高考理科数学复习练习作业76 7页

题组层级快练(七十六)‎ ‎1．若A2n3＝10An3，则n＝(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　 B．8‎ C．9 D．10‎ 答案　B 解析　原式等价于2n(2n－1)(2n－2)＝10n(n－1)(n－2)，整理得n＝8.‎ ‎2．(2017·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则有多少种坐法(　　)‎ A．10 B．16‎ C．20 D．24‎ 答案　C 解析　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A52＝20种坐法．‎ ‎3．平面内有n条直线任意两条都相交，任意三条都不交于一点，则这n条直线的交点的个数为(　　)‎ A．n(n－1) B．(n－1)(n－2)‎ C. D. 答案　C 解析　这n条直线交点的个数为Cn2＝.‎ ‎4．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为(　　)‎ A．324 B．328‎ C．360 D．648‎ 答案　B 解析　首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有A92＝9×8＝72个，当0不排在末位时，有A41A81A81＝4×8×8＝256个，于是由分类加法计算原理，得符合题意的偶数共有72＋256＝328个．‎ ‎5．(2017·广东汕头模拟)某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(　　)‎ A．4种 B．10种 C．18种 D．20种 答案　B 解析　分两类：第一类是取出1本画册，3本集邮册，此时赠送方法有C41‎ ‎＝4种；第二类是取出2本画册，2本集邮册，此时赠送方法有C42＝6种，故赠送方法共有4＋6＝10种．‎ ‎6．(2017·山东师大附中模拟)从5名男医生，4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求其中男、女医生都有，则不同的组队方案共有(　　)‎ A．70种 B．80种 C．100种 D．140种 答案　A 解析　从9名医生中任选3名有C93＝84种，都是男医生和都是女医生的有C53＋C43＝14种，男、女医生都有的选法为84－14＝70种．‎ ‎7．5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有(　　)‎ A．A55·A42种 B．A55·A52种 C．A55·A62种 D．A77－2A66种 答案　A 解析　先排大人，有A55种排法，再排小孩，有A42种排法(插空法)．故有A42·A55种不同的排法．‎ ‎8．有10个红球，10个黄球，从中取出4个，要求必须包括两种不同颜色的球的抽法有(　　)种 A．2C102 B．C102·C102‎ C．C101C203＋C102C102 D．2C101C103＋C102C102‎ 答案　D ‎9．若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是(　　)‎ A．20种 B．19种 C．10种 D．9种 答案　B 解析　“error”由5个字母组成，其中3个相同，这相当于5个人站队，只要给e、o选定位置，其余三个相同的字母r，位置固定，即所有拼写方式为A52，error拼写错误的种数为A52－1＝19.‎ ‎10．有5列火车分别准备停在某车站并行的5条轨道上，若快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法数为(　　)‎ A．56 B．63‎ C．72 D．78‎ 答案　D 解析　若没有限制，5列火车可以随便停，则有A55种不同的停靠方法；快车 A停在第3道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A44种；快车A停在第3道上，且货车B停在第1道上，则5列火车不同的停靠方法为A33种．故符合要求的5列火车不同的停靠方法数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.‎ ‎11．安排7位工作人员在‎10月1日到‎10月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在‎10月1日和‎10月2日的不同的安排方法共有________种．‎ 答案　2 400‎ 解析　共有A52A55＝2 400种不同的安排方法．‎ ‎12．(2017·沧州七校联考)由0，1，2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，个位数字与百位数字之差的绝对值等于8的个数为________个．‎ 答案　210‎ 解析　若个位数和百位数是0，8，则方法数是A22A82＝112；若个位数和百位数是1，9，则由于首位不能排0，则方法数是A22C71C71＝98，故总数是112＋98＝210.‎ ‎13．某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有________种；若进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过2个展台，则不同的展出方法有________种．‎ 答案　60，48‎ 解析　依题意得，某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有A53＝60种(注：从六个空展台所形成的五个间隔中任选三个间隔将3件展品进行排列即可)；其中3件展品所选用的展台之间间隔超过两个展位的展出方法有2A33＝12种，因此要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位的不同的展出方法有60－12＝48种．‎ ‎14．一份试卷有10道考题，分为A，B两组，每组5题，要求考生选答6题，但每组最多选4题，则每位考生有________种选答方案．‎ 答案　200‎ 解析　分三类：A组4题B组2题，A组3题B组3题，A组2题B组4题．共有C54C52＋C53C53＋C52C54＝50＋100＋50＝200种．‎ ‎15．(2017·四川成都二诊)各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的7个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生不同的填报专业志愿的方法有________种．‎ 答案　180‎ 解析　从7个专业选3个，有C73＝35种选法，甲、乙同时兼报的有C22·C51＝5种选法，则专业共有35－5＝30种选法，则按照专业顺序进行报考的方法种数为A33×30＝180.‎ ‎16．用0，1，2，…，9十个数字组成五位数，‎ 其中3个奇数与2个偶数且数字不重复的五位数有________个．‎ 答案　11 040‎ 解析　一类：含有数字0：C53C41C41A44＝3 840.‎ 二类：没有数字0：C53C42A55＝7 200.‎ 由分类加法计数原理得：共有11 040.‎ ‎17．甲、乙两人从4门课程中各选2门，求 ‎(1)甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？‎ ‎(2)甲、乙所选的课程中至少有一门不同的选法有多少种？‎ 答案　(1)24　(2)30‎ 解析　(1)甲、乙两人从4门课程中各选2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有C42C21C21＝24种．‎ ‎(2)甲、乙两人从4门课程中各选两门不同的选法种数为C42C42，又甲乙两人所选的两门课程都相同的选法种数为C42种，因此满足条件的不同选法种数为C42C42－C42＝30种．‎ ‎18．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：‎ ‎(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？‎ ‎(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？‎ 答案　(1)100 800个　(2)14 400个　(3)5 760个 解析　(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C43种情况；‎ 第二步，在5个奇数中取4个，有C54种情况；‎ 第三步，3个偶数和4个奇数进行排列，有A77种情况．所以符合题意的七位数有C43C54A77＝100 800个．‎ ‎(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C43C54A55A33＝14 400个．‎ ‎(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C43C54A33A44A22＝5 760个．‎ ‎1．若某单位要邀请10位教师中的6位参加一个会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则邀请的不同方法有(　　)‎ A．84种 B．98种 C．112种 D．140种 答案　D 解析　由题意分析不同的邀请方法有：C21C85＋C86＝112＋28＝140(种)．‎ ‎2．把1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．‎ ‎(1)43 251是这个数列的第几项？‎ ‎(2)这个数列的第96项是多少？‎ 答案　(1)88项　(2)45 321‎ 解析　(1)若首位是1，2，3之一，有C31A44个；‎ 若首位是4，第二位为1或2，有C21A33个；‎ 若首位是4，第二位是3，第三位是1，有A22个；‎ 若首位是4，第二位是3，第三位是2，有1个．‎ ‎∴43 251的前面共有C31A44＋C21A33＋A22＋1＝87个．故43 251是第88项．‎ ‎(2)由(1)知43 251为第88项．‎ 首位为4，第二位为3，第三位为5，有A22＝2个．‎ 首位为4，第二位是5，有A33＝6个．‎ 因此，第96项是45 321.‎ ‎3．(2017·合肥调研)某滨海城市原计划沿一条滨海大道修建7个海边主题公园，现由于资金的原因，打算减少2个海边主题公园，若两端的海边主题公园不在调整计划之列，相邻的两个海边主题公园不能同时调整，则调整方案的种数是(　　)‎ A．12 B．8‎ C．6 D．4‎ 答案　C 答题模板　本题考查排列组合中的插空法，考查了等价转化思想．本题若按常规思路求解比较麻烦，将问题进行巧妙转化则可使本题大大简化．‎ 解析　从7个海边主题公园中抽走2个与在5个中插入2个是等价的，故本题可转化为在原有5个海边主题公园的基础上插入2个海边主题公园，要求不能插入两端，也不能把两个海边主题公园同时插入一处，即就是在5个海边主题公园的4个空中选2个插入，则有C42＝6种．‎ ‎4．(2014·四川理)六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有(　　)‎ A．192种 B．216种 C．240种 D．288种 答案　B 解析　根据甲、乙的位置要求分类解决，分两类．‎ 第一类：甲在左端，有A55＝5×4×3×2×1＝120种方法；‎ 第二类：乙在最左端，有4A44＝4×4×3×2×1＝96种方法．‎ 所以共有120＋96＝216种方法．‎ ‎5．10名同学合影，站成了前排3人，‎ 后排7人．现摄影师要从后排7人中抽2人站前排，其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数为(　　)‎ A．C72A55 B．C72A22‎ C．C72A52 D．C72A53‎ 答案　C 解析　从后排抽2人的方法种数是C72；前排的排列方法种数是A52C33.由分步计数原理，不同调整方法种数是C72A52.‎ ‎6．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为________．‎ 答案　216‎ 解析　因为奇数有4个，偶数有3个，所以要想从取出的四个数字中组成四位数且是奇数，个位数字必须是奇数，因而这样的奇数有C42C32C21A33＝216.‎ ‎【讲评】　排列、组合的混合题推理是从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定位置上的问题．其基本的解题步骤为：‎ 第一步：选，根据要求先选出符合要求的元素．‎ 第二步：排，把选出的元素按照要求进行排列．‎ 第三步：乘，根据分步乘法计数原理求解不同的排列种数，得到结果．‎ ‎7．(2017·重庆一中模拟)8个人坐成一排，现要调换其中3个人中每一个人的位置，其余5个人的位置不变，则不同的调换方式有(　　)‎ A．C83 B．C83A83‎ C．C83A22 D．3C83‎ 答案　C 解析　从8个人中任选3人有C83种，3人位置全调有A22种，故有C83A22种．故选C.‎ ‎8．(2017·山东青岛二模)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有(　　)‎ A．18种 B．24种 C．36种 D．72种 答案　C 解析　把甲、乙2人看作一个整体，5个人变成了4个，再把这4个人分成3部分，每部分至少1人，共有C42种方法，再把这3部分人分到3个路口，有A33种方法，根据分步计数原理，不同分法的种类为C42A33＝36(种)．‎ ‎9．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度要启动的项目，则重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是(　　)‎ A．15 B．45‎ C．60 D．75‎ 答案　C 解析　依题意得重点项目A和一般项目B至少有一个被选中的不同选法的种数是C42·C62－C32·C52＝60(其中C32·C52表示所选的2个重点项目中没有A且所选的2个一般项目中没有B的选法数)．‎ ‎10．圆周上有8个点，将圆周等分，那么以其中的3个点为顶点的直角三角形的个数为________．‎ 答案　24‎ 解析　以8个点为直径的端点共有4种取法，‎ 每种取法可作出6个三角形，∴共有4×6＝24个．‎