2020年高中数学第二章直线与平面垂直的判定 5页

‎2.3.1‎‎ 直线与平面垂直的判定 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．如果一条直线垂直于一个平面内的①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正六边形的两条边，则能保证该直线与平面垂直的是(　　)‎ A．①③　　 B．②　　　C．②④　　　D．①②④‎ 解析：①③能保证这条直线垂直于该平面内的两条相交直线，②④中的两直线有可能平行．‎ 答案：A ‎2.如图，BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面α的垂线AP，连接PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连接PD，那么图中直角三角形的个数是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 解析：题图中直角三角形有△ABC，△ADC，△ADB，△PAD，△PAC，△PAB，△PDC，△PDB.‎ 答案：D ‎3.如图，已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是2，且SO⊥平面ABCD，O为底面的中心，则侧棱与底面所成的角为(　　)‎ A．75° B．60°‎ C．45° D．30°‎ 解析：SO⊥平面ABCD，则∠SAC就是侧棱与底面所成的角，在Rt△SAO中，SA＝2，AO＝，∴∠SAO＝45°.‎ 答案：C ‎4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　　)‎ A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 解析：取BD中点O，连接AO，CO，则BD⊥AO，BD⊥CO，∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，又BD、AC异面，∴选C.‎ 答案：C ‎5．已知P是△ABC所在平面外的一点，点P与AB、AC、BC的距离相等，且点 5‎ P在△ABC上的射影O在△ABC内，则O一定是△ABC的(　　)‎ A．内心 B．外心 C．重心 D．中心 解析：如图所示，过点P作PD⊥AB，PE⊥AC，PF⊥BC，分别交AB、AC、BC于点D、E、F.O是点P在平面ABC内的射影，连接OD、OE、OF.因为点P到AB、AC、BC的距离相等，且PO⊥平面ABC，所以PD＝PE＝PF，PO＝PO＝PO，又因为∠POD＝∠POE＝∠POF＝90°，所以OD＝OE＝OF，因为PO⊥AB，PD⊥AB，且PD∩PO＝P.所以AB⊥平面POD，所以AB⊥OD.同理可证得OF⊥BC，OE⊥AC.又因为OD＝OE＝OF，所以点O到三角形三边的距离相等，故点O为△ABC的内心，故选A.‎ 答案：A ‎6．在三棱锥OABC中，三条棱OA，OB，OC两两互相垂直，且OA＝OB＝OC，M是AB的中点，则OM与平面ABC所成角的正切值大小是________．‎ 解析：画出三棱锥(图略)，将OM与平面ABC所成的角放在直角三角形OMC中求解，易知tan∠OMC＝＝＝.‎ 答案： ‎7．已知a，b，c是三条直线，α是平面．若c⊥a，c⊥b，a⊂α，b⊂α，且________(填上一个条件即可)，则有c⊥α.‎ 解析：由直线与平面垂直的判定定理知，若c⊥α，需c垂直平面α内的两条相交直线．‎ 答案：a∩b＝A ‎8.如图所示，在正三棱锥ABCD中，E，F分别为BD，AD的中点，EF⊥CF，则直线BD与平面ACD所成的角为________．‎ 解析：因为三棱锥ABCD为正三棱锥，所以可证AB⊥CD.又EF⊥CF，所以AB⊥CF，所以AB⊥平面ACD，故可知直线BD与平面ACD所成的角为∠BDA＝45°.‎ 答案：45°‎ ‎9.如图，在△ABC中，∠B＝90°，SA⊥平面ABC，点A在SB和SC上的射影分别为N、M.‎ 求证：MN⊥SC.‎ 证明：∵SA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴SA⊥BC.‎ ‎∵∠B＝90°，即AB⊥BC，AB∩SA＝A，‎ ‎∴BC⊥平面SAB.‎ ‎∵AN⊂平面SAB，∴BC⊥AN.‎ 又∵AN⊥SB，SB∩BC＝B，∴AN⊥平面SBC.‎ ‎∵SC⊂平面SBC.∴AN⊥SC.‎ 5‎ 又∵AM⊥SC，AM∩AN＝A，∴SC⊥平面AMN.‎ ‎∵MN⊂平面AMN，∴SC⊥MN.‎ ‎10.如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°.‎ ‎(1)求证：CD⊥平面ABC；‎ ‎(2)求直线BD与平面ACD所成角的大小．‎ 解析：(1)证明：∵BD是底面圆的直径，‎ ‎∴CD⊥BC.又AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD，‎ ‎∴AB⊥CD.∵AB∩BC＝C，∴CD⊥平面ABC.‎ ‎(2)取AC的中点E，连接DE(图略)，由(1)知BE⊥CD，又E是AC的中点，AB＝BC＝2，∠ABC＝90°，‎ ‎∴BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，‎ ‎∴直线BD与面ACD所成的角为∠BDE.‎ 而BE⊥面ACD，则BE⊥ED，‎ 即△BED为直角三角形．‎ 又AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，则BD＝2，BE＝，‎ ‎∴sin∠BDE＝＝，∴∠BDE＝30°.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1.如图所示，在正四棱锥SABCD(顶点S在底面ABCD上的射影是正方形ABCD的中心)中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC.则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形最有可能是图中的(　　)‎ 解析：如图所示，连接BD与AC相交于点O，连接SO，‎ 取SC的中点F，取CD的中点G，连接EF，EG，FG，‎ 因为E，F分别是BC，SC的中点，‎ 所以EF∥SB，EF⊄平面SBD，SB⊂平面SBD，‎ 所以EF∥平面SBD，同理可证EG∥平面SBD.‎ 又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面SBD，‎ 由题意得SO⊥平面ABCD，AC⊥SO，因为AC⊥BD，又SO∩BD＝O，所以AC⊥平面SBD，所以AC 5‎ ‎⊥平面EFG，所以AC⊥GF，所以点P在直线GF上．‎ 答案：A ‎2．如图所示，下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥平面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形的序号) ‎ 解析：按照线面垂直的判定定理判断，关键是在平面MNP内找到两条与l垂直的相交直线．‎ 答案：①④⑤‎ ‎3.如图所示，∠ACB＝90°，平面ABC外有一点P，PC＝‎4 cm，PF，PE垂直于BC，AC于点F，E，且PF＝PE＝‎2 cm，那么PC与平面ABC所成角的大小为________．‎ 解析：过P作PO垂直于平面ABC于O，连接CO，则CO为∠ACB的平分线．连接OF，可证明△CFO为直角三角形，CO＝2，‎ Rt△PCO中，cos∠PCO＝，‎ ‎∠PCO＝45°.‎ 答案：45°‎ ‎4.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2，求证：AD⊥平面PAB.‎ 证明：在△PAD中，由题设PA＝2，AD＝2，PD＝2，可得PA2＋AD2＝PD2，于是AD⊥PA.在矩形ABCD中，AD⊥AB，又PA∩AB＝A，‎ 所以AD⊥平面PAB.‎ ‎5.如图所示，已知Rt△ABC所在平面外一点S，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC上的中点．‎ ‎(1)求证：SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.‎ 证明：(1)因为SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.‎ 连接BD，在Rt△ABC中，有AD＝DC＝DB，‎ 所以△SDB≌△SDA，所以∠SDB＝∠SDA，‎ 5‎ 所以SD⊥BD.又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC.‎ ‎(2)因为AB＝BC，D是AC的中点，所以BD⊥AC.‎ 又由(1)知SD⊥BD，所以BD垂直于平面SAC内的两条相交直线，所以BD⊥平面SAC.‎ 5‎