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- 2021-06-24 发布
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1.1
集合的概念与表示
第
1
课时 集合的概念
激趣诱思
知识点拨
图书馆对大学生来说是非常重要的场所
,
它拥有浩如烟海的文献
,
蕴藏了各种有价值的知识、信息
.
图书馆是一所大学的
“
心脏
”,
作为大学生专业教育的
“
第二课堂
”,
它是高校课堂教学必不可缺的补充
.
如何在几百万的书籍中快速找到自己需要的书呢
?
其实这些书籍并不是随意摆放的
,
而是按照中国图书馆分类法
,
将所有图书分成了
22
个基本大类
,
每一大类又细分为若干个小类
,
哪本书属于哪一类是明确的
,
按照这一原则
,
很快就能找到所需要的书了
.
激趣诱思
知识点拨
一、集合的概念
一般地
,
我们把指定的某些对象的
称为集合
.
通常用大写英文字母
A
,
B
,
C
,
…
表示
.
集合中的
叫作这个集合的元素
,
通常用小写英文字母
a
,
b
,
c
,
…
表示
.
名师点析
1
.
集合的概念同平面几何中的点、线、平面等类似
,
只是描述性的说明
.
2
.
集合是一个整体
,
暗含
“
所有
”“
全部
”“
全体
”
的含义
.
一些对象一旦组成了集合
,
这个集合就是这些对象的总体
.
3
.
组成集合的对象可以是数、点、图形、符号等
,
也可以是人或物等
.
全体
每个对象
激趣诱思
知识点拨
微思考
是否可以借助袋子、抽屉
等
实物
来直观
地
理解集合
含义
?
提示
:
可以
.
比如把初三用过的所有课本装进一个袋子或抽屉中
,
可以认为袋子或抽屉是
由
该学生在
初三
用过的所有课本组成的集合
,
袋子或抽屉里的书是集合的元素
.
激趣诱思
知识点拨
二、元素与集合的
关系
名师点析
1
.a
∈
A
与
a
∉
A
取决于元素
a
是否在集合
A
中
,
这两种情况中必有且只有一种成立
.
2
.
符号
“
∈
”“
∉
”
只能用在元素与集合之间
,
表示元素与集合之间的从属关系
.
具有方向性
.
a
∈
A
a
∉
A
激趣诱思
知识点拨
微练习
已知集合
A
中的元素
x
满足
x-
1
<
,
则下列各式正确的是
(
)
A.3
∈
A
,
且
-
3
∉
A
B.3
∈
A
,
且
-
3
∈
A
C.3
∉
A
,
且
-
3
∉
A
D.3
∉
A
,
且
-
3
∈
A
答案
:
D
激趣诱思
知识点拨
三、集合中元素的三个
特性
确定性
互异性
无序性
激趣诱思
知识点拨
名师点析
1
.
确定性的作用是判断一组对象能否组成集合
.
2
.
互异性
的作用
是警示我们做题后要检验
.
特别是题中含有参数
(
字母
)
时
,
一定要检验求出的参数是否使集合的元素满足互异性
.
3
.
无序性的作用是方便定义集合相等
,
当两个集合相等时
,
其元素一定相同
,
但不一定依次对应相等
.
激趣诱思
知识点拨
微练习
1
已知集合
S
中的三个元素
a
,
b
,
c
分别是
△
ABC
的三条边长
,
则
△
ABC
一定不是
(
)
A.
锐角三角形
B
.
钝角三角形
C.
直角三角形
D
.
等腰三角形
微练习
2
已知
a
∈
R
,
a-
1
和
1
两个元素组成了一个集合
,
则
a
应满足的条件是
.
答案
:
D
解析
:
由集合中元素的互异性知
,
a
,
b
,
c
两两不相等
,
故
△
ABC
一定不是等腰三角形
.
a
≠
2
解析
:
根据集合中元素的互异性可知
a-
1≠1,
即
a
≠2
.
激趣诱思
知识点拨
四、几种常用的数集及其记
法
激趣诱思
知识点拨
名师点析
常用数集之间的
关系
实数集
R
激趣诱思
知识点拨
微练习
用符号
“
∈
”
或
“
∉
”
填空
:
(1)1
N
+
;
(2)
-
3
N
;
∈
∉
∈
∉
∈
∈
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合的概念
例
1
给出下列各组对象
:
①
我们班比较高的同学
;
②
无限接近于
0
的数的全体
;
③
比较小的正整数的全体
;
④
平面上到点
O
的距离等于
1
的点的全体
;
⑤
正三角形的全体
;
⑥
的
近似值的全体
.
其中能够组成集合的有
(
)
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
分析
判断一组对象能否组成集合
,
就看判断标准是否明确
.
答案
:
B
解析
:
①②③⑥
不能组成集合
,
因为没有明确的判断标准
;
④⑤
可以组成集合
,“
平面上到点
O
的距离等于
1
的点
”
和
“
正三角形
”
都有明确的判断标准
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
一般地
,
确认一组对象
a
1
,
a
2
,
a
3
,
…
,
a
n
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
均不相同
)
能否构成集合的过程为
:
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
1
(
多选题
)
下列各组对象能组成集合的是
(
)
A.
大于
6
的所有整数
B.
高中数学的所有难题
C.
被
3
除余
2
的所有整数
答案
:
AC
D
解析
:
选项
A,C,D
中的元素符合集合中元素的确定性
;
而选项
B
中
,“
难题
”
没有明确标准
,
不符合集合中元素的确定性
,
不能构成集合
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
元素与集合的关系
例
2
(1)
下列所给关系正确的个数是
(
)
①
π
∈
R
;
②
∉
Q
;
③
0
∈
Z
;
④
|-
1
|
∉
N
*
.
A.1 B.2
C.3 D.4
(2)
我们在初中学习过一元二次方程及其解法
.
设
A
是方程
x
2
-ax-
5
=
0
的解组成的集合
.
①
0
是不是集合
A
中的元素
?
②
若
-
5
∈
A
,
求实数
a
的值
.
③
若
1
∉
A
,
求实数
a
的取值范围
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分析
(1)
首先判断给出的数的属性
,
然后根据常用数集的符号判断两者的关系
.
(2)
①
将
0
代入
,
验证方程是否成立
,
若方程成立
,
则
0
就是集合
A
中的元素
;
若方程不成立
,
则
0
就不是集合
A
中的元素
;
②
-
5
是集合
A
中的元素
,
代入方程即可得到关于
a
的方程并求解
;
③
1
不是集合
A
中的元素
,
则代入后方程不成立
,
得到关于
a
的
不等式
.
(3)
观察元素的特征
,
验证所求式子是否满足特征
,
若满足就是集合
A
中的元素
,
若不满足就不是集合
A
中的元素
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
(1)
答案
:
C
解析
:
根据各个数集的含义可知
,
①②③
正确
,
④
不正确
.
故选
C
.
(2)
解
:
①
将
x=
0
代入方程
,
得
0
2
-a×
0
-
5
=-
5≠0,
所以
0
不是集合
A
中的元素
;
②
若
-
5
∈
A
,
则有
(
-
5)
2
-
(
-
5)
a-
5
=
0,
解得
a=-
4
.
③
若
1
∉
A
,
则
1
2
-a×
1
-
5≠0,
解得
a
≠
-
4
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
判断元素与集合的关系的两种方法
(1)
直接法
:
如果元素是直接给出的
,
那么只要判断该元素在已知集合中是否出现即可
.
此时应明确集合是由哪些元素组成的
.
(2)
推理法
:
对于一些元素没有直接给出的集合
,
只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可
.
此时应明确已知集合中的元素具有什么特征
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
变式训练
2
(1)
下列关系正确的是
(
)
(1)
答案
D
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
集合中元素的特性及其应用
例
3
已知集合
A
含有三个元素
a-
2,2
a
2
+
5
a
,12,
且
-
3
∈
A
,
求
a
的值
.
分析
由
-
3
∈
A
,
分两种情况进行讨论
,
注意根据集合中元素的互异性进行检验
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
先根据集合中元素的确定性解出字母参数的所有可能取值
,
再根据集合中元素的互异性进行检验
.
互异性是元素的三个特性中最常用的一个
,
解答含有字母参数的元素与集合之间关系的问题时
,
要具有分类讨论的意识
.
如本例中得到
a=-
1
或
a
=-
,
需分类讨论检验是否满足集合中元素的互异性
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
延伸探究
(1)
本例中集合
A
中含有三个元素
,
实数
a
的取值是否有限制
?
(2)
本例中集合
A
中能否只有一个元素呢
?
(2)
若该集合中只有一个元素
,
则有
a-
2
=
2
a
2
+
5
a=
12
.
由
a-
2
=
12,
解得
a=
14,
此时
2
a
2
+
5
a=
2
×
14
2
+
5
×
14
=
462≠12
.
所以该集合中不可能只含有一个元素
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
分类整合思想、函数方程思想
——
由集合相等求参数
典例
已知集合
A=
{
a
,
a+b
,
a+
2
b
},
B=
{
a
,
ac
,
ac
2
},
若
A=B
,
求
c
的值
.
分析
要解决
c
的求值问题
,
关键是要有方程的数学思想
,
此题应根据相等的各个集合的元素完全相同
,
及集合中元素的确定性、互异性、无序性建立关系式
.
解
:
根据题意
,
分两种情况进行讨论
:
当
a=
0
时
,
集合
B
中的三个元素均为零
,
与元素的互异性相矛盾
,
故
a
≠0
.
∴
c
2
-
2
c+
1
=
0,
即
c=
1,
此时
B
中的三个元素均为
a
,
∴
c
≠1,
∴
此时无解
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
反思感悟
①
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的情况
,
所以解题后需要进行检验和修正
.
②
有些数学问题需要根据题目的要求和特点分成若干类
,
转化成若干个小问题来解决
,
这种按不同情况分类
,
然后再逐一研究解决问题的数学方法就是分类讨论的方法
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
1
.
下列给出的对象
,
能组成集合的是
(
)
A
.
很大
的数
B.
无限接近零的数
C.
聪明的人
D.
方程
x
2
=
2
的实数根
答案
:
D
解析
:
选项
A,B,C
中给出的对象都是不确定的
,
所以不能组成集合
;
选项
D
中方程
x
2
=
2
的实数根为
x
=-
或
x
=
,
具有确定性
,
所以能组成集合
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
A.
a
∈
A
,
且
b
∉
A
B.
a
∉
A
,
且
b
∈
A
C.
a
∈
A
,
且
b
∈
A
D.
a
∉
A
,
且
b
∉
A
答案
:
B
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
3
.
已知集合
S
中的元素
a
,
b
是一个四边形的两条对角线的长
,
那么这个四边形一定不是
(
)
A.
梯形
B.
平行四边形
C.
矩形
D.
菱形
答案
:
C
解析
:
因为集合中的元素具有互异性
,
所以
a
≠
b
,
即四边形对角线不相等
,
故选
C
.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
4
.
用符号
“
∈
”
或
“
∉
”
填空
:
(1)1
A
,2
A
,3
A
(
其中
A
表示由所有质数组成的集合
);
∉
∈
∈
∉
∈
∈
解析
:
(1)
由
2,3
为质数
,1
不是质数
,
得
1
∉
A
,2
∈
A
,3
∈
A.
探究一
探究二
探究三
素养形成
当堂检测
5
.
已知集合
M
中含有
3
个元素
0,
x
2
,
-x
,
求实数
x
满足的条件
.
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