2021届高考数学一轮复习第三章导数及其应用第3节定积分与微积分基本定理课件新人教A版 29页

第 3 节　定积分与微积分基本定理 考试要求　 1. 了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义； 2. 了解微积分基本定理的含义 . 知 识 梳 理 1. 定积分的概念与几何意义 (1) 定积分的定义 a ， b f ( x ) x f ( x )d x f ( x ) f ( x ) ≥ 0 表示由直线 x ＝ a ， x ＝ b ， y ＝ 0 及曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的 ___________ 的面积 f ( x ) ＜ 0 表示由直线 x ＝ a ， x ＝ b ， y ＝ 0 及曲线 y ＝ f ( x ) 所围成的曲边梯形的面积的 ________ f ( x ) 在 [ a ， b ] 上有正有负 表示位于 x 轴上方的曲边梯形的面积 ________ 位于 x 轴下方的曲边梯形的面积 曲边梯形 相反数 减去 2. 定积分的性质 3. 微积分基本定理 F ( b ) － F ( a ) F ( b ) － F ( a ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负 . 2. 函数 f ( x ) 在闭区间 [ － a ， a ] 上连续，则有 诊 断 自 测 1. 判断下列结论正误 ( 在括号内打 “√” 或 “×” ) (5) 加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程 . 答案　 (1) √ 　 (2) × 　 (3) × 　 (4) × 　 (5) × A.1 B.2 C.3 D.4 答案　 A 3. ( 老教材选修 2 － 2P60A6 改编 ) 已知质点的速度 v ＝ 10 t ，则从 t ＝ 0 到 t ＝ t 0 质点所经过的路程是 ( 　　 ) A. a < c < b B. a < b < c C. c < b < a D. c < a < b 解析 　封闭图形如图所示， 考点一　定积分的计算 规律方法　 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点： (1) 对被积函数要先化简，再求积分； (2) 若被积函数为分段函数，依据定积分 “ 对区间的可加性 ” ，先分段积分再求和； (3) 对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分 . 考点二　定积分的几何意义　 多维探究 角度 1 　利用定积分的几何意义计算定积分 角度 2 　利用定积分计算平面图形的面积 【例 2 － 2 】 ( 一题多解 ) 由抛物线 y 2 ＝ 2 x 与直线 y ＝ x － 4 围成的平面图形的面积为 ________. 答案　 18 规律方法　 1. 运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分 . 2. 利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分 ( 注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系 ). 考点三　定积分在物理中的应用 【例 3 】 (1) 物体 A 以 v ＝ 3 t 2 ＋ 1(m/s) 的速度在一直线 l 上运动，物体 B 在直线 l 上，且在物体 A 的正前方 5 m 处，同时以 v ＝ 10 t (m/s) 的速度与 A 同向运动，出发后，物体 A 追上物体 B 所用的时间 t (s) 为 ( 　　 ) A.3 B.4 C.5 D.6 (2) 设变力 F ( x ) 作用在质点 M 上，使 M 沿 x 轴正向从 x ＝ 1 运动到 x ＝ 10 ，已知 F ( x ) ＝ x 2 ＋ 1 且方向和 x 轴正向相同，则变力 F ( x ) 对质点 M 所做的功为 ________ J( x 的单位： m ，力的单位： N). 答案　 (1)C 　 (2)342