高考理科数学复习练习作业64 8页

题组层级快练(六十四)‎ ‎1．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有(　　)‎ A．1条　　　　　　　　　 B．2条 C．3条 D．4条 答案　C 解析　该点为双曲线的顶点，与双曲线相切的直线有一条，与渐近线平行的直线有两条，共3条．‎ ‎2．已知F1，F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则|PF1|＋|QF1|－|PQ|的值为(　　)‎ A．8 B．2 C．4 D．随α的大小而变化 答案　C 解析　由双曲线定义知：|PF1|＋|QF1|－|PQ|＝|PF1|＋|QF1|－(|PF2|＋|QF2|)‎ ‎＝(|PF1|－|PF2|)＋(|QF1|－|QF2|)＝4a＝4.‎ ‎3．已知双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与该双曲线的右支交于A，B两点，若|AB|＝5，则△ABF1的周长为(　　)‎ A．16 B．20‎ C．21 D．26‎ 答案　D 解析　由双曲线－＝1，知a＝4.由双曲线定义|AF1|－|AF2|＝|BF1|－|BF2|＝2a＝8，∴|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋|BF2|＋16＝21，所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝21＋5＝26.‎ ‎4．已知双曲线E的中心为原点，F(3，0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为M(－12，－15)，则E的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 答案　B 解析　由已知易得l的斜率为k＝kFM＝1.设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，A(x1，y1)，B ‎(x2，y2)，则有两式相减并结合x1＋x2＝－24，y1＋y2＝－30，得＝，从而＝1，即4b2＝5a2.又a2＋b2＝9，解得a2＝4，b2＝5，故选B.‎ ‎5．(2017·山东师大附中模拟)过双曲线x2－＝1的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，则满足|AB|＝6的直线l有(　　)‎ A．4条 B．3条 C．2条 D．1条 答案　B 解析　当直线l的倾斜角为90°时，|AB|＝6；当直线l的倾斜角为0°时，|AB|＝2<6.故当直线l适当倾斜时，还可作出两条直线使得|AB|＝6，故选B.‎ ‎6．等轴双曲线C的中点在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，|AB|＝4，则C的实轴长为(　　)‎ A. B．2 C．4 D．8‎ 答案　C 解析　抛物线y2＝16x的准线方程是x＝－4，所以点A(－4，2)在等轴双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)上，将点A的坐标代入得a＝2，所以C的实轴长为4.‎ ‎7．(2017·南昌第一次模拟)双曲线－＝－1(b>0，a>0)与抛物线y＝x2有一个公共焦点F，双曲线上过点F且垂直于y轴的弦长为，则双曲线的离心率等于(　　)‎ A．2 B. C. D. 答案　B 解析　双曲线与抛物x2＝8y的公共焦点F的坐标为(0，2)，由题意知点(，2)在双曲线上，于是得a2＝3，故e＝＝，故选B.‎ ‎8．(2017·四川绵阳第二次诊断考试)圆C的圆心在y轴正半轴上，且与x轴相切，被双曲线x2－＝1的渐近线截得的弦长为，则圆C的方程为(　　)‎ A．x2＋(y－1)2＝1 B．x2＋(y－)2＝3‎ C．x2＋(y－)2＝ D．x2＋(y－2)2＝4‎ 答案　A 解析　设圆心(0，b)，(b>0)，半径为b，双曲线渐近线方程为y＝±x，圆心到渐近线的距离为d＝.由勾股定理，得()2＋()2＝b2，∴b＝1.所以圆C的方程为x2＋(y－1)2＝1.‎ ‎9．已知A，B，P是双曲线－＝1上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积kPA·kPB＝，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D 解析　设A(x1，y1)，P(x2，y2)，根据对称性，B(－x1，－y1)，‎ 因为A，P在双曲线上，所以 两式相减，得kPA·kPB＝＝.所以e2＝＝.故e＝.‎ ‎10．(2017·浙江名校联考)过双曲线M：x2－＝1的左顶点A作斜率为1的直线l，若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C，且|AB|＝|BC|，则双曲线M的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　过双曲线M：x2－＝1的左顶点A(1，0)作斜率为1的直线l：y＝x－1　①，若l与双曲线M的两条渐近线x2－＝0　②分别相交于点B(x1，y1)，C(x2，y2)，联立①②，化简整理，得(b2－1)x2＋2x－1＝0，∴∴x1＋x2＝2x1x2，又|AB|＝|BC|，‎ 则B为AC的中点，即2x1＝1＋x2，代入解得∴b2＝9，∴c2＝10，双曲线M的离心率e＝＝，选A.‎ ‎11．(2017·东北三校一模)已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　依题意，将直线PQ特殊化为x轴，于是有点P(－3，0)，Q(3，0)，M(0，0)，F(5，0)，＝.‎ ‎12．过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右顶点A作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若＝，则双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. 答案　C 解析　对于A(a，0)，则直线方程为x＋y－a＝0，直线与两渐近线的交点为B，C，B(，)，C(，)，则有＝(，－)，＝(－，)，‎ ‎∵2＝，∴4a2＝b2，∴e＝.‎ ‎13．双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为________；若双曲线C的右顶点为A，过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，且＝2，则直线l的斜率为_______．‎ 答案　x±y＝0，±3‎ 解析　双曲线C：x2－y2＝1的渐近线方程为x2－y2＝0，即y＝±x；双曲线C的右顶点A(1，0)，设l：x＝my＋1，联立方程，得消去x，得(m2－1)y2＋2my＋1＝0(*)，方程(*)的根为P，Q两点的纵坐标，设P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)．∵＝2，∴yP＝－2yQ.‎ 又解得m＝±，直线l的斜率为，即为3或－3.‎ ‎14．已知曲线－＝1(ab≠0，且a≠b)与直线x＋y－1＝0相交于P，Q两点，且·＝0(O为原点)，则－的值为________．‎ 答案　2‎ 解析　将y＝1－x代入－＝1，得(b－a)x2＋2ax－(a＋ab)＝0.‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.‎ ·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(1－x1)(1－x2)＝2x1x2－(x1＋x2)＋1.‎ 所以－＋1＝0.即2a＋2ab－2a＋a－b＝0.即b－a＝2ab，所以－＝2.‎ ‎15．(2017·山东潍坊质检)设双曲线x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝围成的三角形区域(包含边界)为D，点P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z＝x－2y的最小值为________．‎ 答案　－ 解析　双曲线x2－y2＝1的两条渐近线是y＝±x，解方程组得到三角形区域的顶点坐标是A(，)，B(，－)，C(0，0)．所以zA＝－2×＝－，zB＝－2×(－)＝，zC＝0.所以目标函数z＝x－2y的最小值为－.‎ ‎16．求两条渐近线为x＋2y＝0和x－2y＝0且截直线x－y－3＝0所得的弦长为的双曲线的方程．‎ 答案　－y2＝1‎ 解析　渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝1，则 可得3x2－24x＋36＋4m＝0，∴x1＋x2＝8，x1x2＝.‎ 由弦长公式|AB|＝·，得 ‎|AB|＝·.又∵|AB|＝，∴m＝1.∴双曲线方程为－y2＝1.‎ ‎17．已知点M(－2，0)，N(2，0)，动点P满足条件|PM|－|PN|＝2，记动点P的轨迹为W.‎ ‎(1)求W的方程；‎ ‎(2)若A和B是W上的不同两点，O是坐标原点，求·的最小值．‎ 答案　(1)－＝1(x≥)　(2)2‎ 解析　(1)由|PM|－|PN|＝2知动点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，实半轴长a＝.又焦距2c＝4，所以虚半轴长b＝＝.‎ 所以W的方程为－＝1(x≥)．‎ ‎(2)设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 当AB⊥x轴时，x1＝x2，y1＝－y2，从而·＝x1x2＋y1y2＝x12－y12＝2.‎ 当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y＝kx＋m(k≠±1)，与W的方程联立，消去y得(1－k2)x2－2kmx－m2－2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝，所以·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＋＋m2＝＝2＋.‎ 又因为x1x2>0，所以k2－1>0.所以·>2.‎ 综上所述，当AB⊥x轴时，·取得最小值2.‎ ‎1．P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上的点，F1，F2是其左、右焦点，双曲线的离心率是，且PF1⊥PF2.若△F1PF2的面积是9，则a＋b的值等于(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 答案　D 解析　由||PF1|－|PF2||＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，|PF1|·|PF2|＝9，得c2－9＝a2.又＝，∴a＝4，c＝5，b＝3.∴a＋b＝7.‎ ‎2．设离心率为e的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是(　　)‎ A．k2－e2>1 B．k2－e2<1‎ C．e2－k2>1 D．e2－k2<1‎ 答案　C 解析　由双曲线的图像和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－0)　(2)(－∞，－)‎ 解析　(1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(－，0)，r1＝；C2(，0)，r2＝.‎ 设动圆P的半径为r，由题意知|PC1|＝r＋，|PC2|＝r＋，‎ 则|PC1|－|PC2|＝<|C1C2|＝.‎ 所以点P在以C1，C2为焦点的双曲线右支上，其中2a＝，2c＝，所以b2＝1.‎ 故轨迹E的方程为2x2－y2＝1(x>0)．‎ ‎(2)将直线y＝kx＋1代入双曲线方程，并整理，得(k2－2)x2＋2kx＋2＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)，‎ 依题意，直线l与双曲线的右支交于不同两点，故 所以－2