高考理科数学复习练习作业67 11页

题组层级快练(六十七)‎ ‎1．若过抛物线y＝2x2的焦点的直线与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝(　　)‎ A．－2　　　　　　　　　 B．－ C．－4 D．－ 答案　D 解析　由y＝2x2，得x2＝y.其焦点坐标为F(0，)，取直线y＝，则其与y＝2x2交于A(－，)，B(，)，∴x1x2＝(－)·()＝－.‎ ‎2．已知椭圆x2＋2y2＝4，则以(1，1)为中点的弦的长度为(　　)‎ A．3 B．2 C. D. 答案　C 解析　设y－1＝k(x－1)，∴y＝kx＋1－k.‎ 代入椭圆方程，得x2＋2(kx＋1－k)2＝4.‎ ‎∴(2k2＋1)x2＋4k(1－k)x＋2(1－k)2－4＝0.‎ 由x1＋x2＝＝2，得k＝－，x1x2＝.‎ ‎∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4－＝.∴|AB|＝·＝.‎ ‎3．已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为(　　)‎ A．±　　　　　　　　　 B．± C．± D．± 答案　D 解析　由题意知焦点F(1，0)，直线AB的斜率必存在，且不为0，故可设直线AB的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，代入y2＝4x中化简，得ky2－4y－4k＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则y1＋y2＝， ①‎ y1y2＝－4， ②‎ 又由＝－4，可得y1＝－4y2. ③‎ 联立①②③式解得k＝±.‎ ‎4．(2017·南阳模拟)设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，·的值等于(　　)‎ A．0 B．2‎ C．4 D．－2‎ 答案　D 解析　易知当P，Q分别在椭圆短轴端点时，四边形PF1QF2的面积最大，‎ 此时F1(－，0)，F2(，0)，不妨设P(0，1)，∴＝(－，－1)，＝(，－1)．‎ ‎∴·＝－2.‎ ‎5．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F与双曲线－＝1的一个焦点重合，直线y＝x－4与抛物线交于A，B两点，则|AB|等于(　　)‎ A．28 B．32‎ C．20 D．40‎ 答案　B 解析　双曲线－＝1的焦点坐标为(±4，0)，故抛物线的焦点F的坐标为(4，0)，因此p＝8，故抛物线方程为y2＝16x，易知直线y＝x－4过抛物线的焦点．设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 由可得x2－24x＋16＝0，故x1＋x2＝24.‎ 故|AB|＝x1＋x2＋p＝24＋8＝32.‎ ‎6．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线与直线y＝2x＋1交于P、Q两点，若|PQ|＝，则抛物线的方程为(　　)‎ A．y2＝－4x B．y2＝12x C．y2＝－4x或y2＝12x D．以上都不对 答案　C 解析　由题意设抛物线的方程为y2＝2px，联立方程得消去y，得4x2－(2p－4)x＋1＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ‎|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·＝，所以＝，p2－4p－12＝0，p＝－2或6，所以y2＝－4x或y2＝12x.‎ ‎7．(2017·衡水中学调研)过抛物线x2＝4y的焦点作两条互相垂直的弦AB、CD，则＋＝(　　)‎ A．2 B．4‎ C. D. 答案　D 解析　根据题意，抛物线的焦点为(0，1)，设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，直线CD的方程为y＝－x＋1，由得y2－(2＋4k2)y＋1＝0，由根与系数的关系得yA＋yB＝2＋4k2，所以|AB|＝yA＋yB＋2＝4＋4k2，同理|CD|＝yC＋yD＋2＝4＋，所以＋＝＋＝，故选D.‎ ‎8．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为(　　)‎ A．x＝1 B．x＝－1‎ C．x＝2 D．x＝－2‎ 答案　B 解析　F(，0)，AB∶y＝x－，y2－2py－p2＝0，yA＋yB＝2p＝4，‎ ‎∴p＝2，准线x＝－＝－1.‎ ‎9．(2017·杭州二中质检)已知抛物线y2＝2px(p>0)与直线ax＋y－4＝0相交于A，B两点，其中A点的坐标是(1，2)．如果抛物线的焦点为F，那么|FA|＋|FB|等于(　　)‎ A．5 B．6‎ C．3 D．7‎ 答案　D 解析　把点A的坐标(1，2)分别代入抛物线y2＝2px与直线方程ax＋y－4＝0，得p＝2，a＝2，由消去y，得x2－5x＋4＝0，则xA＋xB＝5.由抛物线定义得|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p＝7，故选D.‎ ‎10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，经过F且斜率为 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是(　　)‎ A．4 B．3 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　由抛物线的定义知|AF|＝|AK|，又∵∠KAF等于直线AF的倾斜角，‎ ‎∴∠KAF＝60°，∴△AFK是正三角形．‎ 联立方程组消去y，‎ 得3x2－10x＋3＝0，解得x＝3或x＝.‎ 由题意得A(3，2)，则△AKF的边长为4，面积为×42＝4.‎ ‎11．(2017·东北三校)设抛物线y2＝4x的焦点为F，过点M(－1，0)的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足·＝0，则直线AB的斜率k＝(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意，设直线AB的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)，代入抛物线方程y2＝4x并整理，得k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0.因为直线与抛物线有两个不同的交点，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4>0.设A(x1，y1)，‎ B(x2，y2)，则又因为·＝0，‎ 所以(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，(x1－1)(x2－1)＋k2(x1＋1)(x2＋1)＝0，‎ ‎(1＋k2)x1x2＋(k2－1)(x1＋x2)＋k2＋1＝0.把代入并整理，‎ 得k2＝.又k>0，所以k＝，故选B.‎ ‎12．若过原点的直线l与双曲线－＝1有两个不同交点，则直线l的斜率的取值范围是(　　)‎ A.　　　 B．(－，)‎ C. D.∪ 答案　B 解析　∵－＝1，其两条渐近线的斜率分别为k1＝－，k2＝，要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点，画图可知，直线l的斜率的取值范围应是∪.‎ ‎13．(2015·山东，文)过双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．‎ 答案　2＋ 解析　不妨设过右焦点与渐近线平行的直线为y＝(x－c)，与C交于P(x0，y0)．‎ ‎∵x0＝2a，∴y0＝(2a－c)．‎ 又P(x0，y0)在双曲线C上，∴－＝1，‎ ‎∴整理得a2－4ac＋c2＝0，设双曲线C的离心率为e，故1－4e＋e2＝0.‎ ‎∴e1＝2－(舍去)，e2＝2＋.即双曲线C的离心率为2＋.‎ ‎14．(2017·福建福州质检)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝x对称，则该双曲线的离心率为________．‎ 答案　 解析　由题意可知双曲线左支上存在一点P与点F2关于直线y＝对称，则PF1⊥PF2.又＝，联立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝.‎ ‎15．已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：y＝－x的一个交点的横坐标为8.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线相交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面积．‎ 答案　(1)y2＝8x　(2)24 解析　(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)，‎ ‎∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴抛物线方程为y2＝8x.‎ ‎(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：x＝y＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l2‎ 与x轴的交点为M.由得y2－8y－8m＝0，‎ Δ＝64＋32m>0，∴m>－2.‎ y1＋y2＝8，y1y2＝－8m，∴x1x2＝＝m2.‎ 由题意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0，‎ ‎∴m＝8或m＝0(舍)，∴直线l2：x＝y＋8，M(8，0)．‎ 故S△FAB＝S△FMB＋S△FMA＝·|FM|·|y1－y2|＝3＝24.‎ ‎16．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.‎ ‎(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；‎ ‎(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．‎ 答案　(1)5　(2) 解析　(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.‎ 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.‎ 故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.‎ ‎(2)设|F1B|＝k，则k>0，且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.‎ 由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.‎ 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，‎ 即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，‎ 化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k.‎ 于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，‎ 故△AF1F2为等腰直角三角形．‎ 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.‎ ‎1．(2017·山东师大附中模拟)已知两定点A(0，－2)，B(0，2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为(　　)‎ A．－12 B．12‎ C．－9 D．9‎ 答案　D 解析　易知A(0，－2)，B(0，2)为椭圆＋＝1的两焦点，∴||＋||＝2×4＝8，又||－||＝2，∴||＝5，||＝3.‎ ‎∵||＝4，∴△ABP为直角三角形，∴·＝||2＝9.‎ ‎2．(2017·北京大兴一中月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于C的渐近线的直线交C于点P.若PF1⊥PF2，则C的离心率为(　　)‎ A. B. C．2 D. 答案　D 解析　取双曲线C的渐近线为y＝x.因为F1(－c，0)，F2(c，0)，所以过F2作平行于渐近线y＝x的直线PF2的方程为y＝(x－c)．‎ 因为PF1⊥PF2，所以直线PF1的方程为y＝－(x＋c)．‎ 联立方程组得点P的坐标为(，－)．‎ 因为点P在双曲线C上，‎ 所以－＝1，即－＝1.‎ 因为c2＝a2＋b2，所以－＝1，整理得c2＝5a2.‎ 因为e＝>1，所以e＝.故选D.‎ ‎3．已知双曲线x2－＝1，过点A(1，1)的直线l与双曲线只有一个公共点，则l的条数为(　　)‎ A．4 B．3‎ C．2 D．1‎ 答案　A 解析　①斜率不存在时，方程为x＝1符合．‎ ‎②设斜率为k，y－1＝k(x－1)，kx－y－k＋1＝0.‎ 　(4－k2)x2＋(2k2－2k)x－k2＋2k－5＝0.‎ 当4－k2＝0，k＝±2时符合；‎ 当4－k2≠0，Δ＝0，亦有一个答案，∴共4条．‎ ‎4．(2017·南京模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于A，B两点，连接AF，BF.若|AF|＝6，|BF|＝8，cos∠BAF＝，则该双曲线的离心率为________．‎ 答案　5‎ 解析　∵|AF|＝6，|BF|＝8，cos∠BAF＝，由余弦定理，得|AB|＝10，∠BFA＝90°.将A，B两点分别与双曲线另一个焦点连接，可得到矩形．由矩形性质，得2c＝10.由双曲线的定义，得2a＝8－6＝2，所以离心率e＝5.‎ ‎5．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．‎ 答案　2‎ 解析　直线AB的方程为y＝x－，由消去y得x2－3px＋＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p.‎ 根据抛物线的定义，|BF|＝x2＋，|AF|＝x1＋，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8.解得p＝2.‎ ‎6．(2014·天津，理)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，已知|AB|＝|F1F2|.‎ ‎(1)求椭圆的离心率；‎ ‎(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，经过原点O的直线l与该圆相切．求直线l的斜率．‎ 答案　(1)e＝　(2)4± 思路　(1)直接利用|AB|＝|F1F2|及椭圆中a，b，c之间的关系得到a，c的关系，进而得到离心率；(2)利用·＝0求出P点坐标满足的条件，再由P点坐标满足椭圆的方程，求出P点坐标，设出直线的方程，利用圆心到直线的距离等于圆的半径求解．‎ 解析　(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c，0)．‎ 由|AB|＝|F1F2|，可得a2＋b2＝3c2.又b2＝a2－c2，则＝.‎ 所以椭圆的离心率e＝.‎ ‎(2)由(1)知a2＝2c2，b2＝c2.故椭圆方程为＋＝1.‎ 设P(x0，y0)，由F1(－c，0)，B(0，c)，有＝(x0＋c，y0)，＝(c，c)．‎ 由已知，有·＝0，即(x0＋c)c＋y0c＝0.‎ 又c≠0，故有x0＋y0＋c＝0.　 ①‎ 又因为点P在椭圆上，故＋＝1.　 ②‎ 由①和②可得3x02＋4cx0＝0.而点P不是椭圆的顶点，故x0＝－c.‎ 代入①得y0＝，则点P的坐标为.‎ 设圆的圆心为T(x1，y1)，则x1＝＝－c，y1＝＝c.‎ 进而圆的半径r＝＝c.‎ 设直线l的斜率为k，依题意，直线l的方程为y＝kx.‎ 由l与圆相切，可得＝r.即＝c.‎ 整理，得k2－8k＋1＝0，解得k＝4±.‎ 所以，直线l的斜率为4＋或4－.‎ ‎7．抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点．‎ ‎(1)若＝2，求直线AB的斜率；‎ ‎(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．‎ 答案　(1)±2　(2)4‎ 解析　(1)依题意知F(1，0)，设直线AB的方程为x＝my＋1.‎ 将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x，得y2－4my－4＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4. ①‎ 因为＝2，所以y1＝－2y2. ②‎ 联立①和②，消去y1，y2，得m＝±.所以直线AB的斜率是±2.‎ ‎(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点．‎ 从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.‎ 因为2S△AOB＝2×·|OF|·|y1－y2|＝＝4，‎ 所以当m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.‎ ‎8．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，点A是椭圆上一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．‎ 答案　(1)＋＝1　(2)[－10，10]‎ 解析　(1)依题意知2a＝4，∴a＝2.∵e＝＝，∴c＝，b＝＝.‎ ‎∴椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)∵点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，∴ 解得x1＝，y1＝.∴3x1－4y1＝－5x0.‎ ‎∵点P(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，‎ ‎∴－2≤x0≤2，则－10≤－5x0≤10.‎ ‎∴3x1－4y1的取值范围为[－10，10]．‎ ‎9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(0＜b＜1)的左、右焦点，过F1的直线l与E相交于A，B两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列．‎ ‎(1)求|AB|；‎ ‎(2)若直线l的斜率为1，求实数b的值．‎ 答案　(1)　(2) 解析　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.‎ ‎(2)l的方程为y＝x＋c，其中c＝.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标满足方程组 化简，得(1＋b2)x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ 因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|.‎ 即＝|x2－x1|.‎ 则＝(x1＋x2)2－4x1x2＝－＝，解得b＝.‎