列;⑧an+1=Sn+2 中任选一个,补
充在下列问题中,并解答。
在各项均为正数等比数列{an}中,前 n 项和为 Sn,已知 a1=2,且 。
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若 bn=(n+1)log2an,记数列 2
n
4n 2
b
的前 n 项和为 Tn,证明 Tn<2。
19.(满分 12 分)
已知四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD 为菱形,PD=PB,H 为 PC 上的点,过 AH 的平面分别
交 PB,PD 于点 M,N,且 BD//平面 AMHN。
- 5 -
(1)证明:MN⊥AH;
(2)当 H 为 PC 的中点,PA=PC= 3 AB,PA 与平面 ABCD 所成的角为 60°,求平面 ABCD
与平面 AMHN 所成锐二面角的大小。
20.(满分 12 分)
受新冠肺炎疫情影响,上学期同课时间长达三个多月,电脑与手机屏幕代替了黑板,对同学
们的视力造成了非常大的损害。我市某中学为了了解同学们现阶段的视力情况,现对高三年
级 2000 名学生的视力情况进行了调查,从中随机抽取了 100 名学生的体检表,绘制了频率分
布直方图如下左图:
(1)求 a 的值,并估计这 2000 名学生视力的平均值(精确到 0.1);
(2)为了进一步了解视力与学生成绩是否有关,对本年级名次在前 50 名与后 50 名的学生进行
了调查,得到的数据如右上列联表,根据表中数据,能否有 95%把握认为视力与学习成绩有
关?
(3)自从“十八大”以来,国家郑重提出了人才强军战略,充分体现了国家对军事人才培养的
高度重视。近年来我市空军飞行员录取情况喜人,继 2019 年我市有 6 人被空军航空大学录取
之后,今年又有 3 位同学顺利拿到了空军航空大学通知书,彰显了我市爱国主义教育,落实
立德树人根本任务已初见成效。2020 年某空军航空大学对考生视力的要求是不低于 5.0,若以
该样本数据来估计全市高三学生的视力,现从全市视力在 4.8 以上的同学中随机抽取 3 名同学,
这 3 名同学中有资格报考该空军航空大学的人数为 X,求 X 的分布列及数学期望。
- 6 -
附:
2
2 ( )
( )( )( )( )
n ad bcK a b c d a c b d
,其中 n=a+b+c+d。
21.(满分 12 分)
已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点是 F(c,0),P 椭圆上的一动点,且|PF|的最小值
是 1,当 PF 垂直长轴时,|PF|= 3
2
。
(1)求椭圆 C 的标准方程;
(2)设直线 l 与椭圆 C 相切,且交圆 O:x2+y2=4 于 M,N 两点,求△MON 面积的最大值,
并求此时直线 l 方程。
22.(满分 12 分)
已知函数。f(x)=x2-m,g(x)=x+lnx。
(1)若函数 F(x)=f(x)-g(x),求函数 F(x)的极值;
(2)若 f(x)+g(x)+xex
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