2020学年高一数学上学期期中试题（含解析） 10页

‎2019学年高一上学期期中考试数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合且,则实数（ ）‎ A. 0 B. 0或3 C. 3 D. 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合且,所以或=0‎ 所以,经检验都符合题意 故选B ‎2. 函数图象恒过的定点构成的集合是（ ）‎ A. {-1，-1} B. {（0,1）} C. {（-1,0）} D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】令x+1=0，解得x=-1，f（-1）=a0-1=0．∴f（x）恒过点（-1，0）． 故选C ‎3. 下列四个函数中，在整个定义域内单调递减的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于A：因为>1,所以在整个定义域内单调递增；故A错；‎ 对于B：在上递减，如 ， 时，有 则不能说整个定义域内单调递减，故B错；‎ 对于C：在整个定义域内单调递减，故C对；‎ 对于D： 在 递减，在 递增，故D错；‎ 故选C ‎4. 若，则（ ）‎ A. 9 B. 17 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】D - 10 -‎ ‎【解析】，令 则 所以 ，则 ‎ 故选C ‎5. 已知，且，函数的定义域为，的定义域为，那么（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数的定义域为 或 故 ；的定义域为 ‎ 故 则，‎ 故选B ‎6. 对于函数的图象及性质的下列表述，正确的是（ ）‎ A. 图像上的纵坐标不可能为1 B. 图象关于点（1,1）成中心对称 C. 图像与轴无交点 D. 图像与垂直于轴的直线可能有两个交点 ‎【答案】A ‎【解析】函数 因为 所以图像上的纵坐标不可能为1，故A对；图像关于（-1,1）中心对称，故B错；当x=-2时， 则图像与轴有交点，故C错；是函数，所以对于任意一个 值有唯一一个值对应，故D错，不可能一个x对应两个y值；‎ 故选A ‎7. 若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D 故选D - 10 -‎ ‎8. 已知二次函数是偶函数，若对任意实数都有，则图像可能是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】二次函数是偶函数则，图像关于y轴对称，所以排除A,D；对任意实数都有，所以函数为上凸函数，结合二次函数的性质可得实数a<0．即排除B，‎ 故选C ‎9. 已知函数，记，则大小关系是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 所以函数R上单调递减；‎ ‎...............‎ 故选A ‎10. 已知函数，则是（ ）‎ A. 奇函数 B. 偶函数 C. 既是奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】 定义域为R， ‎ 所以是奇函数 - 10 -‎ 故选A ‎11. 下列命题中，正确的有（ ）个 ‎①对应：是映射，也是函数；‎ ‎②若函数的定义域是（1,2），则函数的定义域为；‎ ‎③幂函数与图像有且只有两个交点；‎ ‎④当时，方程恒有两个实根.‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】对于①，对应：是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，故①对；‎ 对于②若函数的定义域是（1,2），则 故函数的定义域为，故②对 对于③幂函数的图像过 ，图像过 所以两个图像有且只有两个交点；故③对；‎ 对于④当时，单调递增，且函数值大于1，所以当时，方程只有一个实根.故④错；‎ 故选C 点睛：本题是命题判断题，考查了映射，函数的定义，抽象函数的定义域，幂函数的图像特征，及含函数与方程的零点问题，掌握基础知识，基本题型的处理方法即可.‎ ‎12. 不等式对于任意的自然数恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. （-2,2） D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】为偶数时，>0,所以 因为 在上单调递增，所以当时，取得最小值2，故 ；‎ 为奇数时，<0,所以 ，因为 在 - 10 -‎ 递减，所以当x=1时，取得最大值，所以 ‎ 故选B 点睛：本题考查了不等式恒成立问题，常采用变量分离，要注意分析变量前的系数的正负，分离完以后转化为函数求最值，结合单调性即可.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 计算：__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】原式 ‎ 故答案为4‎ ‎14. 已知函数，则满足方程的值是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】，所以 或 解得或 故答案为或 ‎15. 已知函数图像上任意两点连线都与轴不平行，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】由题意可知函数在上是单调函数，所以轴或 解得或 故答案为或 ‎16. 已知函数图像关于直线对称，当时，是增函数，则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知是偶函数，且在递增，所以得即 - 10 -‎ ‎ 解得，所以不等式的解集为.‎ 故答案为 点睛：本题考查了函数的对称性，单调性的应用，由得到需要进行平移变换，注意方向即可,偶函数利用单调性来解决问题常转化为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知为定义在上的奇函数，且是，.‎ ‎(1)求时，函数的解析式；‎ ‎(2)写出函数的单调区间（不需证明）.‎ ‎【答案】(1) ; (2) 的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是 ‎【解析】试题分析：（1）任取，则，，又为奇函数，即得解，（2）分析单调性可得的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是.‎ 试题解析：‎ ‎（1）任取，则，，又为奇函数，，所以时，函数；‎ ‎(2)的单调递增区间是[-1,1]；单调递减区间是.‎ ‎18. 已知集合，集合，集合 .‎ ‎(1)求集合；‎ ‎(2)若,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）解出集合，根据交集并集的运算可得解（2）则限制集合B与C的左右端点的大小关系即得解，注意对应的端点是否能相等的问题 试题解析：‎ ‎（1）由得，所以；‎ ‎（2）由知，所以.‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎(1)若，求实数的取值范围；‎ - 10 -‎ ‎(2)解方程.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 和 ‎【解析】试题分析：（1）因为，所以，解指数不等式即得解（2）原方程可化为令，则原方程化为，解得或，即或，解得x即可.‎ 试题解析：‎ 解：（1）因为，所以，‎ 即，所以；‎ ‎（2）原方程可化为 令，则原方程化为：，解得或，‎ 当时，，，；‎ 当时，，，，所以方程的解为和.‎ ‎20. 若函数是定义在上的奇函数，是定义在上恒不为0的偶函数.记.‎ ‎(1)判断函数的奇偶性；‎ ‎(2)若，试求函数的值域.‎ ‎【答案】(1) 奇函数; (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据奇偶性的定义可得.所以可得是奇函数. （2）①，即②联立①②解得，，‎ 反解出得即得解.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由函数是上的奇函数，是上的偶函数知：.‎ - 10 -‎ 所以所以是奇函数.‎ ‎（2）①‎ ‎，即②‎ 联立①②解得，，‎ 由，则，所以，即.‎ 点睛：本题考查了函数奇偶性的定义，构造方程组求函数解析式，利用反解法求值域，注意计算准确即可.‎ ‎21. 信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然减少.某银行现有职员320人，平均每人每年可创利20万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的，为使裁员后获得的经济效益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？‎ ‎【答案】8160万元 ‎【解析】试题分析：分析题意，设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，根据题目条件，又且，利用二次函数轴与区间的位置关系分析单调性即得的最小值.‎ 试题解析：‎ 设银行裁员人，所获得的经济效益为万元，则，‎ 由题意：，又且，‎ 因为对称轴：，‎ 所以函数在[0,80]单调递增，所以时，即银行裁员人，所获得经济效益最大为8160万元，‎ 答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.‎ ‎22. 已知定义域为，对任意都有，且当时，.‎ ‎(1)试判断的单调性，并证明；‎ - 10 -‎ ‎(2)若，‎ ‎①求的值；‎ ‎②求实数的取值范围，使得方程有负实数根.‎ ‎【答案】(1) 是上的减函数; （2）①; ②的取值范围 ‎【解析】试题分析：（1）利用定义证明：任取，且，‎ ‎ ，，下结论（2）①先赋值 ‎ 求得，再令可解得②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.对进行分类讨论，分与两种情况.‎ 试题解析：‎ 解：（1）任取，且，‎ ‎ ，，是上的减函数；‎ ‎（2）①，，‎ 又，因为，‎ ‎，‎ ‎②方程可化为，又单调，所以只需有负实数根.记，‎ 当时，，解得，满足条件；‎ 当时，函数图像是抛物线，且与轴的交点为（0，-1），方程有负实根包含两类情形：‎ ‎①两根异号，即，解得；‎ ‎②两个负实数根，即，解得.‎ 综上可得，实数的取值范围 点睛：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法结合函数单调性和奇偶性的定义是解决本题的关键，考查学生的运算和转化能力．‎ - 10 -‎ ‎ ‎ ‎ ‎ - 10 -‎