2020高中数学 第1章 点、直线、面的位置关系4 直线与平面平行的性质学案 苏教版必修2 4页

直线与平面平行的性质 一、考点突破 知识点 课标要求 题型 说明 直线与平面平行的性质 ‎1. 掌握直线与平面平行的性质定理，并会应用解问题；‎ ‎2. 理解并掌握构造辅助面实现知识的相互转化。‎ 选择题 填空题 解答题 直线与平面的性质定理其实质是把线面关系转化为线线关系。‎ 二、重难点提示 重点：掌握线面平行的性质定理。‎ 难点：掌握平行之间的转化。‎ 考点：直线与平面平行的性质定理 线面平行的性质定理 文字 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 符号 ‎　∥，⇒a∥b 图形 作用 线面平行⇒线线平行 ‎【随堂练习】已知，点A是另一侧的点，B、C、D，线段AB、AC、AD交于E、F、G，若BD=4，CF=4，AF=5，则EG的长度为 。‎ 答案：因为，平面 则∥，在中，‎ 4‎ 同理 所以，故应填。‎ 思路分析：线面平行线线平行平行线段成比例定理求值。‎ 技巧点拨：立体几何中求长度往往在平面图形中去求。‎ 例题1 （利用直线与平面平行的性质定理证明立体几何问题）‎ 如图所示，已知A、B、C、D四点不共面，且AB∥α，CD∥α，AC∩α＝E，AD∩α＝F，BD∩α＝H，BC∩α＝G。求证：四边形EFHG是平行四边形。‎ 思路分析：线面平行线线平行四边形是平行四边形。‎ 答案：∵AB∥α，平面ABC∩α＝EG，∴EG∥AB。‎ 同理FH∥AB，∴EG∥FH，‎ 又CD∥α，平面BCD∩α＝GH。‎ ‎∴GH∥CD。‎ 同理EF∥CD。∴GH∥EF。‎ ‎∴四边形EFHG是平行四边形。‎ 技巧点拨：在证明两直线平行时，常常使用直线和平面平行的性质定理来证明。同时构造辅助面完成定理的应用。‎ 例题2 （利用直线与平面平行的性质定理证明线段关系）‎ 已知异面直线AB、CD都平行于平面α，且AB、CD在α的两侧，若AC、BD与α分别交于M、N两点，求证：。‎ 思路分析：构造辅助面利用线面平行线线平行平面几何比例知识证得。‎ 答案：如图所示，连接AD交平面α于Q，连接MQ、NQ。MQ、NQ分别是平面ACD、平面ABD与α的交线。‎ 4‎ ‎∵CD∥α，AB∥α，∴CD∥MQ，AB∥NQ。‎ 于是，，∴。‎ 技巧点拨：本题利用构造辅助平面，利用直线和平面的性质定理把线面关系转到线线关系，然后利用平面几何知识证明。这种把立体几何问题转化为平面几何问题是立体几何中最常见的化归思想。注意构造辅助线或辅助面这一方法在立体中的应用。‎ ‎ ‎ 立体几何与函数的综合应用 ‎【满分训练】如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？‎ 思路分析：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值。‎ 答案：∵AB∥平面EFGH，平面EFGH与平面ABC和平面ABD分别交于FG、EH。‎ ‎∴AB∥FG，AB∥EH，‎ ‎∴FG∥EH，同理可证EF∥GH，‎ ‎∴截面EFGH是平行四边形。‎ 设AB＝a，CD＝b，∠FGH＝（即为异面直线AB和CD所成的角或其补角）。‎ 又设FG＝x，GH＝y，则由平面几何知识可得，，两式相加得 4‎ ‎＝1，即y＝（a－x），‎ ‎∴S▱EFGH＝FG·GH·sin α ‎＝x··（a－x）·sin α＝x（a－x）。‎ ‎∵x>0，a－x>0且x＋（a－x）＝a为定值，‎ ‎∴当且仅当x＝a－x时，x（a－x）＝，此时x＝，y＝。‎ 即当截面EFGH的顶点E、F、G、H为棱AD、AC、BC、BD的中点时截面面积最大。‎ 技巧点拨：利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决。‎ 4‎