高中数学人教a版必修三 第三章 概率 学业分层测评18 word版含答案 9页

学业分层测评(十八) 古典概型 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．下列试验中，属于古典概型的是( ) A．种下一粒种子，观察它是否发芽 B．从规格直径为 250 mm±0.6 mm 的一批合格产品中任意抽一根， 测量其直径 d C．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面 D．某人射击中靶或不中靶 【解析】 依据古典概型的特点判断，只有 C 项满足：①试验中 所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性 相同． 【答案】 C 2．集合 A＝{2，3}，B＝{1，2，3}，从 A，B 中各任意取一个数， 则这两数之和等于 4 的概率是( ) A.2 3 B．1 2 C.1 3 D．1 6 【解析】 从 A，B 中各任取一个数有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3， 1)，(3，2)，(3，3)，共 6 种情况，其中两个数之和为 4 的有(2，2)，(3， 1)，故所求概率为2 6 ＝1 3.故选 C. 【答案】 C 3．四条线段的长度分别是 1，3，5，7，从这四条线段中任取三条， 则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( ) A.1 4 B．1 3 C.1 2 D．2 5 【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可 能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1，3， 5)，(1，3，7)，(1，5，7)，(3，5，7)四种，而能构成三角形的基本事 件只有(3，5，7)一种，所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概 率是 P＝1 4. 【答案】 A 4．已知集合 A＝{2，3，4，5，6，7}，B＝{2，3，6，9}，在集 合 A∪B 中任取一个元素，则该元素是集合 A∩B 中的元素的概率为 ( ) A.2 3 B．3 5 C.3 7 D．2 5 【解析】 A∪B＝{2，3，4，5，6，7，9}，A∩B＝{2，3，6}， 所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是3 7. 【答案】 C 5．把一枚骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数 为 a，第二次出现的点数为 b，则方程组 ax＋by＝3， x＋2y＝2 只有一个解的概 率为( ) A. 5 12 B．11 12 C. 5 13 D． 9 13 【解析】 点(a，b)取值的集合共有 36 个元素．方程组只有一个 解等价于直线 ax＋by＝3 与 x＋2y＝2 相交，即a 1 ≠b 2 ，即 b≠2a，而满 足 b＝2a 的点只有(1，2)，(2，4)，(3，6)，共 3 个，故方程组 ax＋by＝3， x＋2y＝2 只有一个解的概率为33 36 ＝11 12. 【答案】 B 二、填空题 6．(2016·石家庄高一检测)一只蚂蚁在如图 321 所示的树枝上寻 觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径，则它能获 得食物的概率为________． 图 321 【解析】 该树枝的树梢有 6 处，有 2 处能找到食物，所以获得 食物的概率为2 6 ＝1 3. 【答案】 1 3 7．在平面直角坐标系中，从五个点：A(0，0)，B(2，0)，C(1，1)， D(0，2)，E(2，2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是________(结 果用分数表示)． 【解析】 从五个点中任取三个点，构成基本事件的总数为 n＝10； 而 A，C，E 三点共线，B，C，D 三点共线，所以这五个点可构成 三角形的个数为 10－2＝8. 设“从五个点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件 A，则 A 所包含的基本事件数为 m＝8，故由古典概型概率的计算公式得所求 概率为 P(A)＝m n ＝ 8 10 ＝4 5. 【答案】 4 5 8．现有 5 根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为 2.5，2.6，2.7， 2.8，2.9.若从中一次抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差 0.3 m 的概 率为________. 【导学号：28750058】 【解析】 基本事件共有(2.5，2.6)，(2.5，2.7)，(2.5，2.8)，(2.5， 2.9)，(2.6，2.7)，(2.6，2.8)，(2.6，2.9)，(2.7，2.8)，(2.7，2.9)，(2.8， 2.9)10 种情况．相差 0.3 m 的共有(2.5，2.8)，(2.6，2.9)两种情况， 所以 P＝ 2 10 ＝1 5. 【答案】 1 5 三、解答题 9．某商场举行购物抽奖促销活动，规定每位顾客从装有编号为 0， 1，2，3 四个相同小球的抽奖箱中，每次取出一球，记下编号后放回， 连续取两次，若取出的两个小球号码相加之和等于 6，则中一等奖，等 于 5 中二等奖，等于 4 或 3 中三等奖． (1)求中三等奖的概率； (2)求中奖的概率． 【解】 设“中三等奖”为事件 A，“中奖”为事件 B， 从四个小球中有放回地取两个有(0，0)，(0，1)，(0，2)，(0，3)， (1，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3， 0)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共 16 种不同的结果． (1)取出的两个小球号码相加之和等于 4 或 3 的取法有：(1，3)，(2， 2)，(3，1)，(0，3)，(1，2)，(2，1)，(3，0)，共 7 种结果， 则中三等奖的概率为 P(A)＝ 7 16. (2)由(1)知两个小球号码相加之和等于 3 或 4 的取法有 7 种； 两个小球号码相加之和等于 5 的取法有 2 种：(2，3)，(3，2)． 两个小球号码相加之和等于 6 的取法有 1 种：(3，3)． 则中奖概率为 P(B)＝7＋2＋1 16 ＝5 8. 10．(2016·长沙联考)某停车场临时停车按时段收费，收费标准如 下：每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元，超过 1 小时的部分每 小时收费 8 元(不足 1 小时按 1 小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车， 两人停车都不超过 4 小时． (1)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为1 3 ，停车费多于 14 元的概率为 5 12 ，求甲的停车费为 6 元的概率； (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、 乙两人停车费之和为 28 元的概率． 【解】 (1)设“一次停车不超过 1 小时”为事件 A，“一次停车 1 到 2 小时”为事件 B，“一次停车 2 到 3 小时”为事件 C，“一次停车 3 到 4 小时”为事件 D. 由已知得 P(B)＝1 3 ，P(C＋D)＝ 5 12. 又事件 A，B，C，D 互斥，所以 P(A)＝1－1 3 － 5 12 ＝1 4. 所以甲的停车费为 6 元的概率为1 4. (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1， 4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，共 16 个； 而“停车费之和为 28 元”的事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，共 3 个， 所以所求概率为 3 16. [能力提升] 1．从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数 为 0 的概率是( ) A.4 9 B．1 3 C.2 9 D．1 9 【解析】 个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必 有一个奇数一个偶数，所以可以分两类： (1)当个位为奇数时，有 5×4＝20(个)，符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有 5×5＝25(个)，符合条件的两位数． 因此共有 20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为 0 的 两位数有 5 个，所以所求概率为 P＝ 5 45 ＝1 9. 【答案】 D 2．(2015·广东高考)已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品， 现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为( ) A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1 【解析】 记 3 件合格品为 a1，a2，a3，2 件次品为 b1，b2，则任 取 2 件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1， b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共 10 个元素． 记“恰有 1 件次品”为事件 A，则 A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2， b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共 6 个元素． 故其概率为 P(A)＝ 6 10 ＝0.6. 【答案】 B 3．(2016·南阳高一检测)若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m， n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在圆 x2＋y2＝16 上或其内部的概率是 ________． 【解析】 连续掷两次骰子，得到点数 m，n 记作 P(m，n)，共有 36 种情况，其中点 P(m，n)落在圆 x2＋y2＝16 上或其内部的情况有(1， 1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，共 8 种 情况，所以 P＝ 8 36 ＝2 9. 【答案】 2 9 4．(2015·山东高考)某中学调查了某班全部 45 名同学参加书法社 团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人) 参加书法社团 未参加书法社团 参加演讲社团 8 5 未参加演讲社团 2 30 (1)从该班随机选 1 名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概 率； (2)在既参加书法社团又参加演讲 社团的 8 名同学中，有 5 名男同 学 A1，A2，A3，A4，A5，3 名女同学 B1，B2，B3.现从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，求 A1 被选中且 B1 未被选中的概率． 【解】 (1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社 团的有 30 人， 故至少参加上述一个社团的共有 45－30＝15(人)， 所以从该班随机选 1 名同学，该同学至少参加上述一个社团的概 率为 P＝15 45 ＝1 3. (2)从这 5 名男同学和 3 名女同学中各随机选 1 人，其一切可能的 结果组成的基本事件有： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}， {A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5， B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共 15 个． 根据题意，这些基本事件的出现是等可能的． 事件“A1 被选中且 B1 未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}， {A1，B3}，共 2 个． 因此 A1 被选中且 B1 未被选中的概率为 P＝ 2 15.