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- 2021-06-24 发布
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A组 专项基础训练
(时间:40分钟)
1.(2017·包头一中模拟)抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6},令事件A={2,3,5},B={1,2,4,5,6},则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
【解析】 在事件B发生的条件下研究事件A,总共有5种结果,而事件AB只含有其中的2种,所以P(A|B)==.
【答案】 A
2.(2017·福州模拟)甲射击命中目标的概率是,乙命中目标的概率是,丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 设“甲命中目标”为事件A,“乙命中目标”为事件B,“丙命中目标”为事件C,则击中目标表示事件A,B,C中至少有一个发生.又P(A B C)=P(A)P(B)P(C)=[1-P(A)]·[1-P(B)]·[1-P(C)]=××=.
故目标被击中的概率P=1-P( )=.
【答案】 A
3.(2017·南开调研)一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了X次球,则P(X=12)等于( )
A.C B.C
C.C D.C
【解析】 由题意知第12次取到红球,前11次中恰有9次红球2次白球,由于每次取到红球的概率为,
所以P(X=12)=C××.
【答案】 D
4.设随机变量X服从二项分布X~B,则函数f(x)=x2+4x+X存在零点的概率是( )
A. B.
C. D.
【解析】 ∵函数f(x)=x2+4x+X存在零点,
∴Δ=16-4X≥0,∴X≤4.∵X服从X~B,
∴P(X≤4)=1-P(X=5)=1-=.
【答案】 C
5.(2017·江西鹰潭一中模拟)端午节放假,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动相互之间没有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,所以P(A)=,P(B)=,P(C)=.由题知A,B,C为相互独立事件,所以三人都不回老家过节的概率P( )=P(A)P(B)P(C)=××=,所以至少有一人回老家过节的概率P=1-=.
【答案】 B
6.(2015·全国卷Ⅰ)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
A.0.648 B.0.432
C.0.36 D.0.312
【解析】 3次投篮投中2次的概率为P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率为P
(k=3)=0.63,所以通过测试的概率为P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故选A.
【答案】 A
7.(2016·四川卷)同时抛掷两枚质地均匀的硬币,当至少有一枚硬币正面向上时,就说这次试验成功,则在2次试验中成功次数X的均值是________.
【解析】 由独立重复试验可得1次试验中,至少有一枚硬币正面向上的概率为,∴在2次独立重复试验中成功次数X为0,1,2.
∴P(X=0)=C×=,
P(X=1)=C××=,
P(X=2)=C××=,
∴E(X)=0×+1×+2×=.
【快解】 ∵X~B,∴E(X)=2×=.
【答案】
8.一个病人服用某种新药后被治愈的概率为0.9,服用这种新药的有甲、乙、丙3位病人,且各人之间互不影响,有下列结论:
①3位病人都被治愈的概率为0.93;
②3人中的甲被治愈的概率为0.9;
③3人中恰有2人被治愈的概率是2×0.92×0.1;
④3人中恰好有2人未被治愈的概率是3×0.9×0.12;
⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.92×0.1.
其中正确结论的序号是________.(把正确的序号都填上)
【解析】 ③3人中恰有2人被治愈的概率是C×0.92×0.1=3×0.92×0.1,故③错误;⑤3人中恰好有2人被治愈,且甲被治愈的概率是0.9×0.1×0.9×2,故⑤错误,故填①②④.
【答案】 ①②④
9.(2017·成都二模)某人向一目标射击4次,每次击中目标的概率为,该目标分为3个不同的部分,第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6,击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比.
(1)设X表示目标被击中的次数,求X的分布列;
(2)若目标被击中2次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求P(A).
【解析】 (1)依题意知X~B,
P(X=0)=C=,
P(X=1)=C=,
P(X=2)=C=,
P(X=3)=C=,
P(X=4)=C=.
∴X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)设Ai表示事件“第一次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.
Bi表示事件“第二次击中目标时,击中第i部分”,i=1,2.
依题意知P(A1)=P(B1)=0.1,
P(A2)=P(B2)=0.3,
A=A1B1∪A1B1∪A1B1∪A2B2,
所求的概率为
P(A)=P(A1B1)+P(A1B1)+P(A1B1)+P(A2B2)
=P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A1)P(B1)+P(A2)P(B2)
=0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28.
10.挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”,要想通过需要过五关:目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审.若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关,根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75,能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4,由于他们平时表现较好,都能通过政审关,若后三关之间通过与否没有影响.
(1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率;
(2)设只要通过后三关就可以被录取,求录取人数ξ的分布列.
【解析】 (1)设A,B,C分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”,则所求概率P=P(A )+P(A BC)+P( C)=0.5×(1-0.6)×(1-0.75)+(1-0.5)×0.6×(1-0.75)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.75=0.275.
(2)甲被录取的概率为P甲=0.5×0.6=0.3,同理P乙=0.6×0.5=0.3,P丙=0.75×0.4=0.3.
∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3,故可看成是独立重复试验,即ξ~B(3,0.3),
ξ的可能取值为0,1,2,3,其中P(ξ=k)=C(0.3)k·(1-0.3)3-k.故P(ξ=0)=C×0.30×(1-0.3)3=0.343,
P(ξ=1)=C×0.3×(1-0.3)2=0.441,
P(ξ=2)=C×0.32×(1-0.3)=0.189,
P(ξ=3)=C×0.33=0.027,
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
0.343
0.441
0.189
0.027
B组 专项能力提升
(时间:30分钟)
11.(2017·陕西模拟)周老师上数学课时,给班里同学出了两道选择题,她预估做对第一道题的概率为0.80,做对两道题的概率为0.60,则预估做对第二道题的概率是( )
A.0.80 B.0.75
C.0.60 D.0.48
【解析】 设“做对第一道题”为事件A,“做对第二道题”为事件B,则P(AB)=P(A)·P(B)=0.8·P(B)=0.6,
故P(B)=0.75.
【答案】 B
12.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{an},an=,如果Sn为数列{an}的前n项和,那么S7=3的概率为( )
A.C×× B.C××
C.C×× D.C××
【解析】 由S7=3知,在前7次摸球中有2次摸取红球,5次摸取白球,而每次摸取红球的概率为,摸取白球的概率为,则S7=3的概率为C××,故选B.
【答案】 B
13.(2016·重庆一中3月月考)一个盒子里有6支好晶体管,4支坏晶体管,任取两次,每次取一支,每次取后不放回,已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为( )
A. B.
C. D.
【解析】 方法一 由题意,知取出一支好晶体管后,盒子里还有5只好晶体管,4支坏晶体管,所以若已知第一支是好晶体管,则第二支也是好晶体管的概率为.故选D.
方法二 第一支是好晶体管记为事件A,第二支是好晶体管记为事件B,则第一、二支均是好晶体管可记为事件AB.P(A)==,P(AB)==,P(B|A)===.
【答案】 D
14.现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
(3)用X,Y分别表示这4个人中去参加甲,乙游戏的人数,记ξ=|X-Y|,求随机变量ξ的分布列.
【解析】 依题意知,这4个人中,每个人去参加甲游戏的概率为,去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有k人去参加甲游戏”为事件Ak(k=0,1,2,3,4).
则P(Ak)=C.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为
P(A2)=C=.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B,则B=A3∪A4.由于A3与A4互斥,故
P(B)=P(A3)+P(A4)=C×+C=.
所以,这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
(3)ξ的所有可能取值为0,2,4.
由于A1与A3互斥,A0与A4互斥,故
P(ξ=0)=P(A2)=,
P(ξ=2)=P(A1)+P(A3)=,
P(ξ=4)=P(A0)+P(A4)=.
所以ξ的分布列是
ξ
0
2
4
P
15.(2017·山东聊城二模)甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位,3人能被选中的概率分别为,,,且各自能否被选中互不影响.
(1)求3人同时被选中的概率;
(2)3人中有几人被选中的情况最容易出现?
【解析】 记甲、乙、丙能被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)3人同时被选中的概率为
P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)3人中有2人被选中的概率为
P2=P(ABC∪ABC∪ABC)
=××+××+××=.
3人中只有1人被选中的概率为
P3=P(A ∪ABC∪ C)
=××+××+××=.
3人均未被选中的概率为
P4=P( )=××=.
因为P3>P2>P1=P4,所以P3最大.
综上可知,3人中只有1人被选中的情况最容易出现.
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