2021版高考数学一轮复习第二章函数及其应用2-9函数模型及其应用课件新人教B版 19页

第九节　 函数模型及其应用 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b 为常数 ,a≠0) 反比例函数模型 f(x)= +b(k,b 为常数且 k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax 2 +bx+c(a,b,c 为常数 ,a≠0) 指数函数模型 f(x)=ba x +c(a,b,c 为常数 ,b≠0,a>0 且 a≠1) 对数函数模型 f(x)=blog a x+c(a,b,c 为常数 ,b≠0,a>0 且 a≠1) 幂函数模型 f(x)=ax n +b (a,b 为常数 ,a≠0) 2. 三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y=a x (a>1) y=log a x(a>1) y=x n (n>0) 在 (0,+∞) 上的增减性 单调 _____ 单调 _____ 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的 变化 随 x 的增大 , 逐渐表 现为与 ____ 平行 随 x 的增大 , 逐渐表 现为与 ____ 平行 随 n 值变化而各 有不同 值的比较 存在一个 x 0 , 当 x>x 0 时 , 有 log a x0) 的函数模型称为“对勾”函数模型： (1) 该函数在 (-∞ ， - ] 和 [ ， +∞) 上单调递增，在 [- ， 0) 和 (0 ， ] 上 单调递减 . (2) 当 x>0 时， x= 时取最小值 2 ， 当 x<0 时， x=- 时取最大值 -2 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 函数 y=2 x 的函数值比 y=x 2 的函数值大 . ( 　　 ) (2)“ 指数爆炸”是指数型函数 y=a · b x +c(a≠0,b>0,b≠1) 增长速度越来越快的 形象比喻 . ( 　　 ) (3) 幂函数增长比直线增长更快 . ( 　　 ) (4) 不存在 x 0 , 使 ( 　　 ) 提示 : (1)×. 当 x=-1 时 ,2 -1 <(-1) 2 . (2)×.“ 指数爆炸”是针对 b>1,a>0 的指数型函数 y=a·b x +c. (3)×. 幂函数增长速度是逐渐加快的 , 当变量较小时 , 其增长很缓慢 , 题目说的太 绝对 , 也没有任何条件限制 . (4)×. 当 a∈(0,1) 时存在 x 0 , 使 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 忽略图象的横纵坐标的意义 考点一、 T1 2 忽略图象的变化趋势 考点一、 T2 、 4 3 忽略函数的表示方法 ( 列表 ) 考点二、 T3 4 忽略自变量的取值 考点三、角度 1 5 忽略基本不等式成立的条件 考点三、角度 2 【教材 · 基础自测】 1 .( 必修 1P67 例 4 改编 ) 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示 , 则下列说法中错误的是 ( 　　 ) A. 收入最高值与收入最低值的比是 3∶1 B. 结余最高的月份是 7 月 C.1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 D. 前 6 个月的平均收入为 40 万元 【解析】 选 D. 由题图可知 , 收入最高值为 90 万元 , 收入最低值为 30 万元 , 其比是 3∶1, 故 A 正确 ; 由题图可知 ,7 月份的结余最高 , 为 80-20=60( 万元 ), 故 B 正确 ; 由题 图可知 ,1 至 2 月份的收入的变化率与 4 至 5 月份的收入的变化率相同 , 故 C 正确 ; 由 题图可知 , 前 6 个月的平均收入为 ×(40+60+30+30+50+60)=45( 万元 ), 故 D 错误 . 2.( 必修 1P69 习题 2-3AT7 改编 ) 生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本 , 某 企业一个月生产某种商品 x 万件时的生产成本为 C(x)= x 2 +2x+20( 万元 ). 一万件 售价为 20 万元 , 为获取更大利润 , 该企业一个月应生产该商品数量为 ______ 万件 .  【解析】 利润 L(x)=20x-C(x)=- (x-18) 2 +142, 当 x=18 时 ,L(x) 有最大值 . 答案 : 18 3 .( 必修 1P120 巩固与提高 T9 改编 ) 某动物繁殖量 y( 只 ) 与时间 x( 年 ) 的关系为 y=alog 3 (x+1), 设这种动物第 2 年有 100 只 , 则到第 8 年繁殖到 ________ 只 .  【解析】 依题设知 a lo g 3 3=100,a=100. 当 x=8 时 ,y=100 lo g 3 9=200. 答案 : 200 【核心素养】 　数学建模 —— 解决实际问题中的函数模型的应用   【素养诠释】 数学建模是对现实问题进行数学抽象 , 用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题 . 在应用函数解决实际问题时需注意以下四个步骤 : (1) 审题 : 弄清题意 , 分清条件和结论 , 理顺数量关系 , 初步选择函数模型 . (2) 建模 : 将自然语言转化为数学语言 , 将文字语言转化为符号语言 , 利用数学知识 , 建立相应的函数模型 . (3) 解模 : 求解函数模型 , 得出数学结论 . (4) 还原 : 将数学结论还原为实际意义的问题 . 【典例】 牧场中羊群的最大蓄养量为 m 只 , 为保证羊群的生长空间 , 实际蓄养量不能达到最大蓄养量 , 必须留出适当的空闲量 . 已知羊群的年增长量 y 只和实际蓄养量 x 只与空闲率的乘积成正比 , 比例系数为 k(k>0). (1) 写出 y 关于 x 的函数关系式 , 并指出这个函数的定义域 . (2) 求羊群年增长量的最大值 . (3) 当羊群的年增长量达到最大值时 , 求 k 的取值范围 . 【解析】 (1) 根据题意 , 由于最大蓄养量为 m 只 , 实际蓄养量为 x 只 , 则蓄养率为 故空闲率为 由此可得 (2) 由 (1) 知 即当 时 ,y 取得最大值 (3) 由题意知为给羊群留有一定的生长空间 , 则实际蓄养量与年增长量的和小 于最大蓄养量 , 即 00, 所以 0