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- 2021-06-24 发布
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题组层级快练(六十四)
1.直线l过点(,0)且与双曲线x2-y2=2仅有一个公共点,这样的直线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
答案 C
解析 该点为双曲线的顶点,与双曲线相切的直线有一条,与渐近线平行的直线有两条,共3条.
2.已知F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,P,Q为右支上的两点,直线PQ过F2且倾斜角为α,则|PF1|+|QF1|-|PQ|的值为( )
A.8 B.2
C.4 D.随α的大小而变化
答案 C
解析 由双曲线定义知:|PF1|+|QF1|-|PQ|=|PF1|+|QF1|-(|PF2|+|QF2|)
=(|PF1|-|PF2|)+(|QF1|-|QF2|)=4a=4.
3.已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线与该双曲线的右支交于A,B两点,若|AB|=5,则△ABF1的周长为( )
A.16 B.20
C.21 D.26
答案 D
解析 由双曲线-=1,知a=4.由双曲线定义|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a=8,∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+16=21,所以△ABF1的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26.
4.已知双曲线E的中心为原点,F(3,0)是E的焦点,过F的直线l与E相交于A,B两点,且AB的中点为M(-12,-15),则E的方程为( )
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
答案 B
解析 由已知易得l的斜率为k=kFM=1.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),A(x1,y1),B
(x2,y2),则有两式相减并结合x1+x2=-24,y1+y2=-30,得=,从而=1,即4b2=5a2.又a2+b2=9,解得a2=4,b2=5,故选B.
5.(2017·山东师大附中模拟)过双曲线x2-=1的右焦点作直线l交双曲线于A,B两点,则满足|AB|=6的直线l有( )
A.4条 B.3条
C.2条 D.1条
答案 B
解析 当直线l的倾斜角为90°时,|AB|=6;当直线l的倾斜角为0°时,|AB|=2<6.故当直线l适当倾斜时,还可作出两条直线使得|AB|=6,故选B.
6.等轴双曲线C的中点在原点,焦点在x轴上,C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点,|AB|=4,则C的实轴长为( )
A. B.2
C.4 D.8
答案 C
解析 抛物线y2=16x的准线方程是x=-4,所以点A(-4,2)在等轴双曲线C:x2-y2=a2(a>0)上,将点A的坐标代入得a=2,所以C的实轴长为4.
7.(2017·南昌第一次模拟)双曲线-=-1(b>0,a>0)与抛物线y=x2有一个公共焦点F,双曲线上过点F且垂直于y轴的弦长为,则双曲线的离心率等于( )
A.2 B.
C. D.
答案 B
解析 双曲线与抛物x2=8y的公共焦点F的坐标为(0,2),由题意知点(,2)在双曲线上,于是得a2=3,故e==,故选B.
8.(2017·四川绵阳第二次诊断考试)圆C的圆心在y轴正半轴上,且与x轴相切,被双曲线x2-=1的渐近线截得的弦长为,则圆C的方程为( )
A.x2+(y-1)2=1 B.x2+(y-)2=3
C.x2+(y-)2= D.x2+(y-2)2=4
答案 A
解析 设圆心(0,b),(b>0),半径为b,双曲线渐近线方程为y=±x,圆心到渐近线的距离为d=.由勾股定理,得()2+()2=b2,∴b=1.所以圆C的方程为x2+(y-1)2=1.
9.已知A,B,P是双曲线-=1上不同的三点,且A,B连线经过坐标原点,若直线PA,PB的斜率乘积kPA·kPB=,则该双曲线的离心率为( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 设A(x1,y1),P(x2,y2),根据对称性,B(-x1,-y1),
因为A,P在双曲线上,所以
两式相减,得kPA·kPB==.所以e2==.故e=.
10.(2017·浙江名校联考)过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 过双曲线M:x2-=1的左顶点A(1,0)作斜率为1的直线l:y=x-1 ①,若l与双曲线M的两条渐近线x2-=0 ②分别相交于点B(x1,y1),C(x2,y2),联立①②,化简整理,得(b2-1)x2+2x-1=0,∴∴x1+x2=2x1x2,又|AB|=|BC|,
则B为AC的中点,即2x1=1+x2,代入解得∴b2=9,∴c2=10,双曲线M的离心率e==,选A.
11.(2017·东北三校一模)已知双曲线-=1,过其右焦点F的直线交双曲线于P,Q两点,PQ的垂直平分线交x轴于点M,则的值为( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 依题意,将直线PQ特殊化为x轴,于是有点P(-3,0),Q(3,0),M(0,0),F(5,0),=.
12.过双曲线-=1(a>0,b>0)的右顶点A作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B,C.若=,则双曲线的离心率是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 对于A(a,0),则直线方程为x+y-a=0,直线与两渐近线的交点为B,C,B(,),C(,),则有=(,-),=(-,),
∵2=,∴4a2=b2,∴e=.
13.双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为________;若双曲线C的右顶点为A,过A的直线l与双曲线C的两条渐近线交于P,Q两点,且=2,则直线l的斜率为_______.
答案 x±y=0,±3
解析 双曲线C:x2-y2=1的渐近线方程为x2-y2=0,即y=±x;双曲线C的右顶点A(1,0),设l:x=my+1,联立方程,得消去x,得(m2-1)y2+2my+1=0(*),方程(*)的根为P,Q两点的纵坐标,设P(xP,yP),Q(xQ,yQ).∵=2,∴yP=-2yQ.
又解得m=±,直线l的斜率为,即为3或-3.
14.已知曲线-=1(ab≠0,且a≠b)与直线x+y-1=0相交于P,Q两点,且·=0(O为原点),则-的值为________.
答案 2
解析 将y=1-x代入-=1,得(b-a)x2+2ax-(a+ab)=0.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.
·=x1x2+y1y2=x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.
所以-+1=0.即2a+2ab-2a+a-b=0.即b-a=2ab,所以-=2.
15.(2017·山东潍坊质检)设双曲线x2-y2=1的两条渐近线与直线x=围成的三角形区域(包含边界)为D,点P(x,y)为D内的一个动点,则目标函数z=x-2y的最小值为________.
答案 -
解析 双曲线x2-y2=1的两条渐近线是y=±x,解方程组得到三角形区域的顶点坐标是A(,),B(,-),C(0,0).所以zA=-2×=-,zB=-2×(-)=,zC=0.所以目标函数z=x-2y的最小值为-.
16.求两条渐近线为x+2y=0和x-2y=0且截直线x-y-3=0所得的弦长为的双曲线的方程.
答案 -y2=1
解析 渐近线方程为y=±x,可设双曲线方程为-=1,则
可得3x2-24x+36+4m=0,∴x1+x2=8,x1x2=.
由弦长公式|AB|=·,得
|AB|=·.又∵|AB|=,∴m=1.∴双曲线方程为-y2=1.
17.已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,记动点P的轨迹为W.
(1)求W的方程;
(2)若A和B是W上的不同两点,O是坐标原点,求·的最小值.
答案 (1)-=1(x≥) (2)2
解析 (1)由|PM|-|PN|=2知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又焦距2c=4,所以虚半轴长b==.
所以W的方程为-=1(x≥).
(2)设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).
当AB⊥x轴时,x1=x2,y1=-y2,从而·=x1x2+y1y2=x12-y12=2.
当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m(k≠±1),与W的方程联立,消去y得(1-k2)x2-2kmx-m2-2=0,
则x1+x2=,x1x2=,所以·=x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+m)(kx2+m)
=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=++m2==2+.
又因为x1x2>0,所以k2-1>0.所以·>2.
综上所述,当AB⊥x轴时,·取得最小值2.
1.P是双曲线-=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2是其左、右焦点,双曲线的离心率是,且PF1⊥PF2.若△F1PF2的面积是9,则a+b的值等于( )
A.4 B.5
C.6 D.7
答案 D
解析 由||PF1|-|PF2||=2a,|PF1|2+|PF2|2=4c2,|PF1|·|PF2|=9,得c2-9=a2.又=,∴a=4,c=5,b=3.∴a+b=7.
2.设离心率为e的双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F,直线l过焦点F,且斜率为k,则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是( )
A.k2-e2>1 B.k2-e2<1
C.e2-k2>1 D.e2-k2<1
答案 C
解析 由双曲线的图像和渐近线的几何意义,可知直线的斜率k只需满足-0) (2)(-∞,-)
解析 (1)已知两圆的圆心、半径分别为C1(-,0),r1=;C2(,0),r2=.
设动圆P的半径为r,由题意知|PC1|=r+,|PC2|=r+,
则|PC1|-|PC2|=<|C1C2|=.
所以点P在以C1,C2为焦点的双曲线右支上,其中2a=,2c=,所以b2=1.
故轨迹E的方程为2x2-y2=1(x>0).
(2)将直线y=kx+1代入双曲线方程,并整理,得(k2-2)x2+2kx+2=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),
依题意,直线l与双曲线的右支交于不同两点,故
所以-2