高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-3函数的奇偶性、对称性与周期性练习理北师大版 8页

‎2.3 函数的奇偶性、对称性与周期性 核心考点·精准研析 考点一　函数奇偶性的判断 ‎ ‎1.下列函数为奇函数的是 (　　)‎ A.f(x)=　　　　　　 B.f(x)=ex C.f(x)=cos x　 D.f(x)=ex-e-x ‎2.已知函数f(x)=3x-,则f(x) (　　)‎ A.是奇函数,且在R上是增加的 B.是偶函数,且在R上是增加的 C.是奇函数,且在R上是减少的 D.是偶函数,且在R上是减少的 ‎3.若函数f(x)(x∈R)是奇函数,函数g(x)(x∈R)是偶函数,则 (　　)‎ A.函数f(g(x))是奇函数 B.函数g(f(x))是奇函数 C.函数f(x)·g(x)是奇函数 D.函数f(x)+g(x)是奇函数 ‎4.已知定义在R上的函数f(x),对任意的x1,x2∈R都有f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)+5,则下列命题正确的是 (　　)‎ A.f(x)是奇函数 　　　　 B.f(x)是偶函数 C.f(x)+5是奇函数　 D.f(x)+5是偶函数 ‎【解析】1.选D.对于A,定义域不关于原点对称,故不是奇函数;对于B, f(-x)=e-x=≠-f(x),故不是奇函数;对于C,f(-x)=cos(-x)=cos x≠-f(x),故不是奇函数;对于D,f(-x)=e-x-ex=-(ex-e-x)=-f(x),是奇函数.‎ ‎2.选A.因为函数f(x)的定义域为R,‎ - 8 -‎ f(-x)=3-x-=-3x=-f(x),‎ 所以函数f(x)是奇函数.‎ 因为函数y=在R上是减少的,‎ 所以函数y=-在R上是增加的.‎ 又因为y=3x在R上是增加的,‎ 所以函数f(x)=3x-在R上是增加的.‎ ‎3.选C.令h(x)=f(x)·g(x),因为函数f(x)是奇函数,函数g(x)是偶函数,所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),所以h(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x)=-h(x),所以h(x)=f(x)·g(x)是奇函数.‎ ‎4.选C.取x1=x2=0,得f(0+0)-f(0)=f(0)+5,所以f(0)=-5.令x1=x,x2=-x,则f[x+(-x)]-f(x)=f(-x)+5,所以f(0)-f(x)=f(-x)+5,所以f(-x)+5=-[f(x)+5],所以函数f(x)+5是奇函数.‎ ‎　判断函数奇偶性的方法 ‎(1)定义法:利用奇、偶函数的定义或定义的等价形式:=±1(f(x)≠0)判断函数的奇偶性.‎ ‎(2)图像法:利用函数图像的对称性判断函数的奇偶性.‎ ‎(3)验证法:即判断f(x)±f(-x)是否为0.‎ ‎(4)性质法:在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇×偶=奇.‎ 考点二　函数的周期性及应用 ‎ ‎【典例】1.(2020·南昌模拟)已知函数f(x)=如果对任意的n∈N*,定义fn(x)=,那么f2 019(2)的值为 (　　)‎ A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3‎ - 8 -‎ ‎2.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,若对于x≥0,都有f(x+2)=-,且当x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则f(-2 017)+f(2 019)的值为 (　　)‎ A.0　 B.-4　　 C.-2　　 D.2‎ ‎3.(2019·重庆模拟)已知奇函数f(x)的图像关于直线x=3对称,当x∈[0,3]时,f(x)=-x,则f(-16)=________. ‎ ‎【解题导思】‎ 序号 联想解题 ‎1‎ 由已知想到周期函数 ‎2‎ 由f(x+2)=-,想到周期函数 ‎3‎ 由f(x)的图像关于直线x=3对称,想到f(x)=f(6-x)‎ ‎【解析】1.选C.因为f1(2)=f(2)=1,f2(2)=f(1)=0,f3(2)=f(0)=2,‎ 所以fn(2)的值具有周期性,且周期为3,‎ 所以f2 019(2)=f3×673(2)=f3(2)=2.‎ ‎2.选A.当x≥0时,f(x+2)=-,所以f(x+4)=f(x),即4是f(x)(x≥0)的一个周期.‎ 所以f(-2 017)=f(2 017)=f(1)=log22=1,‎ f(2 019)=f(3)=-=-1,‎ 所以f(-2 017)+f(2 019)=0.‎ ‎3.根据题意,函数f(x)的图像关于直线x=3对称,‎ 则有f(x)=f(6-x),又由函数为奇函数,‎ 则f(-x)=-f(x),则有f(x)=-f(x-6)=f(x-12),‎ 则f(x)的最小正周期是12,‎ 故f(-16)=f(-4)=-f(4)=-f(2)=-(-2)=2.‎ 答案:2‎ ‎1.抽象函数的周期性 ‎(1)如果f(x+a)=-f(x)(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中一个周期T=2a.‎ - 8 -‎ ‎(2)如果f(x+a)=(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(3)如果f(x+a)+f(x)=c(a≠0),那么f(x)是周期函数,其中的一个周期T=2a.‎ ‎(4)如果f(x+a)=f(x-b),则T=|a+b|.‎ ‎(5)如果f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于x=b对称,则T=4|a-b|.‎ ‎(6)如果f(x)的图像关于(a,0)对称,且关于(b,0)对称,则T=2|a-b|.‎ ‎2.函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b-x)表明的是函数图像的对称性,函数f(x)满足的关系f(a+x)=f(b+x)(a≠b)表明的是函数的周期性,在使用这两个关系时不要混淆.‎ ‎1.(2020·菏泽模拟)定义在R上的函数f(x)的周期为π,且是奇函数,f=1,则f的值为 (　　)‎ A.1 B.-1 C.0 D.2‎ ‎【解析】选B.因为函数f(x)的周期为π,所以f=f=f,因为f(x)为奇函数,所以f=-f=-1.‎ ‎2.(2019·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)的周期为6,且f(x)=则f(-7)+f(8)= (　　)‎ A.11 B. C.7 D.‎ ‎【解析】选A.根据f(x)的周期是6,故f(-7)=f(-1)=-(-1)+1=4, f(8)=f(2)=f(-2)=-(-2)+1=7,所以f(-7)+f(8)=11.‎ - 8 -‎ ‎3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=________. ‎ ‎【解析】因为f(x+4)=f(x-2),‎ 所以f[(x+2)+4]=f[(x+2)-2]即f(x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,‎ 所以f(919)=f(153×6+1)=f(1).‎ 又f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.‎ 答案:6‎ 考点三　函数性质的综合应用 ‎ 命 题 精 解 读 ‎1.考什么:(1)求函数值、解析式或参数值,奇偶性与单调性、奇偶性与周期性交汇等问题.(2)考查数学运算、数学抽象、逻辑推理等核心素养.‎ ‎2.怎么考:函数奇偶性、单调性、周期性以及对称性(奇偶性质的扩展)等知识单独或交汇考查.‎ 学 霸 好 方 法 奇偶函数对称区间上的单调性 奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性.‎ 求函数值、解析式或参数值 ‎【典例】1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数,且当x<0时,f(x)=-eax.若 f(ln 2)=8,则a=________________. ‎ ‎2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=2x2-x,则当x>0时,f(x)= (　　)‎ A.2x2-x　　 B.2x2+x C.-2x2-x　 D.-2x2+x ‎【解析】1.因为ln 2>0,所以-ln 2<0,由于f(x)是奇函数,所以f(-ln 2)=‎ ‎-f(ln 2)=-8,即-e(-ln 2)a=-8,解得a=-3.‎ 答案:-3‎ - 8 -‎ ‎2.选C.当x>0时,-x<0,f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-2x2-x.‎ ‎1.如何求奇偶函数对称区间上的解析式?‎ 提示:将待求区间上的自变量转化到已知区间上,再利用奇偶性求出.‎ ‎2.如何求奇偶函数对称区间上的函数值?‎ 提示:将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解.‎ 奇偶性与单调性交汇问题 ‎【典例】函数f(x)在(-∞,+∞)上是减少的,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是 (　　)‎ A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3]‎ ‎【解析】选D.由已知,得f(-1)=1,使-1≤f(x)≤1成立的x满足-1≤x≤1,所以由-1≤x-2≤1得1≤x≤3,即使-1≤f(x-2)≤1成立的x满足1≤x≤3.‎ 解决与抽象函数有关的不等式问题的关键是什么?‎ 提示:利用题设条件,想办法去掉“f”符号即可解决.‎ 奇偶性与周期性交汇问题 ‎【典例】(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)= (　　)‎ A.-50 B.0 C.2 D.50‎ ‎【解析】选C.f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,图像关于原点对称,满足f(1-x)=f(1+x),则f(x+4)=f(1-(x+3))=f(-x-2)=-f(x+2)=-f(1-(x+1))=-f(-x)=f(x),所以f(x)是周期为4的函数.‎ 又f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,‎ 所以f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12×0+f(1)+f(2)=2.‎ 如何求解项数较多的式子的值?‎ 提示:因为多项式个数较多,可能与函数的周期性有关,可依据题设条件,先探索函数的周期性,再去求解.‎ - 8 -‎ ‎1.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x)= 则g(-8)= (　　)‎ A.-2　 B.-3　　　 C.2 　　 D.3‎ ‎【解析】选A.方法一:当x<0时,-x>0,且f(x)为奇函数,则f(-x)=log3(1-x),所以f(x)=-log3(1-x).因此g(x)=-log3(1-x),x<0,故g(-8)=-log39=-2.‎ 方法二:由题意知,g(-8)=f(-8)=-f(8)=-log39=-2.‎ ‎2.(2020·石家庄模拟)已知f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,若f(1)<1,f(5)=,则实数a的取值范围为 (　　)‎ A.(-1,4) B.(-2,1) C.(-1,2) D.(-1,0)‎ ‎【解析】选A.因为函数f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数,所以f(5)=f(-1)=f(1),即<1,化简得(a-4)(a+1)<0,解得-1