高考理科数学复习练习作业87 8页

题组层级快练(八十七)‎ ‎1．直线(t为参数)的倾斜角为(　　)‎ A．70°　　　　　　　　 B．20°‎ C．160° D．110°‎ 答案　B 解析　将直线参数方程化为标准形式：‎ (t为参数)，则倾斜角为20°，故选B.‎ ‎2．若直线的参数方程为(t为参数)，则直线的斜率为(　　)‎ A. B．－ C. D．－ 答案　D ‎3．下列参数方程与方程y2＝x表示同一曲线的是(　　)‎ A.(t为参数) B.(t为参数)‎ C.(t为参数) D.(t为参数)‎ 答案　D 解析　考查四个选项：对于A，消去t后所得方程为x2＝y，不符合y2＝x；‎ 对于B，消去t后所得方程为y2＝x，但要求0≤x≤1，也不符合y2＝x；‎ 对于C，消去t得方程为y2＝|x|，且要求y≥0，x∈R，也不符合y2＝x；‎ 对于D，x＝＝＝tan2t＝y2即符合y2＝x.‎ 因此D是正确的，故选D.‎ ‎4．与参数方程为(t为参数)等价的普通方程为(　　)‎ A．x2＋＝1 B．x2＋＝1(0≤x≤1)‎ C．x2＋＝1(0≤y≤2) D．x2＋＝1(0≤x≤1，0≤y≤2)‎ 答案　D 解析　x2＝t，＝1－t＝1－x2，x2＋＝1，而t≥0，0≤1－t≤1，得0≤y≤2.‎ ‎5．参数方程(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　A 解析　参数方程(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，这是圆心为(－3，4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.‎ ‎6．(2014·安徽，理)以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cosθ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ A. B．2 C. D．2 答案　D 解析　由题意得直线l的方程为x－y－4＝0，圆C的方程为(x－2)2＋y2＝4.则圆心到直线的距离d＝，故弦长＝2＝2.‎ ‎7．(2017·北京朝阳二模)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4·sin(θ＋)，则直线l和曲线C的公共点有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 答案　B 解析　直线l：(t为参数)化为普通方程得x－y＋4＝0；‎ 曲线C：ρ＝4sin(θ＋)化成普通方程得(x－2)2＋(y－2)2＝8，‎ ‎∴圆心C(2，2)到直线l的距离为d＝＝2＝r.‎ ‎∴直线l与圆C只有一个公共点，故选B.‎ ‎8．(2015·湖北)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 答案　2 解析　因为ρ(sinθ－3cosθ)＝0，所以ρsinθ＝3ρcosθ，所以y－3x＝0，即y＝3x.由消去t得y2－x2＝4.由解得或不妨令A(，)，B(－，－)，由两点间的距离公式得 ‎|AB|＝＝2.‎ ‎9．(2017·人大附中模拟)已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＋2sinθ＝0，若在圆C上存在一点P，使得点P到直线l的距离最小，则点P的直角坐标为________．‎ 答案　(，－)‎ 解析　由已知得，直线l的普通方程为y＝－x＋1＋2，圆C的直角坐标方程为x2＋(y＋1)2＝1，在圆C上任取一点P(cosα，－1＋sinα)(α∈[0，2π))，则点P到直线l的距离为d＝＝＝.∴当α＝时，dmin＝，此时P(，－)．‎ ‎10．(2017·衡水中学调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ－2cosθ.‎ ‎(1)求曲线C的参数方程；‎ ‎(2)当α＝时，求直线l与曲线C交点的极坐标．‎ 答案　(1)(φ为参数)‎ ‎(2)(2，)，(2，π)‎ 解析　(1)由ρ＝2sinθ－2cosθ，可得ρ2＝2ρsinθ－2ρcosθ.‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y－2x，化为标准方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝2.‎ 曲线C的参数方程为(φ为参数)．‎ ‎(2)当α＝时，直线l的方程为化为普通方程为y＝x＋2.‎ 由解得或 所以直线l与曲线C交点的极坐标分别为(2，)，(2，π)．‎ ‎11．(2016·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 答案　(1)ρ2＋12ρcosθ＋11＝0 (2)或－ 解析　(1)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tanα＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎12．(2015·新课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 答案　(1)C2(0，0)，C3(，)　(2)4‎ 解析　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0，0)和(，)．‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.‎ 因此A的极坐标为(2sinα，α)，B的极坐标为(2cosα，α)．‎ 所以|AB|＝|2sinα－2cosα|＝4|sin(α－)|.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎13．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρ＝.‎ ‎(1)写出直线l的极坐标方程与曲线C的普通方程；‎ ‎(2)若点P是曲线C上的动点，求点P到直线l距离的最小值，并求出此时点P的坐标．‎ 答案　(1)ρcos(θ＋)＝1，y＝x2　(2) 解析　(1)由得x－y＝1，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为ρcosθ－ρsinθ＝1，‎ 即ρ(cosθcos－sinθsin)＝1，即ρcos(θ＋)＝1.‎ ‎∵ρ＝，∴ρ＝，∴ρcos2θ＝sinθ，∴(ρcosθ)2＝ρsinθ，即曲线C的普通方程为y＝x2.‎ ‎(2)设P(x0，y0)，则y0＝x02，‎ 直线l的普通方程为x－y－1＝0.‎ ‎∴点P到直线l的距离d＝＝‎ ＝＝，‎ ‎∴当x0＝时，dmin＝，此时P(，)，‎ ‎∴当点P为(，)时，点P到直线l距离最小，最小值为.‎ ‎14．(2015·湖南)已知直线l：(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值．‎ 答案　(1)x2＋y2－2x＝0　(2)18‎ 解析　(1)ρ＝2cosθ等价于ρ2＝2ρcosθ.①‎ 将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入①即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.②‎ ‎(2)将代入②，得t2＋5t＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.‎ ‎1．已知直线l：(t为参数)，圆C：ρ＝2cosθ，则圆心C到直线l的距离是(　　)‎ A．2 B. C. D．1‎ 答案　C 解析　直线l：(t为参数)的普通方程为x－y＋1＝0，圆C：ρ＝2cosθ的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，则圆心C(1，0)到直线l的距离d＝＝.‎ ‎2．(2017·皖南八校联考)若直线l：(t为参数)与曲线C：(θ为参数)相切，则实数m为(　　)‎ A．－4或6 B．－6或4‎ C．－1或9 D．－9或1‎ 答案　A 解析　由(t为参数)，得直线l：2x＋y－1＝0，由(θ为参数)，得曲线C：x2＋(y－m)2＝5，因为直线与曲线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即＝，解得m＝－4或m＝6.‎ ‎3．在直角坐标系中，已知直线l：(s为参数)与曲线C：(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|＝________．‎ 答案　 解析　曲线C可化为y＝(x－3)2，将代入y＝(x－3)2，化简解得s1＝1，s2＝2，所以|AB|＝|s1－s2|＝.‎ ‎4．(2015·陕西)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sinθ.　‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ 答案　(1)x2＋(y－)2＝3　(2)(3，0)‎ 解析　(1)由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P(3＋t，t)，又C(0，)，‎ 则|PC|＝＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，‎ 此时，P点的直角坐标为(3，0)．‎ ‎5．(2014·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，θ∈[0，]．‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 答案　(1)C：(t为参数，0≤t≤π)‎ ‎(2)D(，)‎ 思路　在第(1)问中，由极坐标公式，可将极坐标方程转化为普通方程，然后引入参数t，得出其参数方程；在第(2)问中，利用第(1)问中C的参数方程，设出点D的坐标，再根据C的普通方程得出其圆心和半径，以题目条件C在D处的切线与直线l垂直为切入点，从而得出两直线斜率关系，从而求出t的值，即可确定D的坐标．‎ 解析　(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cost，sint)．由(1)知C是以C(1，0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直．所以直线CD与l的斜率相同，tant＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为(1＋cos，sin)，即(，)．‎ ‎6．已知曲线C1：(α为参数)，C2：(θ为参数)．‎ ‎(1)分别求出曲线C1，C2的普通方程；‎ ‎(2)若C1上的点P对应的参数为α＝，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：(t为参数)距离的最小值及此时Q点坐标．‎ 答案　(1)C1：(x＋4)2＋(y－3)2＝1　C2：＋＝1‎ ‎(2)，(，－)‎ 解析　(1)由曲线C1：(α为参数)，得(x＋4)2＋(y－3)2＝1，‎ 它表示一个以(－4，3)为圆心，以1为半径的圆；‎ 由C2：(θ为参数)，得＋＝1，‎ 它表示一个中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为8，短半轴长为3的椭圆．‎ ‎(2)当α＝时，P点的坐标为(－4，4)，设Q点坐标为(8cosθ，3sinθ)，PQ的中点M(－2＋4cosθ，2＋sinθ)．‎ ‎∵C3：∴C3的普通方程为x－2y－7＝0，‎ ‎∴d＝ ‎＝＝，‎ ‎∴当sinθ＝－，cosθ＝时，d的最小值为，‎ ‎∴Q点坐标为(，－)．‎