2020年高中数学新教材同步必修第一册 第1章 章末复习 5页

章末复习 一、集合的综合运算 1．集合的运算有交、并、补这三种常见的运算，它是集合中的核心内容．在进行集合的运算 时，往往由于运算能力差或考虑不全面而极易出错，此时，数轴分析(或 Venn 图)是个好帮手， 能将复杂问题直观化．在具体应用时要注意检验端点值是否适合题意，以免增解或漏解． 2．掌握集合的基本关系与基本运算，重点提升逻辑推理和数学运算素养． 例 1 已知集合 A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|a≤x≤a＋3}． (1)若(∁RA)∪B＝R，求 a 的取值范围； (2)是否存在 a 使(∁RA)∪B＝R 且 A∩B＝∅？ 解 (1)∵A＝{x|0≤x≤2}， ∴∁RA＝{x|x<0 或 x>2}． ∵(∁RA)∪B＝R， ∴ a≤0， a＋3≥2， ∴－1≤a≤0. 所以 a 的取值范围为{a|－1≤a≤0}． (2)由(1)知(∁RA)∪B＝R 时， －1≤a≤0，而 2≤a＋3≤3， ∴A ⊆ B，这与 A∩B＝∅矛盾． 即这样的 a 不存在． 反思感悟 借助数轴表达集合间的关系可以更直观，但操作时要规范，如区间端点的顺序、 虚实不能标反． 跟踪训练 1 已知全集 U＝{x|x≤4}，集合 A＝{x|－25”是“A⊆B”的 ( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 答案 A 解析 A ⊆ B ⇔ a>4，而 a>5 ⇒ a>4，且 a>4 ⇏ a>5，所以“a>5”是“A ⊆ B”的充分不必要条件． (2)“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是( ) A．m≥1 B．m≤1 C．m≥0 D．m≥2 答案 D 解析 “不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的充要条件为：“(－2)2－4m≤0”即 “m≥1”， 又“m≥2”是“m≥1”的充分不必要条件， 即“不等式 x2－2x＋m≥0 在 R 上恒成立”的一个充分不必要条件是“m≥2”， 故选 D. 三、全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题的否定一定是存在量词命题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题．首 先改变量词，把全称量词改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把判断词加以否定． 2．通过含有量词的命题的否定及利用命题的真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算素 养． 例 3 (1) 命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是( ) A．∃x∈R，x2－2x＋1≤0 B．∃x∈R，x2－2x＋1≥0 C．∃x∈R，x2－2x＋1<0 D．∀x∈R，x2－2x＋1<0 答案 C 解析 ∵命题“∀x∈R，x2－2x＋1≥0”为全称量词命题， ∴命题的否定为：∃x∈R，x2－2x＋1<0， 故选 C. (2)若命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则实数 m 的取值范围是( ) A．m≥1 B．m>1 C．m<1 D．m≤1 答案 B 解析 命题 p：∀x∈R，x2－2x＋m≠0 是真命题，则 m≠－(x2－2x)， ∵－(x2－2x)＝－(x－1)2＋1≤1， ∴m>1. ∴实数 m 的取值范围是{m|m>1}． 故选 B. 反思感悟 全称量词命题、存在量词命题真假判断 (1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称量词命题为真，必须对限定集合 M 中每一个 x 验证 p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定一个全称量词命题为假，只需举出 一个反例即可． (2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在量词命题为真，只要在限定集合 M 中，找到一 个 x，使 p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假． 跟踪训练 3 (1)∃m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 019 的否定是( ) A．∀m，n∈Z，使得 m2＝n2＋2 019 B．∃m，n∈Z，使得 m2≠n2＋2 019 C．∀m，n∈Z，使得 m2≠n2＋2 019 D．以上都不对 答案 C (2)设命题 p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈 p 为真，则实数 a 的取值范围是________． 答案 R 解析 綈 p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0 为真命题， 显然 a∈R. 1．设全集 U＝R，集合 A＝{x|－3－3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故 选 D. 2．下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是( ) A．∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B．∃x∈N,2x 为偶数 C．所有菱形的四条边都相等 D．π是无理数 答案 C 解析 对 A，是全称量词命题，但不是真命题；故 A 不正确；对 B，是真命题，但不是全称 量词命题，故 B 不正确；对 C，是全称量词命题，也是真命题，故 C 正确；对 D，是真命题， 但不是全称量词命题，故 D 不正确，故选 C. 3．设集合 A＝{x|1