高中数学必修2教案：第一章 1_2_1-1_2_2空间几何体的三视图 12页

‎1.2　空间几何体的三视图和直观图 ‎1．2.1　中心投影与平行投影 ‎1．2.2　空间几何体的三视图 ‎[学习目标]　1.了解中心投影和平行投影.2.能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型．‎ ‎[知识链接]‎ ‎1．棱柱的结构特征 ‎(1)上下底面平行．(2)侧面是平行四边形．(3)侧棱相互平行．‎ ‎2．棱锥的结构特征 ‎(1)底面是多边形．(2)侧面是共顶点的三角形．‎ ‎3．棱台的结构特征 ‎(1)上下底面平行．(2)侧面是梯形．(3)侧棱延长线相交于一点．‎ ‎4．圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形．‎ ‎[预习导引]‎ ‎1．投影 ‎(1)投影的定义 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面．‎ ‎(2)投影的分类 ‎(3)当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：‎ ‎①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．‎ ‎2．三视图 ‎(1)定义：光线从几何体的前面向后面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图；光线从几何体的左面向右面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向下面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图．几何体的正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图，三视图是正投影．‎ ‎(2)基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图长度一样，侧视图与俯视图宽度一样．‎ 要点一　中心投影与平行投影 例1　下列说法中：①平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点；②空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；③两条相交直线的平行投影是两条相交直线．其中正确的个数为(　　)‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ 答案　B 解析　由平行投影和中心投影的定义可知①正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，②不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线；③不正确．‎ 规律方法　判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面 的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断．‎ 跟踪演练1　下列命题中，正确的是(　　)‎ A．矩形的平行投影一定是矩形 B．梯形的平行投影一定是梯形 C．两条相交直线的投影可能平行 D．如果一条线段的平行投影仍是一条线段，那么这条线段中点的投影必是这条线段投影的中点 答案　D 解析　平行投影因投影线的方向变化而不同，因而平行投影改变几何图形的形状，因而A，B不正确．两条相交直线的投影不可能平行，即C不正确．两条线段平行投影的比等于这两条线段的比，因而D正确．故选D.‎ 要点二　画空间几何体的三视图 例2　画出图中正四棱锥和圆台的三视图．(尺寸不作严格要求)‎ 解　正四棱锥的三视图如图所示：‎ 圆台的三视图如图所示：‎ 规律方法　画三视图应遵循的原则和注意事项：‎ ‎(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”．‎ ‎(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯 视图在正视图的正下方．‎ ‎(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来验证其正确性．‎ 跟踪演练2　如图是截去一角的长方体，画出它的三视图．‎ 解　物体三个视图的构成都是矩形，长方体截去一角后，截面是一个三角形，在每个视图中反映为不同的三角形，三视图如图．‎ 要点三　由三视图还原空间几何体 例3　根据下列图中所给出的几何体的三视图，试画出它们的形状．‎ 解　图(1)对应的几何体是一个六棱锥，图(2)对应的几何体是一个三棱柱，则所对应的空间几何体的图形分别为：‎ 规律方法　由三视图还原空间几何体的步骤：‎ 跟踪演练3　若将例3(1)中的三视图改为如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图．‎ ‎　‎ 解　由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如图：‎ ‎1．下列说法正确的是(　　)‎ A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关 B．任何物体的三视图都与物体的摆放位置无关 C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关 D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形 答案　C 解析　对于A，球的三视图与物体摆放位置无关，故A错；对于B，D，正方体的三视图与摆放位置有关，故B，D错；故选C.‎ ‎2．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是(　　)‎ A．三棱锥 B．三棱柱 C．四棱锥 D．四棱柱 答案　B 解析　如图，几何体为三棱柱．‎ ‎3．一个几何体的三视图形状都相同，大小均相等，那么这个几何体不可以是(　　)‎ A．球 B．三棱锥 C．正方体 D．圆柱 答案　D 解析　不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故选D.‎ ‎4．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．‎ ‎①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．‎ 答案　②⑤‎ 解析　线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．‎ ‎5．如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的正视图是边长为4的正方形，则此正三棱柱的侧视图的面积为(　　)‎ A．8 B．4 C．2 D．16‎ 答案　A 解析　由正视图可知三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为2，所以侧视图的面积为4×2＝8.故选A.‎ ‎1.理解平行投影和中心投影的概念时，可以从一束光线去照射一个物体所形成的影子，研究两者的不同之处．另外应注意平行投影的性质，尤其注意图形中的直线或线段不平行于投影线的情况．‎ ‎2．空间几何体的三视图可以使我们很好地把握空间几何体的性质，由空间几何体可画出它 的三视图，同样由三视图可以想象出空间几何体的形状，两者之间的相互转化，可以培养我们的几何直观能力和空间想象能力．‎ 一、基础达标 ‎1．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体可以是(　　)‎ A．棱柱 B．棱台 C．圆柱 D．圆台 答案　D 解析　先观察俯视图，再结合正视图和侧视图还原空间几何体．‎ 由俯视图是圆环可排除A，B，由正视图和侧视图都是等腰梯形可排除C，故选D.‎ ‎2．已知一个几何体是由上、下两部分构成的一个组合体，其三视图如图所示，则这个组合体的上、下两部分分别是(　　)‎ A．上部是一个圆锥，下部是一个圆柱 B．上部是一个圆锥，下部是一个四棱柱 C．上部是一个三棱锥，下部是一个四棱柱 D．上部是一个三棱锥，下部是一个圆柱 答案　A 解析　由几何体的三视图可知，该组合体的上部是一个圆锥，下部是一个圆柱．‎ ‎3．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(　　)‎ A．①② B．①③‎ C．①④ D．②④‎ 答案　D 解析　①的三个视图都是相同的，都是正方形；②的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同；③的三个视图各不相同；④的正视图与侧视图相同，都是等腰三角形，俯视图不同．故选D.‎ ‎4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是(　　)‎ 答案　D 解析　由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是D.‎ ‎5．如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体为(　　)‎ A．圆柱与圆台 B．四棱柱与四棱台 C．圆柱与四棱台 D．四棱柱与圆台 答案　B ‎6．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高(两底面之间的距离)和底面边长分别是________和________．‎ 答案　2　4‎ 解析　三棱柱的高同侧视图的高，侧视图的宽度恰为底面正三角形的高，故底边长为4.‎ ‎7．如图所示的螺栓是由棱柱和圆柱构成的组合体，试画出它的三视图．‎ 解　三视图如图所示．‎ 二、能力提升 ‎8．用□表示1个立方体，用表示2个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么如图所示，由7个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是图中的(　　)‎ 答案　B ‎9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为(　　)‎ 答案　C 解析　正视图中小长方形在左上方，对应俯视图应该在左侧，排除B、D，侧视图中小长方形在右上方，排除A，故选C.‎ ‎10．由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则该几何体由________块小正方体木块搭成．‎ 答案　7‎ 解析　小木块的排列方式如图所示．由图知，几何体由7块小正方体木块搭成．‎ ‎11．已知一个几何体的三视图如图，试根据三视图想象物体的原形，并试着画出实物草图．‎ 解　由三视图知，该物体下部为长方体、上部为一个与长方体等高的圆柱，且圆柱的底面相切于长方体的上底面，由此可画出实物草图如图．‎ 三、探究与创新 ‎12．如图所示是一些立体图形的视图，但观察的方向不同，试说明其可能是哪一种几何体的视图，并画出立体图形的草图．‎ 解　从柱、锥、台、球和三视图各方面综合考虑．‎ ‎(1)是一个圆，可能为球的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的俯视图，其直观图如下图中①所示．‎ ‎(2)是一个三角形，可能是棱锥的俯视图、圆锥的正视图、侧视图，也可能是三棱柱的俯视图，其直观图如下图中②所示．‎ ‎(3)是一个矩形，可能为四棱柱的正视图、侧视图、俯视图，也可能是圆柱的正视图、侧视图，其直观图如下图中③所示．‎ ‎13．一个物体由几块相同的正方体组成，其三视图如图所示，试据图回答下列问题：‎ ‎(1)该物体有多少层？‎ ‎(2)该物体的最高部分位于哪里？‎ ‎(3)该物体一共由几个小正方体构成？‎ 解　(1)该物体一共有两层，从正视图和侧视图都可以看出来．‎ ‎(2)该物体最高部分位于左侧第一排和第二排．‎ ‎(3)从侧视图及俯视图可以看出，该物体前后一共三排，第一排左侧2个，右侧1个；第二排左侧2个，右侧没有；第三排左侧1个，右侧1个．该物体一共由7个小正方体构成．‎