2020高中数学 第一章基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（一）学案 新人教A版选修2-2 6页

‎1.2　导数的计算 ‎1.2.1　‎几个常用函数的导数 ‎1.2.2　‎基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)‎ 学习目标：1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的导数．(难点)2.掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)3.能利用导数的运算法则求函数的导数．(重点、易混点)‎ ‎[自 主 预 习·探 新 知]‎ ‎1．基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数)‎ f′(x)＝0‎ f(x)＝xα(α∈Q*)‎ f′(x)＝αxα－1‎ f(x)＝sin x f′(x)＝cos__x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin_x f(x)＝ax f′(x)＝axln_a(a＞0)‎ f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax f′(x)＝(a＞0，且a≠1)‎ f(x)＝ln x f(x)＝ ‎2．导数的运算法则 ‎(1)和差的导数 ‎[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．‎ ‎(2)积的导数 ‎①[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；‎ ‎②[cf(x)]′＝cf′(x)．‎ ‎(3)商的导数 ′＝(g(x)≠0)．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．思考辨析 ‎(1)若y＝e2，则y′＝e2.(　　)‎ ‎(2)若y＝，则y′＝.(　　)‎ ‎(3)若y＝ln x，则y′＝.(　　)‎ 6‎ ‎(4)若y＝2sin x－cos x，则y′＝2cos x＋sin x．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2．若函数y＝10x，则y′|x＝1等于(　　)‎ A．　　　 B．10　　　‎ C．10ln 10　　　 D． C　[∵y′＝10xln 10，∴y′|x＝1＝10ln 10.]‎ ‎3．(1)′＝________；(2)(xex)′＝________.‎ ‎ 【导学号：31062021】‎ ‎[答案]　(1)′＝ ‎＝；‎ ‎(2)(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.‎ ‎[合 作 探 究·攻 重 难]‎ 利用导数公式求函数的导数 ‎　求下列函数的导数. ‎ ‎【导学号：31062022】‎ ‎(1)y＝cos ；(2)y＝；(3)y＝；‎ ‎(4)y＝lg x；(5)y＝5x；(6)y＝cos.‎ ‎[解]　(1)∵y＝cos ＝，∴y′＝0.‎ ‎(2)∵y＝＝x－5，∴y′＝－5x－6.‎ ‎(3)∵y＝＝＝x，∴y′＝x.‎ ‎(4)∵y＝lg x，∴y′＝.‎ ‎(5)∵y＝5x，∴y′＝5xln 5.‎ ‎(6)y＝cos＝sin x，∴y′＝cos x.‎ ‎[规律方法]　1.若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解. 6‎ ‎2.对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误. ‎3.要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.‎ ‎[跟踪训练]‎ 下列结论，‎ ‎①(sin x)′＝cos x；②′＝x；‎ ‎③ (log3x)′＝；④(ln x)′＝.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．0个　　　 B．1个 C．2个 D．3个 C　[①(sin x)′＝cos x，正确；‎ ‎② ′＝，错误；‎ ‎③(log3x)′＝，错误；‎ ‎④(ln x)′＝，正确；‎ 所以①④正确，故选C.]‎ 利用导数的运算法则求导数 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何求函数y＝tan x的导数？‎ 提示：y＝tan x＝，故y′＝＝＝.‎ ‎2．如何求函数y＝2sin cos 的导数？‎ 提示：y＝2sin cos ＝sin x，故y′＝cos x.‎ ‎　求下列函数的导数．‎ ‎(1)y＝x－2＋x2；‎ ‎(2)y＝3xex－2x＋e；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝x2－sin cos.‎ 6‎ ‎[解]　(1)y′＝2x－2x－3.‎ ‎(2)y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2.‎ ‎(3)y′＝.‎ ‎(4)∵y＝x2－sincos＝x2－sin x，‎ ‎∴y′＝2x－cos x.‎ 母题探究：1.(变条件)把(4)的函数换成“y＝xtan x”，求其导数．‎ ‎[解]　y′＝(x·tan x)′＝′‎ ‎＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎2．(变结论)求函数(3)在点(1,0)处的切线方程．‎ ‎[解]　∵y′|x＝1＝，‎ ‎∴函数y＝在点(1,0)处的切线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.‎ ‎[当 堂 达 标·固 双 基]‎ ‎1．给出下列命题：‎ ‎①y＝ln 2，则y′＝；‎ ‎②y＝，则y′|x＝3＝－；‎ ‎③y＝2x，则y′＝2xln 2；‎ ‎④y＝log2x，则y′＝.‎ 其中正确命题的个数为(　　)‎ A．1　　　 B．2　　　‎ C．3　　　 D．4‎ C　[对于①，y′＝0，故①错；对于②，∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－，故②正确；显然③，④正确，故选C.]‎ ‎2．已知f(x)＝xα(α∈Q*)，若f′(1)＝，则α等于(　　)‎ 6‎ A． B． ‎ C． D． D　[∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝.]‎ ‎3．设y＝－2exsin x，则y′等于(　　) ‎ ‎【导学号：31062023】‎ A．－2excos x B．－2exsin x C．2exsin x D．－2ex(sin x＋cos x)‎ D　[∵y＝－2exsin x，∴y′＝－2exsin x－2excos x＝－2ex(sin x＋cos x)．]‎ ‎4．曲线y＝在点M(3,3)处的切线方程是________．‎ ‎[解析]　∵y′＝－，∴y′|x＝3＝－1，‎ ‎∴过点(3,3)的斜率为－1的切线方程为y－3＝－(x－3)，即x＋y－6＝0.‎ ‎[答案]　x＋y－6＝0‎ ‎5．求下列函数的导数：‎ ‎(1)y＝；(2)y＝log2x2－log2x；‎ ‎(3)y＝；‎ ‎(4)y＝－2sin . ‎ ‎【导学号：31062024】‎ ‎[解]　(1)y′＝‎ ‎＝.‎ ‎(2)∵y＝log2x2－log2x＝log2x，‎ ‎∴y′＝(log2x)′＝.‎ ‎(3)法一：y′＝′＝′cos x＋(cos x)′＝′cos x－sin x＝－x－cos x－sin x＝－－sin x＝－－sin x＝－.‎ 法二：y′＝′＝ 6‎ ‎＝＝－ ‎＝－.‎ ‎(4)∵y＝－2sin ‎＝2sin ＝2sin cos ＝sin x，‎ ‎∴y′＝(sin x)′＝cos x．‎ 6‎