2020版高中数学 第1章 第1课时 距离和高度问题 9页

第1课时　距离和高度问题 ‎1.能将实际问题转化为解三角形问题.(难点)‎ ‎2.能够用正、余弦定理等知识和方法求解与距离、高度有关的实际应用问题.(重点)‎ ‎[基础·初探]‎ 教材整理　实际测量中的有关名词、术语 阅读教材P12～P13问题3，完成下列问题.‎ 实际测量中的有关名词、术语 名称 定义 图示 基线 在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫做基线 铅垂 平面 与地面垂直的平面 坡角 坡面与水平面的夹角 α为坡角 坡比 坡面的垂直高度与水平宽度之比 坡比：i＝ 仰角 在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角 俯角 在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时视线与水平线的夹角 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)一般来说，在测量过程中基线越长，测量精确度越低.(　　)‎ ‎(2)已知三角形的三个角，能够求其三条边.(　　)‎ 9‎ ‎(3)两个不可到达的点之间的距离无法求得.(　　)‎ ‎(4)坡面与水平面的夹角称之为坡角.(　　)‎ ‎(5)坡面的水平宽度与坡面的铅直高度之比称为坡比.(　　)‎ ‎(6)坡角的范围是[0，π].(　　)‎ ‎【解析】　(1)×.因为在测量过程中基线越长，测量的精确度越高.‎ ‎(2)×.因为要解三角形，至少要知道这个三角形的一条边.‎ ‎(3)×.两个不可到达的点之间的距离我们可以借助余弦定理求得.‎ ‎(4)√.由坡角的定义可知.‎ ‎(5)×.因为坡比是指坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比.‎ ‎(6)×.坡角的范围是(0，π).‎ ‎【答案】　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×‎ ‎[小组合作型]‎ 测量距离问题 ‎　‎ 要测量对岸A，B两点之间的距离，选取相距 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A，B之间的距离.‎ ‎【精彩点拨】　将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正弦、余弦定理解三角形.‎ ‎【自主解答】　如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，‎ ‎∴AC＝CD＝ km.‎ 在△BCD中，∠BCD＝45°，‎ ‎∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.‎ ‎∴BC＝＝.‎ 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2＝()2＋2－2×××cos 75°‎ ‎＝3＋2＋－＝5，‎ ‎∴AB＝(km)，∴A，B之间的距离为 km.‎ 9‎ 三角形中与距离有关的问题的求解策略：‎ (1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解.‎ (2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决 ‎[再练一题]‎ ‎1.如图121，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得AC＝‎120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A，B两点间的距离. ‎ ‎【导学号：18082006】‎ 图121‎ ‎【解】　在△ABC中，AC＝120，∠A＝45°，∠C＝75°，‎ 则∠B＝180°－(∠A＋∠C)＝60°，‎ 由正弦定理，得AB＝AC＝＝20(3＋).‎ 即A，B两点间的距离为20(3＋)m.‎ 测量高度问题 ‎　(1)如图122，从山顶望地面上C，D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD＝‎100米，点C位于BD上，则山高AB等于(　　)‎ 图122‎ A‎.100米 B‎.50‎米 C‎.50‎米 D.50(＋1)米 ‎(2)在一幢‎20 m高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为60°，塔基的俯角为45°，那么这座塔吊的高是(　　)‎ A‎.20 m B.20(1＋)m C.10(＋)m D.20(＋)m 9‎ ‎【精彩点拨】　(1)解决本题关键是求AB时确定在哪一个三角形中求解，该三角形是否可解.‎ ‎(2)解决本题关键是画出示意图.‎ ‎【自主解答】　(1)设山高为h，则由题意知 CB＝h，DB＝h，‎ 所以h－h＝100，即h＝50(＋1).‎ ‎(2)如图，由条件知四边形ABCD为正方形，∴AB＝CD＝‎20 m，BC＝AD＝‎20 m.‎ 在△DCE中，∠EDC＝60°，∠DCE＝90°，CD＝‎20 m，∴EC＝CD·tan 60°＝‎20 m.∴BE＝BC＋CE＝(20＋20) m.选B.‎ ‎【答案】　(1)D　(2)B 解决测量高度问题的一般步骤：‎ (1)画图：根据已知条件画出示意图.‎ (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形.‎ (3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解.在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用 ‎[再练一题]‎ ‎2.某兴趣小组要测量电视塔AE的高度H(单位：m).如图123所示，竖直放置的标杆BC的高度h＝‎4 m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.该小组已测得一组α，β的值，算出了tan α＝1.24，tan β＝1.20，请据此算出H的值.‎ 图123‎ ‎【解】　由AB＝，BD＝， ‎ AD＝及AB＋BD＝AD，‎ 得＋＝，‎ 解得H＝ ‎＝＝124.‎ 9‎ 因此，算出的电视塔的高度H是‎124 m.‎ ‎[探究共研型]‎ 与立体几何有关的测量高度问题 探究1　已知A，B是海平面上的两个点，相距‎800m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足.试画出符合题意的示意图.‎ ‎【提示】　用线段CD表示山，用△DAB表示海平面.结合题中相应的距离及角度，画出立体图形，如图所示：‎ 探究2　在探究1中若要求山高CD怎样求解？‎ ‎【提示】　由探究1知CD⊥平面ABD，首先在△ABD中利用正弦定理求出AD的长，然后在Rt△ACD中求出CD.‎ ‎　如图124，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个测点C和D，测得CD＝‎200米，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，求塔高AB.‎ 图124‎ ‎【精彩点拨】　利用方程的思想，设AB＝h.表示出BC＝h，BD＝＝h，然后在△BCD中利用余弦定理求解.‎ ‎【自主解答】　在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，若设AB＝h，则BC＝h.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，则BD＝h.‎ 在△BCD中，由余弦定理可得 CD2＝BC2＋BD2－2·BC·BD·cos∠CBD，‎ 即2002＝h2＋(h)2－2·h·h·，‎ 9‎ 所以h2＝2002，解得h＝200(h＝－200舍去)，‎ 即塔高AB＝‎200米.‎ 测量高度问题的两个关注点：‎ (1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题.‎ (2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细 规划解题思路 ‎[再练一题]‎ ‎3.要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相 距‎500 m，则电视塔的高度是(　　)‎ ‎【导学号：18082007】‎ A‎.100 m B‎.400 m C‎.200 m D‎.500 m ‎【解析】　由题意画出示意图，设塔高AB＝h m，在Rt△ABC中，由已知得BC＝h m，在Rt△ABD中，由已知得BD＝h m，在△BCD中，由余弦定理BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos∠BCD，得3h2＝h2＋5002＋h·500，解得h＝500(m).‎ ‎【答案】　D ‎1.甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测‎20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有(　　)‎ A.d1>d2 B.d1‎20 m D.d2<‎‎20 m ‎【解析】　如图，设旗杆高为h，‎ 9‎ 则d1＝，d2＝.‎ 因为tan 50°>tan 40°，所以d1