高考数学专题复习教案： 直线的方程备考策略 4页

直线的方程备考策略 主标题：直线的方程备考策略 副标题：通过考点分析高考命题方向，把握高考规律，为学生备考复习打通快速通道.‎ 关键词：直线的方程，知识总结备考策略 难度：2‎ 重要程度：4‎ 内容1．点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k的直线方程为y－y0＝k(x－x0)．‎ 局限性：不含垂直于x轴的直线．‎ ‎2．斜截式 斜率为k，纵截距为b的直线方程为y＝kx＋b.‎ 局限性：不含垂直于x轴的直线．‎ ‎3．两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)的直线方程为＝.‎ 局限性：不含垂直于坐标轴的直线．‎ ‎4．截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a≠0，b≠0)的直线方程为＋＝1.‎ 局限性：不含垂直于坐标轴和过原点的直线．‎ ‎5．一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．‎ 思维规律解题 考点一、求直线的方程 例1.已知点A(3,4)，求满足下列条件的直线方程．‎ ‎(1)经过点A且在两坐标轴上截距相等；‎ ‎(2)经过点A且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．‎ ‎【解答】　(1)设直线在x，y轴上的截距均为a.‎ ‎①若a＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)‎ ‎∴直线的方程为y＝x，即4x－3y＝0.‎ ‎②若a≠0，则设所求直线的方程为＋＝1，‎ 又点(3,4)在直线上，‎ ‎∴＋＝1，∴a＝7，‎ ‎∴直线的方程为x＋y－7＝0.‎ 综合①②可知所求直线方程为4x－3y＝0或x＋y－7＝0.‎ ‎(2)由题意可知，所求直线的斜率为±1，‎ 又过点(3,4)．由点斜式得y－4＝±(x－3)，‎ 所求直线的方程为x－y＋1＝0或x＋y－7＝0.‎ 规律方法2　1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.‎ ‎2.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.‎ 例2.△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：‎ ‎(1)BC所在直线的方程；‎ ‎(2)BC边上中线AD所在直线的方程；‎ ‎(3)BC的垂直平分线DE的方程．‎ ‎【解】　(1)因为直线BC经过B(2,1)和C(－2,3)两点，‎ 由两点式得BC的方程为＝，即x＋2y－4＝0.‎ ‎(2)设BC中点D的坐标(x，y)，则 x＝＝0，y＝＝2.‎ BC边的中线AD过点A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式得AD所在直线方程为＋＝1，即2x－3y＋6＝0.‎ ‎(3)BC的斜率k1＝－，则BC的垂直平分线DE的斜率k2＝2，由斜截式得直线DE的方程为y＝2x＋2.‎ 考点二、直线方程的综合应用 例3已知直线方程为(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0.‎ ‎(1)证明：直线恒过定点M；‎ ‎(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程．‎ ‎【解答】　(1)(2＋m)x＋(1－2m)y＋4－3m＝0可化为(x－2y－3)m＝－2x－y－4.‎ 由得 ‎∴直线必过定点M(－1，－2)．‎ ‎(2)设直线的斜率为k(k＜0)，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，‎ ‎∴|OA|＝1－，|OB|＝2－k，‎ S△AOB＝·|OA|·|OB|＝(2－k)＝.‎ ‎∵k＜0，∴－k＞0，‎ ‎∴S△AOB＝ ‎＝≥4.‎ 当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，‎ ‎∴△AOB的面积最小值是4，‎ 此时直线的方程为y＋2＝－2(x＋1)，即y＋2x＋4＝0.‎ 备考策略：1.截距不是距离，它可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解.‎ ‎2.求直线方程的一种重要方法就是先设直线方程，再求直线方程中的系数，这种方法叫做待定系数法，运用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要.‎ ‎3.解答本题的关键是面积最小值的求法，解法中使用了均值不等式，仔细体会此解法.‎ ‎4.利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式：一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距选择截距式.‎