高中数学人教a版必修二 第四章 圆与方程 学业分层测评24 word版含答案 5页

学业分层测评（二十四） (建议用时：45 分钟) [达标必做] 一、选择题 1．已知两圆的圆心距是 6，两圆的半径分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两个根， 则这两个圆的位置关系是( ) A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【解析】 由已知两圆半径的和为 6，与圆心距相等，故两圆外切． 【答案】 B 2．半径为 5 且与圆 x2＋y2－6x＋8y＝0 相切于原点的圆的方程为( ) A．x2＋y2－6x－8y＝0 B．x2＋y2＋6x－8y＝0 C．x2＋y2＋6x＋8y＝0 D．x2＋y2－6x－8y＝0 或 x2＋y2－6x＋8y＝0 【解析】 已知圆的圆心为(3，－4)，半径为 5，所求圆的半径也为 5，由两 圆相切于原点，知所求圆的圆心与已知圆的圆心关于原点对称，即为(－3,4)，可知 选 B. 【答案】 B 3．点 P 在圆 C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0 上，点 Q 在圆 C2：x2＋y2＋4x＋2y ＋1＝0 上，则|PQ|的最小值是( ) A．5 B．1 C．3 5－5 D．3 5＋5 【解析】 圆 C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0，即(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心为 C1(4,2)；圆 C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，即(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心为 C2(－2， －1)，两圆相离，|PQ|的最小值为|C1C2|－(r1＋r2)＝3 5－5. 【答案】 C 4．设两圆 C1、C2 都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2| ＝( ) A．4 B．4 2 C．8 D．8 2 【解析】 ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)， ∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等． 设两圆的圆心分别为(a，a)，(b，b)， 则有(4－a)2＋(1－a)2＝a2，(4－b)2＋(1－b)2＝b2， 即 a，b 为方程(4－x)2＋(1－x)2＝x2 的两个根，整理得 x2－10x＋17＝0. ∴a＋b＝10，ab＝17， ∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝100－4×17＝32. ∴|C1C2|＝ 2a－b2＝ 32×2＝8. 【答案】 C 5．过点 P(2,3)向圆 C：x2＋y2＝1 上作两条切线 PA，PB，则弦 AB 所在的直线 方程为( ) A．2x－3y－1＝0 B．2x＋3y－1＝0 C．3x＋2y－1＝0 D．3x－2y－1＝0 【解析】 弦 AB 可以看作是以 PC 为直径的圆与圆 x2＋y2＝1 的交线，而以 PC 为直径的圆的方程为(x－1)2＋ y－3 2 2＝13 4 .根据两圆的公共弦的求法，可得弦 AB 所在的直线方程为：(x－1)2＋ y－3 2 2－13 4 －(x2＋y2－1)＝0，整理可得 2x＋3y －1＝0，故选 B. 【答案】 B 二、填空题 6．过两圆 x2＋y2－x－y－2＝0 与 x2＋y2＋4x－4y－8＝0 的交点和点(3,1)的圆 的方程是________． 【解析】 设所求圆的方程为 (x2＋y2－x－y－2)＋λ(x2＋y2＋4x－4y－8)＝ 0(λ≠－1)，将(3,1)代入得λ＝－2 5 ，故所求圆的方程为 x2＋y2－13 3 x＋y＋2＝0. 【答案】 x2＋y2－13 3 x＋y＋2＝0 7．两圆相交于两点 A(1,3)和 B(m，－1)，两圆圆心都在直线 x－y＋c＝0 上， 则 m＋c 的值为________． 【解析】 由题意知，线段 AB 的中点在直线 x－y＋c＝0 上， 且 kAB＝ 4 1－m ＝－1，即 m＝5， 又点 1＋m 2 ，1 在该直线上， 所以1＋m 2 －1＋c＝0，所以 c＝－2，所以 m＋c＝3. 【答案】 3 三、解答题 8．求圆心为(2,1)且与已知圆 x2＋y2－3x＝0 的公共弦所在直线经过点(5，－2) 的圆的方程． 【解】 设所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝r2， 即 x2＋y2－4x－2y＋5－r2＝0，① 已知圆的方程为 x2＋y2－3x＝0，② ②－①得公共弦所在直线的方程为 x＋2y－5＋r2＝0，又此直线经过点(5，－ 2)，∴5－4－5＋r2＝0，∴r2＝4，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4. 9．有相距 100 km 的 A，B 两个批发市场，商品的价格相同，但在某地区居民 从两地运回商品时，A 地的单位距离的运费是 B 地的 2 倍．问怎样确定 A，B 两批 发市场的售货区域对当地居民有利？ 【导学号：09960144】 【解】 建立以 AB 所在直线为 x 轴，AB 中点为原点的直角坐标系，则 A(－ 50,0)，B(50,0)． 设 P(x，y)，由 2|PA|＝|PB|，得 x2＋y2＋500 3 x＋2 500＝0， 所以在圆 x2＋y2＋500 3 x＋2 500＝0 内到 A 地购物合算；在圆 x2＋y2＋500 3 x＋2 500＝0 外到 B 地购物合算；在圆 x2＋y2＋500 3 x＋2 500＝0 上到 A，B 两地购物一样 合算． [自我挑战] 10．以圆 C1：x2＋y2＋4x＋1＝0 与圆 C2：x2＋y2＋2x＋2y＋1＝0 相交的公共弦 为直径的圆的方程为( ) A．(x－1)2＋(y－1)2＝1 B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1 C. x＋3 5 2＋ y＋6 5 2＝4 5 D. x－3 5 2＋ y－6 5 2＝4 5 【解析】 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为 x－y＝0，因此所求圆的 圆心的横、纵坐标相等，排除 C，D 选项，画图(图略)可知所求圆的圆心在第三象 限，排除 A.故选 B. 【答案】 B 11．设半径为 3 km 的圆形村落，A、B 两人同时从村落中心出发，A 向东，B 向北，A 出村后不久改变前进方向，斜着沿切于村落圆周的方向前进，后来恰好与 B 相遇，设 A、B 两人的速度一定，其比为 3∶1，问 A、B 两人在何处相遇？ 【解】 由题意以村中心为原点，正东方向为 x 轴的正方向，正北为 y 轴的正 方向，建立直角坐标系，设 A、B 两人的速度分别为 3v km/h，v km/h，设 A 出发 a h，在 P 处改变方向，又经过 b h 到达相遇点 Q， 则|PQ|＝3bv，|OP|＝3av，|OQ|＝(a＋b)v， 则 P(3av,0)，Q(0，(a＋b)v)， 在 Rt△OPQ 中，由|PQ|2＝|OP|2＋|OQ|2 得 5a＝4b， kPQ＝0－va＋b 3av－0 ，∴kPQ＝－3 4 ， 设直线 PQ 的方程为 y＝－3 4x＋c(c>0)， 由 PQ 与圆 x2＋y2＝9 相切，得 |4c| 42＋32 ＝3， 解得 c＝15 4 ，故 A、B 两人相遇在正北方离村落中心15 4 km.