高考数学专题复习练习第三章 三角函数、解三角 质量检测 10页

第三章 三角函数、解三角形 ‎(时间120分钟，满分150分)‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.集合M＝{x|x＝sin，n∈Z}，N＝{x|x＝cos，n∈N}，则M∩N等于 (　　)‎ A.{－1,0,1}　　　　B.{0,1} C.{0} D.∅‎ 解析：∵M＝{x|x＝sin，n∈Z}＝{－，0，}，‎ N＝{－1,0,1}，‎ ‎∴M∩N＝{0}.‎ 答案：C ‎2.已知α∈(，π)，sinα＝，则tan(α＋)等于 (　　)‎ A. B‎.7 C.－ D.－7‎ 解析：由α∈(，π)，sinα＝，得tanα＝－，tan(α＋)＝＝.‎ 答案：A ‎3.若函数f(x)＝(1＋tanx)cosx,0≤x＜，则f(x)的最大值为 (　　)‎ A.1 B‎.2 C.＋1 D.＋2‎ 解析：f(x)＝(1＋tanx)cosx＝cosx＋sinx ‎＝2sin(x＋)，‎ ‎∵0≤x＜，∴f(x)max＝2.‎ 答案：B ‎4.(2010·温州模拟)函数f(x)＝2sin(2x＋)在[－，]上对称轴的条数为 (　　)‎ A.1 B‎.2 C.3 D .0‎ 解析：∵当－≤x≤，‎ ‎∵－≤2x＋≤π，‎ ‎∴函数的对称轴为：2x＋＝－，，‎ ‎∴x＝－，或x＝.‎ 答案：B ‎5.要得到y＝sin(2x－)的图象，只要将y＝sin2x的图象 (　　)‎ A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 解析：∵y＝sin(2x－)＝sin2(x－)，‎ ‎∴只要将y＝sin2x的图象向右平移个单位便得到y＝sin(2x－)的图象.‎ 答案：D ‎6.使奇函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)在[－，0]上为减函数的θ 值为 (　　)‎ A.－ B.－ C. D. 解析：由已知得：f(x)＝2sin(2x＋θ＋)，‎ 由于函数为奇函数，故有θ＋＝kπ⇒θ＝kπ－(k∈Z)，可淘汰B、C选项，然后分别将A和D选项代入检验，易知当θ＝时，f(x )＝－2sin2x其在区间[－，0]上递减，故选D.‎ 答案：D ‎7.给定函数①y＝xcos(＋x)，②y＝1＋sin2(π＋x)，‎ ‎③y＝cos(cos(＋x))中，偶函数的个数是 (　　)‎ A.3 B‎.2 C.1 D.0‎ 解析：对于①y＝xcos(π＋x)＝xsinx，是偶函数，故①正确；对于②y＝1＋sin2(π＋x)＝sin2x＋1，是偶函数，故②正确；对于③y＝cos(cos(＋x))‎ ‎＝cos(－sinx)＝cos(sinx)，‎ ‎∵f(－x)＝cos(sin(－x))＝cos(－sinx)＝cos(sinx)＝f(x)，‎ ‎∴函数是偶函数，故③正确.‎ 答案：A ‎8.在△ABC中，若sin‎2A＋sin2B－sinAsinB＝sin‎2C，且满足ab＝4，则该三角形的面积为(　　)‎ A.1 B‎.2 C. D. 解析：∵sin‎2A＋sin2B－sinAsinB＝sin‎2C，‎ ‎∴a2＋b2－ab＝c2，∴cosC＝＝，‎ ‎∴C＝60°，∴S△ABC＝absinC＝×4×＝.‎ 答案：D ‎9.有一种波，其波形为函数y＝sin(x)的图象，若在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是 (　　)‎ A.3 B‎.4 C.5 D.6‎ 解析：由T＝＝＝4，可知此波形的函数周期为4，显然当0≤x≤1时函数单调递增，x＝0时y＝0，x＝1时y＝1，因此自0开始向右的第一个波峰所对的x值为1，第二个波峰对应的x值为5，所以要区间[0，t]上至少两个波峰，则t至少为5.‎ 答案：C ‎10.设集合M＝{平面内的点(a，b)}，N＝{f(x)|f(x)＝acos2x＋bsin2x，x∈R}，给出从M到N的映射f：(a，b)→f(x)＝acos2x＋bsin2x，则点(1，)的象f(x)的最小正周期为(　　)‎ ‎ A.π B. C. D. ‎ 解析：f(x)＝cos2x＋sin2x＝2sin(2x＋)，则最小正周期为π.‎ ‎ 答案：A ‎11.函数y＝sin(2x－)在区间[－，π]上的简图是 (　　)‎ 解析：当x＝－时，y＝sin(－π－)‎ ‎＝sin＝＞0，排除B、D，‎ 当x＝时，y＝sin(－)＝sin0＝0，排除C.‎ 答案：A ‎12.设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，(A≠0，ω＞0，－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，它的周期是π，则 (　　)‎ ‎ A.f(x)的图象过点(0，)  B.f(x)的图象在[，]上递减 ‎ C.f(x)的最大值为A D.f(x)的一个对称中心是点(，0)‎ 解析：T＝π，∴ω＝2.∵图象关于直线x＝对称，‎ ‎∴sin(ω＋φ)＝±1，‎ 即×2＋φ＝＋kπ，k∈Z 又∵－<φ<，∴φ＝ ‎∴f(x)＝Asin(2x＋).再用检验法.‎ 答案：D 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知扇形内切圆半径与扇形半径之比为1∶3，则内切圆面积与扇形面积之比为　　　　.‎ 解析：如图，设内切圆半径为r，则扇形的半径为3r，计算可 得扇形中心角为，‎ 故S内切圆∶S扇形＝πr2∶·3r·(·3r)＝2∶3.‎ 答案：2∶3‎ ‎14.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的图象如下图所示，则f()＝　　　　.‎ 解析：由图象知，函数的周期为×T＝π，‎ ‎∴T＝.‎ ‎∵f()＝0，‎ ‎∴f()＝f(＋)‎ ‎＝f(＋)＝－f()＝0.‎ 答案：0‎ ‎15.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且acosB－bcosA＝c.则的值为　　　　.‎ 解析：由acosB－bcosA＝c及正弦定理可得sinAcosB－sinBcosA＝sinC，即sinAcosB－sinBcosA＝sin(A＋B)，即5(sinAcosB－sinBcosA)＝3(sinAcosB＋sinBcosA)，即sinAcosB＝4sinBcosA，因此tanA＝4tanB，所以＝4.‎ 答案：4‎ ‎16.下面有五个命题：‎ ‎①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；‎ ‎②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；‎ ‎③在同一坐标系中，函数y＝sinx的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；‎ ‎④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到y＝3sin2x的图象；‎ ‎⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数.‎ 其中真命题的序号是　　　　.‎ 解析：①y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，故最小正周期为π，①正确；‎ ‎②k＝0时，α＝0，则角α终边在x轴上，故②错；‎ ‎③由y＝sinx在(0,0)处切线为y＝x，所以y＝sinx与y＝x的图象只有一个交点，故③错；‎ ‎④y＝3sin(2x＋)的图象向右平移个单位得到 y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin2x，故④正确；‎ ‎⑤y＝sin(x－)＝－cosx在[0，π]上为增函数，故⑤错.‎ 综上，①④为真命题.‎ 答案：①④‎ 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分12分)已知＝(cos＋sin，－sin)，＝(cos－sin，2cos).‎ ‎ (1)设f(x)＝ ·，求f(x)的最小正周期和单调递减区间；‎ ‎(2)设有不相等的两个实数x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)＝1，求x1＋x2的值. ‎ 解：(1)由f(x)＝·得 f(x)＝(cos＋sin)·(cos－sin)＋(－sin)·2cos ‎＝cos2－sin2－2sincos ‎＝cosx－sinx ‎＝cos(x＋)，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝2π.‎ 又由2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z，‎ 得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.‎ 故f(x)的单调递减区间是[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z).‎ ‎(2)由f(x)＝1得cos(x＋)＝1，故cos(x＋)＝.‎ 又x∈，于是有x＋∈，得x1＝0，x2＝－，‎ 所以x1＋x2＝－.‎ ‎18.(本小题满分12分)在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，tanA＝，cosB＝.‎ ‎(1)求角C；‎ ‎(2)若△ABC的最短边长是，求最长边的长.‎ 解：(1)∵tanA＝，‎ ‎∴A为锐角，则cosA＝，sinA＝.‎ 又cosB＝，∴B为锐角，则sinB＝，‎ ‎∴cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB ‎＝－×＋×＝－.‎ 又C∈(0，π)，∴C＝π.‎ ‎(2)∵sinA＝＞sinB＝，‎ ‎∴A＞B，即a＞b，‎ ‎∴b最小，c最大，‎ 由正弦定理得＝，‎ 得c＝·b＝·＝5.‎ ‎19.(本小题满分12分)在△ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA＝，sinB＝.‎ ‎(1)求A＋B的值；‎ ‎(2)若a－b＝－1，求a、b、c的值.‎ 解：(1)∵A、B为锐角，sinA＝，sinB＝，‎ ‎∴cosA＝＝，‎ cosB＝＝，‎ ‎∴cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB ‎＝×－×＝.‎ ‎∵0