高中数学第三章不等式3_5二元一次不等式组与简单的线性规划问题3_5_2简单线性规划学案新人教B版必修51 8页

3.5.2 简单线性规划 1．体会线性规划的基本思想在求解实际问题中的作用，会求解简单的线性规划问题． 2．经历在线性约束条件下求实际问题中的线性目标函数的最值问题的求解过程，提高 用线性规划解决实际问题的能力． 线性规划中的基本概念 名称 定义 目标函数 要求__________________的函数，叫做目标函数 约束条件 目标函数中的变量所要满足的__________ 线性目 标函数 如果目标函数是________________，则称为线性目标函数 线性约 束条件 如果约束条件是____________________________，则称为线性约 束条件 线性规 划问题 在线性约束条件下，求线性目标函数的________________问题， 称为线性规划问题 最优解 使目标函数达到__________________的点的______，称为问题的 最优解 可行解 满足线性约束条件的____，叫做可行解 可行域 由所有________组成的集合叫做可行域 简单线性规划应用问题的求解步骤：(1)设：设出变量 x，y，写出约束条件及目标函数．(2) 作：作出可行域．(3)移：作一组平行直线 l，平移 l，找最优解．(4)解：联立方程组求最 优解，并代入目标函数，求出最值．(5)答：写出答案．总之：求解线性规划问题的基本程 序是作可行域，画平行线，解方程组，求最值． 【做一做 1】如果实数 x，y 满足条件 x－y＋1≥0， y＋1≥0， x＋y＋1≤0， 那么 2x－y 的最大值为( )． A．2 B．1 C．－2 D．－3 【做一做 2】配制 A，B 两种药剂都需要甲、乙两种原料，用料要求如下表所示(单位： 千克)： 药剂 A，B 至少各配一剂，且药剂 A，B 每剂售价分别为 100 元、200 元．现有原料甲 20 千克，原料乙 25 千克，那么可获得的最大销售额为______百元． 一、图解法求最值的实质 剖析：设目标函数为 z＝Ax＋By＋C(AB≠0)，由 z＝Ax＋By＋C 得 y＝－A B x＋z－C B .这样， 二元一次函数就可以视为斜率为－A B ，在 y 轴上截距为z－C B ，且随 z 变化的一组平行线．于 是，把求 z 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域有公共点时，直线在 y 轴上的截距 的最大值和最小值的问题．当 B＞0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而增大；当 B ＜0 时，z 的值随着直线在 y 轴上的截距的增大而减小． (1)如果可行域是一个多边形，那么一般在其顶点处使目标函数取得最大或最小值，最 优解一般就是多边形的某个顶点． (2)由于最优解是通过图形来观察的，故作图要准确，否则观察的结果可能有误． 二、常见的线性规划问题类型 剖析：(1)线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成 该项任务． (2)线性规划问题的常见类型有： ①物资调运问题 例如已知 A1，A2 两煤矿每年的产量，煤需经 B1，B2 两个车站运往外地，B1，B2 两车站的 运输能力是有限的，且已知 A1，A2 两煤矿运往 B1，B2 两车站的运输价格，煤矿应怎样编制调 运方案，能使总运费最少？ ②产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产一个单位的甲种或乙种产品所需 A，B，C 三种 材料的数量、此厂每月所能提供的三种材料的限额、每生产一个单位甲种或乙种产品所获利 润额都是已知的，这个厂每月应如何安排产品的生产，才能使每月获得的总利润最大？ ③下料问题 例如要把一批长钢管截成两种规格的短钢管，怎样下料能使损耗最小？ 题型一 求线性目标函数的最值问题 【例 1】设 z＝2y－2x＋4，式子中 x，y 满足条件 0≤x≤1， 0≤y≤2， 2y－x≥1， 试求 z 的最大值和最 小值． 分析：作出线性约束条件下的可行域，然后作出与直线 2y－2x＝0 平行的直线，通过平 移直线，在可行域内求出最大值和最小值． 反思：求目标函数 z＝ax＋by＋c(ab≠0，c≠0)的最值，与求目标函数 z＝ax＋by(ab≠0) 的最值的方法是一样的，因为在 z＝ax＋by＋c 中，c 为非零常数，故仍可设 t＝ax＋by，只 要求出 t＝ax＋by 的最值，则 z＝ax＋by＋c 的最值即可求得，在本题中，通过平移直线， 得到 y 轴上的截距的最值，也就得到了 t 的最值． 题型二 求非线性目标函数的最值问题 【例 2】已知 x－y＋2≥0， x＋y－4≥0， 2x－y－5≤0， 求： (1)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值； (2)z＝2y＋1 x＋1 的取值范围． 分析：(1)中 z＝x2＋y2－10y＋25＝(x－0)2＋(y－5)2 的几何意义为平面区域内的点(x， y)到(0,5)的距离的平方；(2)z＝2y＋1 x＋1 ＝2· y－ －1 2 x－ －1 的几何意义为平面区域内的点(x，y) 与(－1，－1 2 )连线斜率的 2 倍．关键是将目标函数进行变形找到几何意义，再利用数形结合 知识求解． 反思：(1)对形如 z＝(x－a)2＋(y－b)2 型的目标函数均可化为求可行域内的点(x，y) 与点(a，b)间的距离的平方的最值问题． (2)对形如 z＝ay＋b cx＋d (ac≠0)型的目标函数，可先变形为 z＝a c · y－ －b a x－ －d c 的形式，将 问题转化为求可行域内的点(x，y)与(－d c ，－b a )连线斜率的a c 倍的范围、最值等，注意斜率 不存在的情况． 题型三 简单的线性规划问题 【例 3】某校伙食长期以面粉和大米为主食，面食每 100 g 含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 g 含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元， 学校要求给学生配制盒饭，每盒盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如 何配制盒饭，才既科学又费用最少？ 分析：根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，再用图解法解之．先作 可行域，再作出初始直线 l0，通过向上或向下平移直线 l0 至可行域的边界点，便得最优解， 再进一步求最值． 题型四 最优整数解的问题 【例 4】电视台为某个广告公司特约播放两套片集．其中片集甲每集播放时间为 21 分 钟，其中广告时间为 1 分钟，收视观众为 60 万；片集乙每集播放时间为 11 分钟，其中广告 时间为 1 分钟，收视观众为 20 万．广告公司规定每周至少有 6 分钟广告，而电视台每周只 能为该公司提供不多于 86 分钟的节目时间(包含广告时间)．电视台每周应播放两套片集各 多少集，才能获得最高的收视率？ 分析：设每周片集甲播放 x 集，片集乙播放 y 集，它们每集的广告时间都是 1 分钟，则 x＋y 不少于 6 分钟．我们还应注意到片集一共的播放时间里要包括广告时间，不超过 86 分 钟． 反思：如果遇到问题是求最优整数解，可先求出线性规划的最优解，若它是整数解，则 问题解决；若不是，要在该非整数解周围可行域内寻求与之最近的整数解，可通过精确作图， 打好网格的办法求得． 题型 五易错辨析 【例 5】已知二次函数 f(x)＝ax2＋bx(a≠0)满足 1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，则 f(－ 2)的范围是( )． A．[3,12] B．(3,12) C．(5,10) D．[5,10] 错解：由于 f(－2)＝4a－2b，要求 f(－2)的范围，可先求 a 与 b 的范围．由 f(－1)＝ a－b，f(1)＝a＋b，得 1≤a－b≤2， ① 2≤a＋b≤4. ② 两式相加得3 2 ≤a≤3，又－2≤b－a≤－1.③ ②式与③式相加得 0≤b≤3 2 . ∴6≤4a≤12，－3≤－2b≤0.∴3≤4a－2b≤12. 即 3≤f(－2)≤12.故选 A. 错因分析：这种解法看似正确，实则使 f(－2)的范围扩大了．事实上，这里 f(－2)最 小值不可能取到 3，最大值也不可能是 12.由上述解题过程可知，当 a＝3 2 且 b＝3 2 时才能使 4a－2b＝3，而此时 a－b＝0，不满足①式．同理可验证 4a－2b 也不能等于 12.出现上述错 误的原因是“同向不等式两边分别相加所得不等式与原不等式同向”这一性质是单向的，用 它来作变形，是非同解变形．以上解法为了求 a，b 的范围，多次应用了这一性质，使所求 范围扩大了． 1 目标函数 z＝3x－y，将其看成直线方程时，z 的意义是( )． A．该直线的截距 B．该直线的纵截距 C．该直线纵截距的相反数 D．该直线的横截距 2 设变量 x，y 满足约束条件 y≤x， x＋y≥2， y≥3x－6， 则目标函数 z＝2x＋y 的最小值为( )． A．2 B．3 C．4 D．9 3 设 E 为平面上以三点 A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)为顶点的三角形区域(包括边界)， 则 z＝4x－3y，(x，y)∈E 的最大值与最小值分别为( )． A．14，－18 B．－14，－18 C．18,14 D．18，－14 4 已知变量 x，y 满足 y≤x， x＋y≥2， y≥2x－4， 则 z＝3x＋y 的最大值是________． 5 已知变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.若目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)仅在点(3,1)处取得最大值，则 a 的取值范围为______． 答案： 基础知识·梳理 最大值或最小值 不等式组 关于变量的一次函数 关于变量的一次不等式(或等式) 最大值或最小值 最大值或最小值 坐标 解 可行解 【做一做 1】B 作出可行域，可知当直线 z＝2x－y 过点(0，－1)时，z 最大． 【做一做 2】8 设药剂 A，B 分别配 x 剂、y 剂，则 2x＋5y≤20， 5x＋4y≤25，销售额 z＝x＋2y， x，y∈N＋， 作出可行域如图阴影部分所示． 令 z＝0 得直线 x＋2y＝0， 平移此直线过点 M 时 z 最大， 由 2x＋5y＝20， 5x＋4y＝25， 得 M(45 17 ，50 17 )，调整得最优解(2,3)， ∴zmax＝2＋2×3＝8(百元)． 典型例题·领悟 【例 1】解：作出二元一次不等式组 0≤x≤1， 0≤y≤2， 2y－x≥1 所表示的平面区域(如图阴影部分所 示)，即可行域． 将 z＝2y－2x＋4 变形为 y＝x＋1 2 z－2，这是斜率为 1，随 z 变化的一组平行直线(如图 所示)． (1 2 z－2)是直线在 y 轴上的截距，当直线截距最大时，z 的值最大．当然，直线要与可 行域相交，即在满足约束条件时目标函数 z＝2y－2x＋4 取得最大值；当直线截距最小时，z 的值最小，即在满足约束条件时目标函数 z＝2y－2x＋4 取得最小值． 由图可知，当直线 z＝2y－2x＋4 经过可行域上的点 A 时，截距最大，即 z 最大． 解方程组 y＝2， x＝0 得 A 点的坐标为(0,2)． 所以 zmax＝2y－2x＋4＝2×2－2×0＋4＝8. 当直线 z＝2y－2x＋4 经过可行域上的点 B 时，截距最小，即 z 最小． 解方程组 x－2y＋1＝0， x＝1 得 B 点的坐标为(1,1)． 所以 zmin＝2y－2x＋4＝2×1－2×1＋4＝4. 【例 2】解：作出可行域，如图阴影部分所示． 可求得 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9)． (1)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作 MN⊥AC 于 N，则|MN|＝ |0－5＋2| 1＋(－1)2 ＝ 3 2 ＝3 2 2 . 所以|MN|2＝9 2 ， 所以 z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值为9 2 . (2)z＝2· y－(－1 2 ) x－(－1) 表示可行域内点(x，y)与定点 Q(－1，－1 2 )连线斜率的 2 倍． ∵kQA＝7 4 ，kQB＝3 8 ， 故 z 的取值范围是[3 4 ，7 2 ]． 【例 3】解：设每盒盒饭需要面食 x(百克)，米食 y(百克)， 所需费用为 z＝0.5x＋0.4y，且 x，y 满足 6x＋3y≥8， 4x＋7y≥10， x≥0， y≥0， 作出可行域，如下图阴影部分所示． 令 z＝0，作直线 l0：0.5x＋0.4y＝0，即直线 5x＋4y＝0. 由图形可知，把直线 l0 平移至过点 A 时，z 取最小值． 由 6x＋3y＝8， 4x＋7y＝10 得 A(13 15 ，14 15 )． 答：每盒盒饭为面食13 15 百克，米食14 15 百克时既科学又费用最少． 【例 4】解：设每周片集甲播放 x 集，片集乙播放 y 集，则有 x＋y≥6， 21x＋11y≤86， x≥0，x∈N＋， y≥0，y∈N＋. 要使收视率最高，则只要 z＝60x＋20y 最大即可，由图可知，当直线 60x＋20y＝0 经过 点 A 时，z 取得最大值．由 21x＋11y＝86， x＋y＝6 得 x＝2， y＝4. 所以当 x＝2，y＝4 时，z＝60x ＋20y 取得最大值 200 万． 故电视台每周片集甲和片集乙分别播放 2 集和 4 集，其收视率最高． 【例 5】正解：解法一：∵ f(－1)＝a－b， f(1)＝a＋b， ∴ a＝1 2 [f(1)＋f(－1)]， b＝1 2 [f(1)－f(－1)]. ∴f(－2)＝4a－2b ＝2[f(1)＋f(－1)]－[f(1)－f(－1)] ＝3f(－1)＋f(1)． ∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4， ∴5≤f(－2)≤10，故选 D. 解法二：数形结合法 在坐标平面 aOb 上， 作出直线 a＋b＝2，a＋b＝4，a－b＝1，a－b＝2， 则 2≤a＋b≤4， 1≤a－b≤2 表示平面上的阴影部分(包括边界)，如下图阴影部分所示． 令 m＝4a－2b，则 b＝2a－m 2 . 显然 m 为直线系 4a－2b＝m 在 b 轴上截距 2 倍的相反数． 当直线 b＝2a－m 2 过阴影部分中点 A(3 2 ，1 2 )时，m 取最小值 5； 过点 C(3,1)时，m 取最大值 10. ∴f(－2)∈[5,10]，故选 D. 随堂练习·巩固 1．C 由目标函数 z＝3x－y，得 y＝3x－z.令 x＝0，得 y＝－z.也就是说，z 表示该直 线纵截距的相反数，故选 C. 2．B 作出平面区域如下图阴影部分所示，z 表示直线 z＝2x＋y 在 y 轴的截距，∴z 的最小值为过点 A(1,1)的直线，此时 z＝2×1＋1＝3. 3．A 当动直线 z＝4x－3y 通过点 B 时，z 取最大值，通过点 C 时，z 取最小值，即 zmax ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，zmin＝4×(－3)－3×2＝－18. 4．16 5．(1，＋∞) 变量 x，y 满足约束条件 1≤x＋y≤4，－2≤x－y≤2.在直角坐标系中 画出可行域如图阴影部分所示，得四边形 ABCD，其中 A(3,1)，kAD＝1，kAB＝－1，目标函数 z＝ax＋y(其中 a＞0)中的 z 表示斜率为－a 的直线截距的大小，若仅在点(3,1)处取得最大 值，则斜率应小于 kAB＝－1，即－a＜－1，即 a＞1，所以 a 的取值范围为(1，＋∞)．