高二数学人教a必修5章末检测：第一章解三角形word版含解析 6页

章末检测 一、选择题 1．在△ABC 中，角 A、B、C 所对应的边分别为 a、b、c，若 A＋C＝2B，有 a＝1，b＝ 3， 则 S△ABC 等于( ) A. 2 B. 3 C. 3 2 D．2 答案 C 解析 由 A＋C＝2B，解得 B＝π 3.由余弦定理得( 3)2＝1＋c2－2ccos π 3 ，解得 c＝2 或 c＝－1(舍 去)．于是，S△ABC＝1 2acsin B＝1 2 ×1×2sin π 3 ＝ 3 2 . 2．在△ABC 中，sin A＝3 4 ，a＝10，则边长 c 的取值范围是( ) A. 15 2 ，＋∞ B．(10，＋∞) C．(0,10) D. 0，40 3 答案 D 解析 ∵ c sin C ＝ a sin A ＝40 3 ，∴c＝40 3 sin C．∴00)， ∵ a＋b>c a＋c>b 即 m2k＋1>2mk 3mk>mk＋1 ，∴k>1 2. 6．△ABC 的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为1 3 ，则其外接圆的半径为( ) A.9 2 2 B.9 2 4 C.9 2 8 D．9 2 答案 C 解析 设另一条边为 x，则 x2＝22＋32－2×2×3×1 3 ， ∴x2＝9，∴x＝3.设 cos θ＝1 3 ，则 sin θ＝2 2 3 . ∴2R＝ 3 sin θ ＝ 3 2 2 3 ＝9 2 4 ，R＝9 2 8 . 7．在△ABC 中，sin A＝sin C，则△ABC 是( ) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 答案 B 解析 ∵sin A＝sin C 且 A、C 是三角形内角， ∴A＝C 或 A＋C＝π(舍去)． ∴△ABC 是等腰三角形． 8．在锐角△ABC 中，BC＝1，∠B＝2∠A，则 AC 的取值范围是( ) A．[－2,2] B．[0,2] C．(0,2] D．( 2， 3) 答案 D 解析 由题意得 0＜π－3∠A＜π 2 ， 0＜2∠A＜π 2 ⇒π 6 ＜∠A＜π 4 ， 由正弦定理 AC sin B ＝ BC sin A 得 AC＝2cos A. ∵∠A∈ π 6 ，π 4 ，∴AC∈( 2， 3)． 9．根据下列情况，判断三角形解的情况，其中正确的是( ) A．a＝8，b＝16，A＝30°，有两解 B．b＝18，c＝20，B＝60°，有一解 C．a＝5，c＝2，A＝90°，无解 D．a＝30，b＝25，A＝150°，有一解 答案 D 解析 A 中，因 a sin A ＝ b sin B ， 所以 sin B＝16×sin 30° 8 ＝1，∴B＝90°，即只有一解； B 中，sin C＝20sin 60° 18 ＝5 3 9 ，且 c>b， ∴C>B，故有两解； C 中，∵A＝90°，a＝5，c＝2，∴b＝ a2－c2＝ 25－4＝ 21，即有解； 故 A、B、C 都不正确．用排除法应选 D. 10．在△ABC 中，AB＝7，AC＝6，M 是 BC 的中点，AM＝4，则 BC 等于( ) A. 21 B. 106 C. 69 D. 154 答案 B 解析 设 BC＝a，则 BM＝MC＝a 2. 在△ABM 中，AB2＝BM2＋AM2－2BM·AM·cos∠AMB， 即 72＝1 4a2＋42－2×a 2 ×4·cos∠AMB① 在△ACM 中，AC2＝AM2＋CM2－2AM·CM·cos∠AMC 即 62＝42＋1 4a2＋2×4×a 2·cos∠AMB② ①＋②得：72＋62＝42＋42＋1 2a2，∴a＝ 106. 二、填空题 11．已知△ABC 中，3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，则 cos C 的大小是________． 答案 1 3 解析 由 3a2－2ab＋3b2－3c2＝0，得 c2＝a2＋b2－2 3ab. 根据余弦定理，得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝a2＋b2－a2－b2＋2 3ab 2ab ＝1 3 ，所以 cos C＝1 3. 12．在△ABC 中，若 b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角 C＝________. 答案 2π 3 解析 由已知 3sin A＝5sin B，利用正弦定理可得 3a＝5b. 由 3a＝5b，b＋c＝2a，利用余弦定理得 cos C＝a2＋b2－c2 2ab ＝－1 2.C∈(0，π)，C＝2 3π. 13．在△ABC 中，已知 cos A＝3 5 ，cos B＝ 5 13 ，b＝3，则 c＝________. 答案 14 5 解析 在△ABC 中，∵cos A＝3 5>0，∴sin A＝4 5. ∵cos B＝ 5 13>0，∴sin B＝12 13. ∴sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B) ＝sin Acos B＋cos Asin B＝4 5 × 5 13 ＋3 5 ×12 13 ＝56 65. 由正弦定理知 b sin B ＝ c sin C ，∴c＝bsin C sin B ＝ 3×56 65 12 13 ＝14 5 . 14．太湖中有一小岛 C，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车在公路 A 处测得小岛在公 路的南偏西 15°的方向上，汽车行驶 1 km 到达 B 处后，又测得小岛在南偏西 75°的方向上， 则小岛到公路的距离是________ km. 答案 3 6 解析 如图，∠CAB＝15°，∠CBA＝180°－75°＝105°， ∠ACB＝180°－105°－15°＝60°， AB＝1 (km)． 由正弦定理得 BC sin∠CAB ＝ AB sin∠ACB ， ∴BC＝ 1 sin 60°·sin 15°＝ 6－ 2 2 3 (km)． 设 C 到直线 AB 的距离为 d， 则 d＝BC·sin 75°＝ 6－ 2 2 3 · 6＋ 2 4 ＝ 3 6 (km)． 三、解答题 15．已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且 a＝2，cos B＝3 5. (1)若 b＝4，求 sin A 的值； (2)若△ABC 的面积 S△ABC＝4，求 b，c 的值． 解 (1)∵cos B＝3 5>0，且 0