高考数学专题复习练习：9-8 专项基础训练 8页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．(2017·呼和浩特调研)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)‎ A．圆　　　　　　　　　　　　B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 ‎【解析】 设椭圆的右焦点是F2，由椭圆定义可得|MF1|＋|MF2|＝2a＞2c，所以|PF1|＋|PO|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a＞c，所以点P的轨迹是以F1和O为焦点的椭圆．‎ ‎【答案】 B ‎2．有一动圆P恒过定点F(a，0)(a＞0)且与y轴相交于点A、B，若△ABP为正三角形，则点P的轨迹为(　　)‎ A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线 ‎【解析】 设P(x，y)，动圆P的半径为R，‎ 由于△ABP为正三角形，‎ ‎∴P到y轴的距离d＝R，即|x|＝R.‎ 而R＝|PF|＝，‎ ‎∴|x|＝·.‎ 整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2，‎ 即－＝1.‎ ‎∴点P的轨迹为双曲线．‎ ‎【答案】 D ‎3．(2017·辽宁葫芦岛调研)在△ABC中，已知A(2，0)，B(－2，0)，G，M为平面上的两点且满足＋＋＝0，||＝||＝||，∥，则顶点C的轨迹为(　　)‎ A．焦点在x轴上的椭圆(长轴端点除外)‎ B．焦点在y轴上的椭圆(短轴端点除外)‎ C．焦点在x轴上的双曲线(实轴端点除外)‎ D．焦点在x轴上的抛物线(顶点除外)‎ ‎【解析】 设C(x，y)(y≠0)，则由＋＋＝0，‎ 即G为△ABC的重心，得G.‎ 又||＝||＝||，‎ 即M为△ABC的外心，‎ 所以点M在y轴上，‎ 又∥，则有M.‎ 所以x2＋＝4＋，‎ 化简得＋＝1，y≠0.‎ 所以顶点C的轨迹为焦点在y轴上的椭圆(除去短轴端点)．‎ ‎【答案】 B ‎4．(2017·湖南东部六校2月联考)已知两定点A(0，－2)，B(0，2)，点P在椭圆＋＝1上，且满足||－||＝2，则·为(　　)‎ A．－12 B．12‎ C．－9 D．9‎ ‎【解析】 由||－||＝2，可得点P(x，y)的轨迹是以两定点A、B为焦点的双曲线的上支，且2a＝2，c＝2，‎ ‎∴b＝.∴点P的轨迹方程为y2－＝1(y≥1)．‎ 由解得 所以·＝(x，y＋2)·(x，y－2)‎ ‎＝x2＋y2－4＝9＋4－4＝9，故选D.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2017·天津津南区一模)平面直角坐标系中，已知两点A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 ‎【解析】 设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3，1)，＝(－1，3)，‎ ‎∵＝λ1＋λ2，∴ 又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．‎ ‎【答案】 A ‎6．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．‎ ‎【解析】 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，‎ 得＝2 ，‎ ‎∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.‎ ‎∴P的轨迹为以(2，0)为圆心，半径为2的圆．‎ 即轨迹所包围的图形的面积等于4π.‎ ‎【答案】 4π ‎7．(2017·聊城一模)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A(1，0)，B(2，2)，若点C满足＝＋t(－)，其中t∈R，则点C的轨迹方程是________．‎ ‎【解析】 设C(x，y)，则＝(x，y)，＋t(－)＝(1＋t，2t)，所以消去参数t得点C的轨迹方程为y＝2x－2.‎ ‎【答案】 y＝2x－2‎ ‎8．(2017·南京模拟)如图，P是椭圆＋＝1上的任意一点，F1，F2是它的两个焦点，O为坐标原点，且＝＋，则动点Q的轨迹方程是________．‎ ‎【解析】 由于＝＋，‎ 又＋＝＝2＝－2，‎ 设Q(x，y)，‎ 则＝－＝，‎ 即P点坐标为，又P在椭圆上，‎ 则有＋＝1，即＋＝1.‎ ‎【答案】 ＋＝1‎ ‎9．(2017·临汾调研)在△ABC中，||＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且||－||＝2，求顶点A的轨迹方程．‎ ‎【解析】 以BC的中点为原点，中垂线为y轴，建立如图所示的坐标系，E、F分别为两个切点．‎ 则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，‎ ‎|AE|＝|AF|，∴|AB|－|AC|＝2＜4＝|BC|，‎ ‎∴点A的轨迹为以B，C的焦点的双曲线的右支(y≠0)且a＝，c＝2，∴b＝，‎ ‎∴轨迹方程为－＝1(x＞)．‎ ‎10．(2016·安徽淮南二模)已知点A(－2，0)，P是⊙O：x2＋y2＝4上任意一点，P在x轴上的射影为Q，＝2，动点G的轨迹为C，直线y＝kx(k≠0)与轨迹C交于E、F两点，直线AE、AF分别与y轴交于点M、N.‎ ‎(1)求轨迹C的方程；‎ ‎(2)以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．‎ ‎【解析】 (1)设G(x，y)，∴Q(x，0)，‎ ‎∵＝2，∴P(x，2y)，‎ ‎∵P在⊙O：x2＋y2＝4上，∴x2＋4y2＝4.‎ ‎∴轨迹C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)经过定点．‎ 设点E(x0，y0)(不妨设x0＞0)，‎ 则点F(－x0，－y0)．‎ 由消去y得x2＝.‎ 所以x0＝，则y0＝.‎ 所以直线AE的方程为y＝(x＋2)．‎ 则M.‎ 同理可得点N.‎ 所以|MN|＝＝.‎ 设MN的中点为P，则点P的坐标为.‎ 则以MN为直径的圆的方程为x2＋＝，‎ 即x2＋y2＋y＝1.‎ 令y＝0，得x2＝1，即x＝1或x＝－1.‎ 故以MN为直径的圆经过两定点(1，0)，(－1，0)．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：30分钟)‎ ‎11．(2017·合肥模拟)动点P在直线x＝1上运动，O为坐标原点，以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰直角三角形OPQ，则动点Q的轨迹是(　　)‎ A．圆 B．两条平行直线 C．抛物线 D．双曲线 ‎【解析】 设Q(x，y)，P(1，y0)，‎ 由题意知|OP|＝|OQ|，‎ 且·＝0，‎ 将y0＝－代入①得 x2＋y2＝1＋，‎ 化简即y2＝1，∴y＝±1，表示两条平行直线，故选B.‎ ‎【答案】 B ‎12．在平面直角坐标系中，方程＋＝1(a，b是不相等的两个正数)所代表的曲线是(　　)‎ A．三角形 B．正方形 C．非正方形的长方形 D．非正方形的菱形 ‎【解析】 x＋y≥0，x－y≥0时，‎ x＋y＝1；‎ x＋y≤0，x－y≤0时，x＋y＝－1；‎ x＋y≥0，x－y≤0时，y＋x＝1；‎ x＋y≤0，x－y≥0时，y＋x＝－1.‎ ‎∵a，b是不相等的两个正数．‎ ‎∴方程＋＝1所代表的曲线是非正方形的菱形．‎ ‎【答案】 D ‎13．(2015·浙江)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是(　　)‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎【解析】 本题可构造如图圆锥．母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆．故选C.‎ ‎【答案】 C ‎14．(2017·河北石家庄一模)在平面直角坐标系xOy中，一动圆经过点且与直线x＝－相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线E.‎ ‎(1)求曲线E的方程；‎ ‎(2)设P是曲线E上的动点，点B、C在y轴上，△PBC的内切圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，求△PBC面积的最小值．‎ ‎【解析】 (1)由题意可知圆心到的距离等于到直线x＝－的距离，由抛物线的定义可知，曲线E的方程为y2＝2x.‎ ‎(2)设P(x0，y0)(x0＞0)，B(0，b)，C(0，c)，则直线PB的方程为(y0－b)x－x0y＋x0b＝0，‎ 又圆心(1，0)到直线PB的距离为1，‎ 所以＝1，整理得(x0－2)b2＋2y0b－x0＝0，‎ 同理可得(x0－2)c2＋2y0c－x0＝0，‎ 所以b，c是方程(x0－2)x2＋2y0x－x0＝0的两根，‎ 所以b＋c＝，bc＝，‎ 依题意知bc＜0，∴x0＞2，‎ 则(b－c)2＝(b＋c)2－4bc＝，‎ 因为y＝2x0，所以|b－c|＝，‎ 所以S△PBC＝|b－c|x0＝(x0－2)＋＋4≥8，‎ 当且仅当x0＝4时上式取等号，‎ 所以△PBC面积的最小值为8.‎ ‎15．(2016·课标全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．‎ ‎(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；‎ ‎(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．‎ ‎【解析】 由题设知F.‎ 设l1：y＝a，l2：y＝b，则ab≠0，‎ 且A，B，P，Q，R.‎ 记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x－(a＋b)y＋ab＝0.‎ ‎(1)由于F在线段AB上，故1＋ab＝0.‎ 记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则 k1＝＝＝＝＝－b＝k2.‎ 所以AR∥FQ.‎ ‎(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则 S△ABF＝|b－a||FD|＝|b－a|，‎ S△PQF＝.‎ 由题设可得2×|b－a|＝，‎ 所以x1＝0(舍去)，或x1＝1.‎ 设满足条件的AB的中点为E(x，y)．‎ 当AB与x轴不垂直时，‎ 由kAB＝kDE可得＝(x≠1)．‎ 而＝y，所以y2＝x－1(x≠1)．‎ 当AB与x轴垂直时，E与D重合．所以，所求轨迹方程为y2＝x－1.‎