高考数学专题复习教案： 直线与抛物线的位置关系备考策略 2页

直线与抛物线的位置关系备考策略 主标题：直线与抛物线线的位置关系备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道。‎ 关键词：直线与抛物线的位置关系，知识总结备考策略 难度：5‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ ‎1．直线与抛物线位置关系的判断 直线y＝kx＋m(m≠0)与抛物线y2＝2px(p>0)联立方程组，消去y，得到k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0的形式．当k＝0时，直线和抛物线相交，且与抛物线的对称轴平行，此时与抛物线只有一个交点；当k≠0时，设其判别式为Δ，‎ ‎(1)相交：Δ>0⇔直线与抛物线有两个交点；‎ ‎(2)相切：Δ＝0⇔直线与抛物线有一个交点；‎ ‎(3)相离：Δ<0⇔直线与抛物线没有交点．‎ ‎[提醒]　过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线．‎ ‎2．直线与抛物线相交的弦长 ‎(1)若直线过抛物线的焦点，则弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)．‎ ‎(2)若直线不过抛物线的焦点，则用|AB|＝ ·|x1－x2|求解．‎ 思维规律解题：考点一：直线与抛物线的位置关系 例1.(2014·安徽高考)如图，已知两条抛物线E1：y2＝2p1x(p1>0)和E2：y2＝2p2x(p2>0)，过原点O的两条直线l1和l2，l1与E1，E2分别交于A1，A2两点，l2与E1, E2分别交于B1, B2两点．‎ ‎(1)证明：A1B1∥A2B2；‎ ‎(2)过O作直线l(异于l1，l2)与E1，E2分别交于C1，C2两点．记△A1B1C1与△A2B2C2的面积分别为S1与S2，求的值．‎ 解：(1)证明：设直线l1，l2的方程分别为 y＝k1x，y＝k2x(k1，k2≠0)，‎ 则由得A1，‎ 由得A2.‎ 同理可得B1，B2.‎ 所以＝＝2p1－，－，‎ ‎＝＝2p2－，－.‎ 故＝，所以A1B1∥A2B2.‎ ‎(2)由(1)知A1B1∥A2B2，‎ 同理可得B1C1∥B2C2，C1A1∥C2A2.‎ 所以△A1B1C1∽△A2B2C2.‎ 因此＝2.‎ 又由(1)中的＝知＝.‎ 故＝.‎ 备考策略：直线与抛物线相交问题处理规律 ‎(1)凡涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时都要注意利用韦达定理，避免求交点坐标的复杂运算．解决焦点弦问题时，抛物线的定义有广泛的应用，而且还应注意焦点弦的几何性质．‎ ‎(2)对于直线与抛物线相交、相切、中点弦、焦点弦问题，以及定值、存在性问题的处理，最好是作出草图，由图象结合几何性质做出解答．并注意“设而不求”“整体代入”“点差法”的灵活应用．‎ ‎．‎