高考数学专题复习练习：考点规范练27 4页

考点规范练27　数系的扩充与复数的引入 ‎　考点规范练A册第19页　 ‎ 基础巩固 ‎1.(2016四川,文1)设i为虚数单位,则复数(1+i)2=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.0 B.2 C.2i D.2+2i 答案C 解析由题意,(1+i)2=1+2i+i2=2i,故选C.‎ ‎2.已知复数z=2-i,则z·z的值为(　　)‎ A.5 B.‎5‎ C.3 D.‎‎3‎ 答案A 解析z·z=(2-i)·(2+i)=22-i2=4-(-1)=5,故选A.‎ ‎3.若复数z满足2z+z=3-2i,其中i为虚数单位,则z=(　　)‎ A.1+2i B.1-2i ‎ C.-1+2i D.-1-2i 答案B 解析设z=a+bi(a,b∈R),则2z+z=3a+bi=3-2i,故a=1,b=-2,则z=1-2i,选B.‎ ‎4.若复数z=1+i,z为z的共轭复数,则下列结论正确的是(　　)‎ A.z=-1-i B.z=-1+i C.|z|=2 D.|z|=‎‎2‎ 答案D 解析z=1-i,|z|=‎1+1‎‎=‎‎2‎,选D.‎ ‎5.已知复数z满足‎1-2iz=i,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案B 解析∵‎1-2iz=i,∴z=‎1-2ii‎=‎‎1‎i-2=‎-i‎-i·i-2=-2-i,‎ ‎∴复数z的共轭复数-2+i在复平面内对应的点(-2,1)在第二象限.‎ ‎6.(2016河南开封四模)已知复数z满足iz=i+z,则z=(　　)‎ A.-‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎i B.-‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎i C.‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎i D.‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎i 答案C 解析∵iz=i+z,∴(1-i)z=-i,‎ 即z=‎-i‎1-i‎=‎-i(1+i)‎‎(1-i)(1+i)‎=‎1-i‎2‎=‎1‎‎2‎-‎‎1‎‎2‎i.故选C.‎ ‎7.(2016河南焦作二模)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于实轴对称,z1=1+i,则z1z2=(　　)‎ A.2 B.-2 C.1+i D.1-i 答案A 解析由题意可知z2=1-i,‎ 故z1z2=(1+i)·(1-i)=2.故选A.‎ ‎8.设z=1+i,则‎2‎z+z2等于(　　)‎ A.1+i B.-1+i ‎ C.-i D.-1-i 答案A 解析‎2‎z+z2=‎2‎‎1+i+(1+i)2=‎2(1-i)‎‎(1+i)(1-i)‎+2i=‎2(1-i)‎‎2‎+2i=1-i+2i=1+i.‎ ‎9.(2016河南信阳、三门峡一模)已知复数z1=2+2i,z2=1-3i(i为虚数单位),则复数z‎1‎‎2‎z‎2‎所对应的点在复平面内的(　　)‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案B 解析∵z1=2+2i,z2=1-3i,‎ ‎∴‎z‎1‎‎2‎z‎2‎‎=‎(2+2i‎)‎‎2‎‎1-3i=‎8i‎1-3i=‎‎8i(1+3i)‎‎(1-3i)(1+3i)‎ ‎=‎-24+8i‎10‎=-‎12‎‎5‎‎+‎‎4‎‎5‎i.‎ ‎∴复数z‎1‎‎2‎z‎2‎在复平面内所对应的点的坐标为‎-‎12‎‎5‎,‎‎4‎‎5‎,位于第二象限.故选B.‎ ‎10.若复数(a+i)2在复平面内对应的点在y轴负半轴上,则实数a的值是　　　　　. ‎ 答案-1‎ 解析(a+i)2=a2-1+2ai,‎ 由题意知a2-1=0,且2a<0,即a=-1.‎ ‎11.已知i是虚数单位,则‎1-i‎(1+i‎)‎‎2‎=　　　　　　　　　. ‎ 答案-‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎i 解析‎1-i‎(1+i‎)‎‎2‎‎=‎1-i‎2i=‎(1-i)·i‎2i·i=‎‎1+i‎-2‎=-‎1‎‎2‎‎-‎‎1‎‎2‎i.‎ ‎12.设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则|(1-z)·z|=　　　　　. ‎ 答案‎10‎ 解析依题意得(1-z)·z=(2+i)(-1+i)=-3+i,则|(1-z)·z|=|-3+i|=‎(-3‎)‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎‎=‎‎10‎.‎ 能力提升 ‎13.(2016全国丙卷,文2)若z=4+3i,则z‎|z|‎=(　　)‎ A.1 B.-1 ‎ C.‎4‎‎5‎‎+‎‎3‎‎5‎i D.‎4‎‎5‎‎-‎‎3‎‎5‎i 答案D 解析因为z=4+3i,所以它的模为|z|=|4+3i|=‎4‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎=5,共轭复数为z=4-3i.故z‎|z|‎‎=‎4‎‎5‎-‎‎3‎‎5‎i,选D.‎ ‎14.(2016河南许昌、新乡、平顶山三模)设复数z1=-1+3i,z2=1+i,则z‎1‎‎+‎z‎2‎z‎1‎‎-‎z‎2‎=(　　)‎ A.-1-i B.1+i ‎ C.1-i D.-1+i 答案C 解析∵z1=-1+3i,z2=1+i,‎ ‎∴‎z‎1‎‎+‎z‎2‎z‎1‎‎-‎z‎2‎‎=‎-1+3i+1+i‎-1+3i-1-i=‎4i‎-2+2i=‎‎2i‎-1+i ‎=‎2i(-1-i)‎‎(-1+i)(-1-i)‎‎=‎‎2i(-1-i)‎‎2‎=1-i.故选C.‎ ‎15.已知复数z=‎3‎‎+i‎(1-‎3‎i‎)‎‎2‎‎,‎z是z的共轭复数,则z·z=　　　　　　　　. ‎ 答案‎1‎‎4‎ 解析∵z=‎‎3‎‎+i‎(1-‎3‎i‎)‎‎2‎‎=‎3‎‎+i‎-2-2‎3‎i=‎‎3‎‎+i‎-2(1+‎3‎i)‎ ‎=‎(‎3‎+i)(1-‎3‎i)‎‎-2(1+‎3‎i)(1-‎3‎i)‎‎=‎‎2‎3‎-2i‎-8‎=-‎3‎‎4‎‎+‎‎1‎‎4‎i,‎ 故z=-‎3‎‎4‎‎-‎‎1‎‎4‎i,‎ ‎∴z·z‎=‎-‎3‎‎4‎+‎1‎‎4‎i‎-‎3‎‎4‎-‎1‎‎4‎i=‎3‎‎16‎+‎1‎‎16‎=‎‎1‎‎4‎.‎ ‎16.复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cos θ+(λ+3sin θ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是　　　　　　　　　. ‎ 答案‎-‎9‎‎16‎,7‎ 解析由复数相等的充要条件可得m=2cosθ,‎‎4-m‎2‎=λ+3sinθ,‎化简得4-4cos2θ=λ+3sin θ,由此可得λ=-4cos2θ-3sin θ+4=-4(1-sin2θ)-3sin θ+4=4sin2θ-3sin θ=4sinθ-‎‎3‎‎8‎‎2‎‎-‎‎9‎‎16‎,‎ 因为sin θ∈[-1,1],‎ 所以4sin2θ-3sin θ∈‎-‎9‎‎16‎,7‎.‎ ‎17.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若OC=λOA+μOB(λ,μ∈R),则λ+μ的值是　　　　　.〚导学号74920261〛 ‎ 答案1‎ 解析由条件得OC=(3,-4),OA=(-1,2),OB=(1,-1),‎ 根据OC=λOA+μOB得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),‎ ‎∴‎-λ+μ=3,‎‎2λ-μ=-4,‎解得λ=-1,‎μ=2.‎∴λ+μ=1.‎ 高考预测 ‎18.若z是z的共轭复数,且满足z(1-i)2=4+2i,则z=(　　)‎ A.-1+2i B.-1-2i ‎ C.1+2i D.1-2i 答案B 解析∵z(1-i)2=4+2i,∴z(-2i)=4+2i.‎ ‎∴z=(2+i)i=-1+2i.∴z=-1-2i.故选B.‎