高中数学（人教版必修2）配套练习 第二章2.3.1 直线与平面垂直的判定 4页

§2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、基础过关 1．已知直线 a∥b，平面α∥β，a⊥α，则 b 与β的位置关系是 ( ) A．b⊥β B．b∥β C．b⊂β D．b⊂β或 b∥β 2．直线 a⊥直线 b，b⊥平面β，则 a 与β的关系是 ( ) A．a⊥β B．a∥β C．a⊂β D．a⊂β或 a∥β 3．空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是 ( ) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 4．如图所示，定点 A 和 B 都在平面α内，定点 P∉α，PB⊥α，C 是平面α内 异于 A 和 B 的动点，且 PC⊥AC，则△ABC 为 ( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 5. 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， (1)直线 A1B 与平面 ABCD 所成的角是________； (2)直线 A1B 与平面 ABC1D1 所成的角是________； (3)直线 A1B 与平面 AB1C1D 所成的角是______． 6. 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 AA1 和 AB 上的点，若∠B1MN 是直角，则∠C1MN＝______. 7．如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，E、F 分别是棱 B1C1、B1B 的中点． 求证：CF⊥平面 EAB. 8. 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别 是 AB、PC 的中点，PA＝AD. 求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面 PCD. 二、能力提升 9. 如图所示，PA⊥平面 ABC，△ABC 中 BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 10．已知矩形 ABCD，AB＝1，BC＝ 2，将△ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折， 在翻折过程中 ( ) A．存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B．存在某个位置，使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C．存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D．对任意位置，三对直线“AC 与 BD”，“AB 与 CD”，“AD 与 BC”均不垂直 11．在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，BC＝CC1 ，当底面 A1B1C1 满足条件________时，有 AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)． 12. 如图所示，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，P 为 DD1 的中点，O 为 ABCD 的中心，求证： B1O⊥平面 PAC. 三、探究与拓展 13．已知平面α外两点 A、B 到平面α的距离分别为 1 和 2，A、B 两点在α内的射影之间距离 为 3，求直线 AB 和平面α所成的角． 答案 1．A 2.D 3．C 4．B 5．(1)45° (2)30° (3)90° 6．90° 7．证明 在平面 B1BCC1 中， ∵E、F 分别是 B1C1、B1B 的中点， ∴△BB1E≌△CBF， ∴∠B1BE＝∠BCF， ∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE， 又 AB⊥平面 B1BCC1，CF⊂平面 B1BCC1， ∴AB⊥CF，又 AB∩BE＝B， ∴CF⊥平面 EAB. 8．证明 (1)∵PA⊥底面 ABCD， ∴CD⊥PA. 又矩形 ABCD 中，CD⊥AD，且 AD∩PA＝A，∴CD⊥平面 PAD，∴CD⊥PD. (2)取 PD 的中点 G，连接 AG，FG.又∵G、F 分别是 PD、PC 的中点， ∴GF 綊 1 2CD， ∴GF 綊 AE， ∴四边形 AEFG 是平行四边形，∴AG∥EF. ∵PA＝AD，G 是 PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD， ∵CD⊥平面 PAD，AG⊂平面 PAD. ∴CD⊥AG.∴EF⊥CD. ∵PD∩CD＝D，∴EF⊥平面 PCD. 9．A 10．B 11．∠A1C1B1＝90° 12．证明 连接 AB1，CB1，设 AB＝1. ∴AB1＝CB1＝ 2， ∵AO＝CO，∴B1O⊥AC. 连接 PB1. ∵OB21＝OB2＋BB21＝3 2 ， PB21＝PD21＋B1D21＝9 4 ， OP2＝PD2＋DO2＝3 4 ， ∴OB21＋OP2＝PB21. ∴B1O⊥PO， 又∵PO∩AC＝O，∴B1O⊥平面 PAC. 13．解 (1)如图①，当 A、B 位于平面α同侧时，由点 A、B 分别向平面α作垂线，垂足分别 为 A1、B1，则 AA1＝1，BB1＝2，B1A1＝ 3.过点 A 作 AH⊥BB1 于 H，则 AB 和α所成角即 为∠HAB.而 tan∠BAH＝2－1 3 ＝ 3 3 . ∴∠BAH＝30°. (2)如图②，当 A、B 位于平面α异侧时，经 A、B 分别作 AA1⊥α于 A1，BB1⊥α于 B1，AB∩α ＝C，则 A1B1 为 AB 在平面α上的射影，∠BCB1 或∠ACA1 为 AB 与平面α所成 的角． ∵△BCB1∽△ACA1， ∴BB1 AA1 ＝B1C CA1 ＝2， ∴B1C＝2CA1，而 B1C＋CA1＝ 3， ∴B1C＝2 3 3 . ∴tan∠BCB1＝BB1 B1C ＝ 2 2 3 3 ＝ 3， ∴∠BCB1＝60°. 综合(1)、(2)可知：AB 与平面α所成的角为 30°或 60°.