高中数学必修1教案：第五章（第11课时）平面向量数量积的坐标表示 6页

课 题：平面向量数量积的坐标表示 教学目的：‎ ‎⑴要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示 ‎⑵掌握向量垂直的坐标表示的充要条件，及平面内两点间的距离公式 ‎⑶能用所学知识解决有关综合问题 教学重点：平面向量数量积的坐标表示 教学难点：平面向量数量积的坐标表示的综合运用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：‎ 一、复习引入：‎ ‎1．两个非零向量夹角的概念 已知非零向量与，作＝，＝，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.‎ ‎2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量||||cosq叫与的数量积，记作×，即有× = ||||cosq，‎ ‎（０≤θ≤π）.并规定与任何向量的数量积为0 ‎ ‎3．向量的数量积的几何意义：‎ 数量积×等于的长度与在方向上投影||cosq的乘积 ‎4．两个向量的数量积的性质：‎ 设、为两个非零向量，是与同向的单位向量 ‎1°× = × =||cosq；2°^ Û × = 0‎ ‎3°当与同向时，× = ||||；当与反向时，× = -||||‎ ‎ 特别的× = ||2或 ‎4°cosq = ；5°|×| ≤ ||||‎ ‎5． 平面向量数量积的运算律 交换律： × = × ‎ 数乘结合律：()× =(×) = ×()‎ 分配律：( + )× = × + × 二、讲解新课：‎ ‎⒈平面两向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量，，试用和的坐标表示 设是轴上的单位向量，是轴上的单位向量，那么 ‎，‎ 所以 又，，‎ 所以 这就是说：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和 即 ‎2.平面内两点间的距离公式 ‎（1）设，则或 ‎（2）如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)‎ ‎3.向量垂直的判定 设，，则 ‎ ‎4.两向量夹角的余弦（） ‎ cosq =‎ 三、讲解范例：‎ 例1 设 = (5, -7)， = (-6, -4)，求× 解： = 5×(-6) + (-7)×(-4) = -30 + 28 = -2‎ 例2 已知(1, 2)，(2, 3)，(-2, 5)，求证：△ABC是直角三角形 证明：∵=(2-1, 3-2) = (1, 1), = (-2-1, 5-2) = (-3, 3)‎ ‎∴×=1×(-3) + 1×3 = 0 ∴^ ‎∴△ABC是直角三角形 例3 已知 = (3, -1)， = (1, 2)，求满足× = 9与× = -4的向量 ‎ 解：设= (t, s)，‎ ‎ 由 ∴= (2, -3)‎ 例4 已知＝（１，），＝（＋１，－１），则与的夹角是多少?‎ 分析：为求与夹角，需先求及｜｜·｜｜，再结合夹角θ的范围确定其值.‎ 解：由＝（１，），＝（＋１，－１）‎ 有·＝＋１＋（－１）＝４，｜｜＝２，｜｜＝２．‎ 记与的夹角为θ，则cosθ＝‎ 又∵０≤θ≤π，∴θ＝‎ 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.‎ 例5 如图，以原点和A (5, 2)为顶点作等腰直角△ABC，使Ð = 90°，求点和向量的坐标 解：设点坐标(x, y)，则= (x, y)，= (x-5, y-2)‎ ‎∵^ ∴x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0‎ 又∵|| = || ∴x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29‎ 由 ‎∴点坐标或；=或 ‎ 例6 在△ABC中，=(2, 3)，=(1, k)，且△ABC的一个内角为直角，‎ ‎ 求k值 解：当 = 90°时，×= 0，∴2×1 +3×k = 0 ∴k = ‎ 当 = 90°时，×= 0，=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)‎ ‎∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = ‎ 当C= 90°时，×= 0，∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = ‎ 四、课堂练习：‎ ‎1.若=(-4,3),=(5,6),则3||２－４＝（ ） A.23 B.57 C.63 D.83‎ ‎2.已知(1,2),(2,3),(-2,5)，则△为（ ）‎  A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不等边三角形 ‎3.已知=(4,3),向量是垂直的单位向量，则等于（ ）‎ A.或 B.或 C.或 D.或 ‎4.=(2,3),=(-2,4),则(+)·(-)= .‎ ‎5.已知(3，2)，(-1，-1)，若点P(x,-)在线段的中垂线上，则x= .‎ ‎6.已知(1，0)，(3，1)，(2，0)，且=,=,则与的夹角为 .‎ 参考答案：1.D 2.A 3.D 4. –7 5. 6.45° 五、小结 两向量数量积的坐标表示长度、夹角、垂直的坐标表示 六、课后作业：‎ ‎1.已知=(2,3),=(-4,7),则在方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. D. ‎2.已知=(λ，２)，=(-3,5)且与的夹角为钝角，则λ的取值范围是（ ）‎  A.λ＞ B.λ≥ C.λ＜ D.λ≤ ‎3.给定两个向量=(3,4),=(2,-1)且(+x)⊥(-),则x等于（ ）‎  A.23  B. C. D.  ‎4.已知||=,=(1,2)且∥,则的坐标为 .‎ ‎5.已知=(1,2),(1,1),=-k,若⊥，则＝ .‎ ‎6.已知=(3,0),=(k,5)且与的夹角为，则k的值为 .‎ ‎7.已知=(3,-1),=(1,2),求满足条件x·=9与x·=-4的向量x. ‎8.已知点A (1，2)和B (4，-1)，问能否在y轴上找到一点C，使∠ABC＝90°，若不能，说明理由；若能，求C点坐标. ‎9.四边形ABCD中=(6,1), =(x,y)，=(-2,-3),‎ ‎(1)若∥，求x与y间的关系式； ‎(2)满足(1)问的同时又有⊥,求x,y的值及四边形ABCD的面积. 参考答案：1.C 2.A 3.C4.（，２）或（-，－２）‎  5.() 6.-5 7.(2,-3) 8.不能(理由略) ‎9.(1)x+2y=0 (2) S四边形ABCD=16 七、板书设计（略）‎ 八、课后记及备用资料：‎ 已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1.‎ 分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.‎ 解：由＝（3，4），＝（4，3），有x+y=(3x+4y,4x+3y)‎ 又（x+y）⊥(x+y)·＝０3(3x+4y)+4(4x+3y)=0‎ 即25x+24y＝０ ①‎ 又｜x+y｜=1｜x+y｜２＝１（３x+4y）２＋（４x+3y）２＝１‎ 整理得：25x２＋48xy+25y２＝１即x(25x+24y)+24xy+25y２＝１ ②‎ 由①②有24xy+25y２＝１ ③‎ 将①变形代入③可得：y=±‎ 再代回①得：‎