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- 2021-06-24 发布
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1.(2013·长春调研)一个简单几何体的正(主)视图、俯视图如图所示,则其侧(左)视图不可能是( )
A.正方形 B.圆
C.等腰三角形 D.直角梯形
解析:选D 当几何体是一个长方体,其中一个侧面为正方形时,A可能;当几何体是一个横放的圆柱时,B可能;当几何体是横放的三棱柱时,C可能;只有D不可能.
2.(2013·陕西检测)如图是由若干个相同的小立方体组成的几何体的俯视图,其中小立方体中的数学表示相应位置的小立方体的个数,则该几何体的侧(左)视图为( )
解析:选C 由俯视图知侧(左)视图从左到右能看到的小立方体的个数分别为2,3,1.
3.(2013·湖南高考)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正(主)视图的面积不可能等于( )
A.1 B.
C. D.
解析:选C 由题可知正方体的底面与水平面平行,先把正方体正放,然后将正方体按某一侧棱逆时针旋转,易知当正方体正放时,其正(主)视图的面积最小,为1×1=1;当正方体逆时针旋转45°时,其正(主)视图的面积最大,为1×=.而<1,所以正方体的正(主)视图的面积不可能等于.
4.(2013·洛阳模拟)如图是某几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.64+32π B.64+64π
C.256+64π D.256+128π
解析:选C 依题意,该几何体是一个正四棱柱及一个圆柱的组合体,其中正四棱柱的底面边长是8,侧棱长是4,圆柱的底面半径是4,高是4,因此所求几何体的体积等于π×42×4+82×4=256+64π.
5.(2013·东城检测)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( )
A.75+2 B.75+4
C.48+4 D.48+2
解析:选B 由三视图可知该几何体是一个四棱柱.两个底面的面积之和为2××3=27,四个侧面的面积之和为(3+4+5+)×4=48+4,故表面积为75+4.
6.(2013·广东高考)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n
B.若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥n
C.若m⊥n,m⊂α,n⊂β,则α⊥β
D.若m⊥α,m∥n,n∥β,则α⊥β
解析:选D A中m,n可能为平行、垂直、异面直线;B中m,n可能为异面直线;C中m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立.
7.(2013·山东高考)
一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示,则该四棱锥侧面积和体积分别是 ( )
A.4,8 B.4,
C.4(+1), D.8,8
解析:选B 由题意可知该四棱锥为正四棱锥,底面边长为2,高为2,侧面上的斜高为=,所以S侧=4×=4,V=×22×2=.
8.(2013·江西高考)一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A.200+9π B.200+18π
C.140+9π D.140+18π
解析:选A 这个几何体由上、下两部分组成,下半部分是一个长方体,其中长、宽、高分别为6+2+2=10,1+2+1=4,5;上半部分是一个横放的半圆柱,其中底面半径为=3,母线长为2,故V=10×4×5+π×32×2=200+9π.
9.(2013·辽宁五校联考)已知三边长分别为3,4,5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆,P为球面上一点,若点P到△ABC的三个顶点的距离相等,则三棱锥PABC的体积为( )
A.5 B.10
C.20 D.30
解析:选A 取点P在平面ABC上的射影O,则OP=OA=OB=OC=R,又因为S△ABC=|AB|·|AC|·sin C,由正弦定理可得sin C=,故|AB|·|AC|·sin C==6,解得R=,故VPABC=S△ABC·R=5.
10.已知α,β,γ是三个不重合的平面,a,b是两条不重合的直线,有下列三个条件:①a∥γ,b⊂β;②a∥γ,b∥β;③b∥β,a⊂γ.如果命题“α∩β=a,b⊂γ,且________,则a∥b”为真命题,则可以在横线处填入的条件是( )
A.①或② B.②或③
C.①或③ D.只有②
解析:选C 由定理“一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行”可得,横线处可填入条件①或③.
二、填空题
11.(2013·湖北高考)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是________寸.(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸)
解析:圆台中截面圆的半径为十寸,圆台内水的体积为V=πh(r+r+r中r下)=×9×(102+62+10×6)=588π,降雨量为==3.
答案:3
12.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:根据三视图可知该几何体为一个四棱锥和一个三棱锥的组合体,如图所示,且EA⊥平面ABCD,FD⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,则有FD=4,AE=2,AD=DC=4,FD∥EA,所以F和D到平面AEB的距离相等,且为4,故VFBAE=×S△BAE×AD=××4×2×4=,VFABCD=×S四边形ABCD×FD=×4×4×4=,则该几何体的体积为+=.
答案:
13.(2013·长春三校调研)在三棱柱ABCA′B′C′中,已知AA′⊥平面ABC,AA′=2,BC=2,∠BAC=,且此三棱柱的各个顶点都在一个球面上,则球的体积为________.
解析:依题意可知,球心到平面ABC的距离为AA′=1,平面ABC所在圆的半径为BC=,则球的半径为=2,则球的体积为×π×23=.
答案:
14.(2013·新课标全国卷Ⅱ)已知正四棱锥OABCD的体积为,底面边长为,则以O为球心,OA为半径的球的表面积为________.
解析:过O作底面ABCD的垂线段OE,则E为正方形ABCD的中心.由题意可知×()2×OE=,所以OE=,故球的半径R=OA==,则球的表面积S=4πR2=24π.
答案:24π
15.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为________.
解析:结合三视图可知,该几何体为底面边长为2,高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分,其直观图如图所示,故该几何体的体积为×2×2sin 60°×2-××2×2sin 60°×1=.
答案:
16.已知三棱锥PABC的各顶点均在一个半径为R的球面上,球心O在AB上,PO⊥平面ABC,=,则三棱锥与球的体积之比为________.
解析:如图,依题意,AB=2R,又=,∠ACB=90°,因此AC=R,BC=R,VPABC=PO·S△ABC=×R×=R3,而V球=R3,因此VPABC∶V球=R3∶R3=∶8π.
答案:∶8π
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