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  • 2021-06-24 发布

2020年高中数学第二章直线与平面垂直的判定

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‎2.3.1‎‎ 直线与平面垂直的判定 ‎[课时作业]‎ ‎[A组 基础巩固]‎ ‎1.如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边;②梯形的两边;③圆的两条直径;④正六边形的两条边,则能保证该直线与平面垂直的是(  )‎ A.①③   B.②   C.②④   D.①②④‎ 解析:①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线,②④中的两直线有可能平行.‎ 答案:A ‎2.如图,BC是Rt△ABC的斜边,过A作△ABC所在平面α的垂线AP,连接PB、PC,过A作AD⊥BC于D,连接PD,那么图中直角三角形的个数是(  )‎ A.5 B.6‎ C.7 D.8‎ 解析:题图中直角三角形有△ABC,△ADC,△ADB,△PAD,△PAC,△PAB,△PDC,△PDB.‎ 答案:D ‎3.如图,已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2,且SO⊥平面ABCD,O为底面的中心,则侧棱与底面所成的角为(  )‎ A.75° B.60°‎ C.45° D.30°‎ 解析:SO⊥平面ABCD,则∠SAC就是侧棱与底面所成的角,在Rt△SAO中,SA=2,AO=,∴∠SAO=45°.‎ 答案:C ‎4.空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC、BD的关系是(  )‎ A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直 C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交 解析:取BD中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,∴BD⊥面AOC,BD⊥AC,又BD、AC异面,∴选C.‎ 答案:C ‎5.已知P是△ABC所在平面外的一点,点P与AB、AC、BC的距离相等,且点 5‎ P在△ABC上的射影O在△ABC内,则O一定是△ABC的(  )‎ A.内心 B.外心 C.重心 D.中心 解析:如图所示,过点P作PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC,分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影,连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等,且PO⊥平面ABC,所以PD=PE=PF,PO=PO=PO,又因为∠POD=∠POE=∠POF=90°,所以OD=OE=OF,因为PO⊥AB,PD⊥AB,且PD∩PO=P.所以AB⊥平面POD,所以AB⊥OD.同理可证得OF⊥BC,OE⊥AC.又因为OD=OE=OF,所以点O到三角形三边的距离相等,故点O为△ABC的内心,故选A.‎ 答案:A ‎6.在三棱锥OABC中,三条棱OA,OB,OC两两互相垂直,且OA=OB=OC,M是AB的中点,则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________.‎ 解析:画出三棱锥(图略),将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解,易知tan∠OMC===.‎ 答案: ‎7.已知a,b,c是三条直线,α是平面.若c⊥a,c⊥b,a⊂α,b⊂α,且________(填上一个条件即可),则有c⊥α.‎ 解析:由直线与平面垂直的判定定理知,若c⊥α,需c垂直平面α内的两条相交直线.‎ 答案:a∩b=A ‎8.如图所示,在正三棱锥ABCD中,E,F分别为BD,AD的中点,EF⊥CF,则直线BD与平面ACD所成的角为________.‎ 解析:因为三棱锥ABCD为正三棱锥,所以可证AB⊥CD.又EF⊥CF,所以AB⊥CF,所以AB⊥平面ACD,故可知直线BD与平面ACD所成的角为∠BDA=45°.‎ 答案:45°‎ ‎9.如图,在△ABC中,∠B=90°,SA⊥平面ABC,点A在SB和SC上的射影分别为N、M.‎ 求证:MN⊥SC.‎ 证明:∵SA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴SA⊥BC.‎ ‎∵∠B=90°,即AB⊥BC,AB∩SA=A,‎ ‎∴BC⊥平面SAB.‎ ‎∵AN⊂平面SAB,∴BC⊥AN.‎ 又∵AN⊥SB,SB∩BC=B,∴AN⊥平面SBC.‎ ‎∵SC⊂平面SBC.∴AN⊥SC.‎ 5‎ 又∵AM⊥SC,AM∩AN=A,∴SC⊥平面AMN.‎ ‎∵MN⊂平面AMN,∴SC⊥MN.‎ ‎10.如图所示,AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°.‎ ‎(1)求证:CD⊥平面ABC;‎ ‎(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小.‎ 解析:(1)证明:∵BD是底面圆的直径,‎ ‎∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD,CD⊂平面BCD,‎ ‎∴AB⊥CD.∵AB∩BC=C,∴CD⊥平面ABC.‎ ‎(2)取AC的中点E,连接DE(图略),由(1)知BE⊥CD,又E是AC的中点,AB=BC=2,∠ABC=90°,‎ ‎∴BE⊥AC,∴BE⊥面ACD,‎ ‎∴直线BD与面ACD所成的角为∠BDE.‎ 而BE⊥面ACD,则BE⊥ED,‎ 即△BED为直角三角形.‎ 又AB=BC=2,∠CBD=45°,则BD=2,BE=,‎ ‎∴sin∠BDE==,∴∠BDE=30°.‎ ‎[B组 能力提升]‎ ‎1.如图所示,在正四棱锥SABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中,E是BC的中点,P点在侧面△SCD内及其边界上运动,并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(  )‎ 解析:如图所示,连接BD与AC相交于点O,连接SO,‎ 取SC的中点F,取CD的中点G,连接EF,EG,FG,‎ 因为E,F分别是BC,SC的中点,‎ 所以EF∥SB,EF⊄平面SBD,SB⊂平面SBD,‎ 所以EF∥平面SBD,同理可证EG∥平面SBD.‎ 又EF∩EG=E,所以平面EFG∥平面SBD,‎ 由题意得SO⊥平面ABCD,AC⊥SO,因为AC⊥BD,又SO∩BD=O,所以AC⊥平面SBD,所以AC 5‎ ‎⊥平面EFG,所以AC⊥GF,所以点P在直线GF上.‎ 答案:A ‎2.如图所示,下列五个正方体图形中,l是正方体的一条对角线,点M,N,P分别为其所在棱的中点,能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________.(写出所有符合要求的图形的序号) ‎ 解析:按照线面垂直的判定定理判断,关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线.‎ 答案:①④⑤‎ ‎3.如图所示,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=‎4 cm,PF,PE垂直于BC,AC于点F,E,且PF=PE=‎2 cm,那么PC与平面ABC所成角的大小为________.‎ 解析:过P作PO垂直于平面ABC于O,连接CO,则CO为∠ACB的平分线.连接OF,可证明△CFO为直角三角形,CO=2,‎ Rt△PCO中,cos∠PCO=,‎ ‎∠PCO=45°.‎ 答案:45°‎ ‎4.如图所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形.已知AD=2,PA=2,PD=2,求证:AD⊥平面PAB.‎ 证明:在△PAD中,由题设PA=2,AD=2,PD=2,可得PA2+AD2=PD2,于是AD⊥PA.在矩形ABCD中,AD⊥AB,又PA∩AB=A,‎ 所以AD⊥平面PAB.‎ ‎5.如图所示,已知Rt△ABC所在平面外一点S,且SA=SB=SC,D为斜边AC上的中点.‎ ‎(1)求证:SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.‎ 证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC.‎ 连接BD,在Rt△ABC中,有AD=DC=DB,‎ 所以△SDB≌△SDA,所以∠SDB=∠SDA,‎ 5‎ 所以SD⊥BD.又AC∩BD=D,所以SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)因为AB=BC,D是AC的中点,所以BD⊥AC.‎ 又由(1)知SD⊥BD,所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线,所以BD⊥平面SAC.‎ 5‎