高中数学必修2教案：4_2_3-1直线与圆的方程的应用 7页

4、2、3 直线与圆的方程的应用（一） 【教学目标】 利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 【教学重难点】 教学重点：直线的知识以及圆的知识 教学难点：用坐标法解决平面几何. 【教学过程】 一、复习准备： (1) 直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些? (3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间 的位置关系？ (6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 二、讲授新课： 提出问题、自主探究 例 1、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以 下计算：圆拱跨度 AB＝84 米，拱 高 A6P6=15 米，在建造时每隔 7 米需用一个支柱支撑，求：支柱 A3P3 的长度（精确到 0.01 米）． 方法一：在 中 R2 =422 +(R-15)2 可求出半径 R，而在 中 ， ∴ ，从而可求得 长度。 能否用学过的圆方程的有关知识来尝试求解？ 方法二：先求圆的方程，再把求 长度看成 的纵坐标。 首先应建立坐标系。 如何建系？四种不同的建系方案： OAARt 6∆ COPRt 3∆ 222 3 21−= RCP OACPPA 6333 −= 33 PA 33 PA 3P 分组解答，同学自选一种建系方案，同桌之间可以互相协作，相互探讨。 归纳总结、巩固步骤 总结解决应用问题的步骤： (1)审题----分清条件和结论，将实际问题数学化； (2)建模----将文字语言转化成数学语言或图形语言，找到与此相联系的数学知识，建立数 学模型； (3)解模----求解数学问题，得出数学结论； (4) 还原----根据实际意义检验结论，还原为实际问题． 流程图： 实际问题 数学问题 数学结论 实际问题结论 （审题） （建模） （解模） （还原） 变式训练：某圆拱桥的水面跨度 16 米，拱高 4 米。有一货船，装满货过桥，顶部宽 4 米， 水面以上高 3 米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高 3.9 米，此时能否通过？ 深入讨论、提炼思想 在上面问题求解过程中，我们通过“建系”，利用直线和圆的方程来完成平面几何 中的计 算。这一“新方法”在初等几何的证明中也非常有用，如证 明“平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和”， 再 看下例： 例 2、已知内接于圆 P 的四边形 ABCD 的对角线互相垂直， 于 ，探求线段 与 的数量关系。 (1) . 思 路 ： 把 四 边 形 特 殊 化 ， 看 成 正 方 形 ， 那 么 圆 心 与 正 方 形 的 中 心 重 合 ， 此 时 . 对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以 证明？ 证明：（平面几何法）连接 AP 并延长交圆 P 于点 F，连接 DF，CF， ∵∠3=∠4 ∴在 Rt⊿ADF 和 Rt⊿AHB 中∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7， ∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900 ∴ CF∥BD ② 由① ②可得四边形 CFDB 为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE | 用“建系”这一新工具尝试 证明：（解析几何法）以 AC，BD 交点为坐标原点，所在直线为坐标轴建立平面直角坐标 系，设 ， ， ， . 用勾股定理， ，其中 为 中点； 先求出圆心 P 的坐标及直线 AD 的方程，然后用点到直线距离公式求 PE 的长；先求出圆 心 P 与点 E 的坐标，再用两点间距离公式求 PE 的长。 设圆方程为(x-m )2 + (y-n)2 =r2，考虑到圆与 轴交于 、 两点，令 y=0，得关于 的一元 二次方程 x2-2mx+(m2+n2- r2)=0，然后利用韦达定理可得圆心的横坐标 ，同理可得圆 心的纵坐标 。 应用圆的方程求圆心坐标，正是圆方程的具体应用。 过圆心作两坐标轴的垂线，利用垂径定理来解决，很快可以求出 圆心的 坐标 。 ADPE ⊥ E PE BC BCPE 2 1= BCPE 2 1= )0,(aA ),0( bB )0,(cC )0,(dD 22 AERPE −= E AD x A C x 2 cam += 2 dbn += P )2,2( dbca ++ 变式练习：设 为 的中点，则 ，如何用代数方法证明这一结论呢？ 还能有什么其他发现？ （1）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则一组对 边的平方和等于另一组对边的平方和； （2）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则两条对 角线之积等于两组对边之积的和； （3）若圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则经过对 角线交点作其中一边的垂线，一定平分这一条边的对边。 ．．．．．． 课堂小结： （1）直线与圆的方程在实际问题和平面几何中的一些应用； （2）解决实际问题的具体步骤------审题、建模、解模、还原； （3）解决几何问题的新方法------解析法，主要数学思想是通过代数方法研究几何问题， 达到数形结合的一种完美境界。用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”： 第一步：建立适当的坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转 化为代数问题； 第二步：通 过代数运算，解决代数问题； 第三步：把代数运算结果“翻译”成几何结论； 【板书设计】 一、指数函数 1．定义 2. 图像 3. 性质 二、例题 例 1 变式 1 例 2 变式 2 【作业布置】 习题 4.2B 组的 2、3、4 题 Q BC PEQH // ４.２.３直线与圆的方程的应用导学案（一） 课前预习学案 一、预习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 二、预习内容： （1）直线方程有几种形式? 分别为什么? (2) 圆的方程有几种形式?分别是哪些? (3) 求圆的方程时,什么条件下,用标准方程?什么条件下用一般方程? (4) 直线与圆的方程在生产.生活实践中有广泛的应用.想想身边有哪些呢? (5) 如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ (6) 如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系? 三、提出疑惑 1、 ； 2、 ； 3、 。 课内探究学案 一、学习目标：利用直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系解决一些实际问题 学习重难点：直线的知识以及圆的知识 二、讲授新课： 例 1 、如图是一桥圆拱的示意图，根据提供信息完成以下计算：圆拱跨度 AB＝84 米，拱 高 A6P6=15 米，在建造时每隔 7 米需用一个支柱支撑，求：支柱 A3P3 的长度（精确到 0.01 米）． 变式训练：某圆拱桥的水面跨度 16 米，拱高 4 米。有一货船， 装满货过桥，顶部宽 4 米， 水面以上高 3 米，请问此船能否通过？当卸完货返航时，船水面以上高 3.9 米，此时能否通过？ 例 2、已知内接于圆 P 的四边形 ABCD 的对角线互相垂直， 于 ，探求线段 与 的数量关系。 (1) . 思 路 ： 把 四 边 形 特 殊 化 ， 看 成 正 方 形 ， 那 么 圆 心 与 正 方 形 的 中 心 重 合 ， 此 时 . 对于一般情形，这个结论正确吗？作如下猜想：“已知内接于圆的四边形的对角线互相 垂直，求证圆心到一边的距离等于这条边所对边边长一半”，能否用学过的平面几何知识加以 证明？ 变式练习：设 为 的中点，则 ，如何用代数方法证明这一结论呢？ 还能有什么其他发现？ 当堂检测: 1.在空间直角坐标系中，画出下列各点：A（0，0，3），B（1，2，3），C（2，0，4）， D（－1，2，－2）． 2.已知：长方体 ABCD－A′B′C′D′的边长 AB＝12，AD＝8，AA′＝7，以这个长方体的 顶点 B 为坐标原点，射线 AB，BC，BB′分别为 x 轴、y 轴和 z 轴的正半轴，建立空间直角坐 标系，求这个长方体各个顶点的坐标． 3. 写出坐标平面 yOz 上∠ yOz 平分线上的点的坐标满足的条件． 课后练习与提高 ADPE ⊥ E PE BC BCPE 2 1= BCPE 2 1= Q BC PEQH // 1．圆 上的点到直线 的距 离最大值是（ ） A B C D 2 将直线 ，沿 轴向左平移 个单位，所得直线与圆 相切，则实数 的值为（　　） A 　B 　C 　 D 3 在坐标平面内，与点 距离为 ，且与点 距离为 的直线共有（ ） A 条 B 条 C 条 D 条 ４ 已知圆 和过原点的直线 的交点为 则 的值为 ________________ 5 已知 是直线 上的动点， 是圆 的 切线， 是切点， 是圆心，那么四边形 面积的最小值是________________ 012222 =+−−+ yxyx 2=− yx 2 21 + 2 21+ 221+ 2 0x y λ− + = x 1 2 2 2 4 0x y x y+ + − = λ 3 7− 或 2− 或8 0或10 1或11 (1,2)A 1 (3,1)B 2 1 2 3 4 ( ) 43 22 =+− yx kxy = ,P Q OQOP ⋅ P 0843 =++ yx ,PA PB 012222 =+−−+ yxyx ,A B C PACB