2020学年度高中数学 第二章 基本初等函数（Ⅰ）2 5页

‎2.3 幂函数 ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 幂函数的定义 ‎2,4,12‎ 幂函数的图象 ‎3,6,7,10‎ 幂函数的性质 ‎1,5,8,9,11,12,13,14,15‎ ‎1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是(　C　)‎ ‎(A)y= (B)y=x3‎ ‎(C)y=x2 (D)y=x 解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.‎ ‎2.幂函数f(x)=(m2‎-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为(　C　)‎ ‎(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2‎ 解析:因为f(x)=(m2‎-4m+4)为幂函数,‎ 所以m2‎-4m+4=1,‎ 解得m=3或m=1.‎ 由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2‎-6m+8<0,‎ 解得2m>0 ‎ ‎(D)m>n>0‎ 解析:由题图及其单调性可得mb=().‎ 因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,‎ 所以b=()>c=(),‎ 所以a>b>c.故选B.‎ ‎6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于　　　　. ‎ 解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.‎ 答案:‎ ‎7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点　　　　. ‎ 解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).‎ 答案:(1,3)‎ ‎8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为　　　　. ‎ 解析:由题意设f(x)=xm,由点(4,)在函数图象上得‎4m=,解得m=-2.‎ 所以f(x)=x-2=,‎ 故其值域为(0,+∞).‎ 答案:(0,+∞)‎ ‎9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.‎ 解:设函数y=,‎ 函数为R上的单调递增函数,‎ 得m2+m≤-m+3,‎ - 5 -‎ 即m2+‎2m-3≤0,‎ 得(m-1)(m+3)≤0,‎ 所以m的取值范围为m∈[-3,1].‎ ‎10.下列结论中,正确的是(　C　)‎ ‎(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)‎ ‎(B)幂函数的图象可以出现在第四象限 ‎(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数 ‎(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数 解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.‎ ‎11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是(　B　)‎ ‎(A)m=2 (B)m=-1‎ ‎(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1‎ 解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,‎ 所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.‎ 又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,‎ 当m=2时,m2+‎2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;‎ 当m=-1时,m2+‎2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.‎ 综上,m=-1.故选B.‎ ‎12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为　 . ‎ 解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,‎ 解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.‎ 答案:1‎ ‎13.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为　　　　 . ‎ 解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,‎ 则指数是偶数且大于0,‎ 因为-m2‎-2m+3=-(m+1)2+4≤4,‎ 因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,‎ 所以m=-1,即f(x)=x4.‎ 所以f(2)=24=16.‎ 答案:16‎ - 5 -‎ ‎14.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.‎ 解:由x2-logmx<0,得x2x1>0,‎ 所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,‎ 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),‎ - 5 -‎ 所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.‎ ‎(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,‎ 所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,‎ 当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.‎ - 5 -‎