2020高中数学 第2章 平面向量 第二讲 向量的线性运算2 向量的数乘习题 苏教版必修4 3页

向量的数乘 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎1. 已知λ∈R，则下列说法错误的是________。‎ ‎①|λa|＝λ|a|；②|λa|＝|λ|a；③|λa|＝|λ||a|；④|λa|>0。‎ ‎2. （滨海高一检测）将[2（‎2a＋8b）－4（‎4a－2b）]化简成最简式为________。‎ ‎*3. 若＝，则＝________。‎ ‎*4. 点G是△ABC的重心，D是AB的中点，且＋－＝λ，则λ＝________。‎ ‎**5. 如图所示，与分别在由点O出发的两条射线上，则下列各项中向量的终点落在阴影区域的是________。‎ ‎①＋2；②＋；③－；④－。‎ ‎6. 在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝________（用a，b表示）。‎ ‎**7. 已知向量a，b是两个不共线的向量，且ma－3b与向量a＋（2－m）b共线，求实数m的值。‎ ‎*8. 在平行四边形ABCD中，M，N分别是DC，BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和。‎ ‎***9. 设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论。‎ 3‎ ‎1. ①②④ 解析：当λ<0时，①式不成立；当λ＝0或a＝0时，④式不成立；又|λa|∈R，而λ|a|是数乘向量，故②必不成立。‎ ‎2. 2b－a 解析：原式＝ （‎2a＋8b）－（‎4a－2b）＝a＋b－a＋b＝－a＋2b＝2b－a。‎ ‎3. － 解析：∵＝，∴点A，B，C三点共线且与同向，＝ （如图），‎ ‎∴＝，又与反向，‎ ‎∴＝－。‎ ‎4. 4 解析：∵＋－＝＋＋＝2＝4，‎ ‎∴λ＝4。‎ ‎5. ①② 解析：作出四个向量可知，只有①②满足条件。‎ ‎6. b－a 解析：方法一　如题图，‎ ‎＝＋＋‎ ‎＝－b－a＋‎ ‎＝－b－a＋（a＋b）‎ ‎＝（b－a）。‎ 方法二　设AC交BD于O，由于N为AC的分点，则有N为OC的中点，＝＝＝（b－a）。‎ ‎7. 解：由ma－3b与向量a＋（2－m）b共线可知，‎ 存在实数λ满足ma－3b＝λ[a＋（2－m）b]，‎ 即（m－λ）a－[3＋λ（2－m）]b＝0，‎ 又a与b不共线，‎ ‎∴,‎ 解得m＝3或m＝－1。‎ ‎8. 解：如图，设＝a，＝b。‎ 3‎ ‎∵M，N分别是DC，BC的中点，∴＝b，＝a.‎ ‎∵在△ADM和△ABN中，‎ 即 ‎①×2－②，得b＝ （‎2c－d），‎ ‎②×2－①，得a＝ （2d－c），‎ ‎∴＝d－c，＝c－d。‎ ‎9. 解：b与a＋c共线，证明如下：‎ ‎∵a＋b与c共线，‎ ‎∴存在唯一实数λ，使得a＋b＝λc，①‎ ‎∵b＋c与a共线， ‎ ‎∴存在唯一实数μ，使得b＋c＝μa，②‎ 由①－②得，a－c＝λc－μa.∴（1＋μ）a＝（1＋λ）c，‎ 又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，‎ ‎∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，‎ 即a＋b＋c＝0，‎ ‎∴a＋c＝－b，‎ 故a＋c与b共线。‎ 3‎