高考数学专题复习练习：6-3 专项基础训练 6页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·宁夏大学附中上学期月考)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(　　)‎ A.　　　　　 B．－ C. D．－ ‎【解析】 设等比数列{an}的公比为q，‎ ‎∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，‎ ‎∴ 解得 ‎【答案】 C ‎2．(2016·山西四校联考)等比数列{an}满足an＞0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1等于(　　)‎ A．n(2n－1) B．(n＋1)2‎ C．n2 D．(n－1)2‎ ‎【解析】 由等比数列的性质，‎ 得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n.‎ 方法一　log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)·an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)．‎ 方法二　取n＝1，log2a1＝log22＝1，而(1＋1)2＝4，(1－1)2＝0，排除B，D；取n＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＝log22＋log24＋log28＝6，而22＝4，排除C，选A.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2016·山东潍坊重点高中联考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝(　　)‎ A．2 B. C. D．3‎ ‎【解析】 依题意知等比数列的公比q≠±1，设S3＝k，则S6＝3k(k≠0)，结合S3，S6－S3，S9－S6成等比数列可知S9－3k＝4k，故S9＝7k.所以＝ .‎ ‎【答案】 B ‎4．(2016·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2·b8·b11＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．4 D．8‎ ‎【解析】 由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7.由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2.由等比数列的性质得b2·b8·b11＝b2b7b12＝b＝23＝8.‎ ‎【答案】 D ‎5．(2016·甘肃河西五市部分普通高中第一次联考)正项等比数列{an}中的a1，a4 031是函数f(x)＝x3－4x2＋6x－3的极值点，则loga2 016＝(　　)‎ A．－1 B．1‎ C. D．2‎ ‎【解析】 ∵f′(x)＝x2－8x＋6，∴a1·a4 031＝6.又∵{an}为正项等比数列，‎ ‎∴a＝a1·a4 031＝6，∴loga2 016＝log＝1.‎ ‎【答案】 B ‎6．(2016·广州综合测试)已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．100 D．200‎ ‎【解析】 a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100.‎ ‎【答案】 C ‎7．(2016·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．‎ ‎【解析】 设数列{an}的公比为q，‎ 由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，‎ 可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，‎ 因此q3n－6＝81＝34＝q36，‎ 所以3n－6＝36，即n＝14.‎ ‎【答案】 14‎ ‎8．(2016·南宁测试)在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3，3a2成等差数列．则an＝________．‎ ‎【解析】 设数列{an}的公比为q，‎ ‎∵2a1，a3，3a2成等差数列，∴2a1＋3a2＝2a3，‎ ‎2a1＋3a1q＝2a1q2，‎ ‎2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.‎ ‎∵q＞0，∴q＝2.‎ ‎∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝2n.‎ ‎【答案】 2n ‎9．(2016·河南实验中学期中)数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.‎ ‎(1)求数列{bn}的通项公式；‎ ‎(2)求数列{an}的前n项和Sn.‎ ‎【解析】 (1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，‎ ‎∴＝2，又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，‎ ‎∴数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．‎ ‎∴bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴bn＝2n＋1－2.‎ ‎(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，‎ ‎∴an－1－an－2＝2n－1－2(n＞2)，‎ ‎…，a2－a1＝22－2，‎ ‎∴an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，‎ ‎∴an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2‎ ‎＝－2n＋2＝2n＋1－2n.‎ ‎∴Sn＝－＝2n＋2－(n2＋n＋4)．‎ ‎10．已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ为实数，n为正整数．‎ ‎(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列；‎ ‎(2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列．‎ ‎【证明】 (1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列，‎ 则有a＝a1a3，即＝λ ‎⇔λ2－4λ＋9＝λ2－4λ⇔9＝0，矛盾．‎ 所以{an}不是等比数列．‎ ‎(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]‎ ‎＝(－1)n＋1 ‎＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.‎ 又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.‎ 由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．‎ 故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．‎ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·河南洛阳期中)下列结论正确的是(　　)‎ A．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋1，则{an}为等差数列 B．若数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－2，则{an}为等比数列 C．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等差数列，则，，可能构成等差数列 D．非零实数a，b，c不全相等，若a，b，c成等比数列，则，，一定构成等比数列 ‎【解析】 在A中，∵数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝n2＋n＋1，∴a1＝S1＝1＋1＋1＝3，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n＋1)－[(n－1)2＋(n－1)＋1]＝2n(n≥2)，故{an}不为等差数列，故A错误；在B中，∵数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝2n－2，∴a1＝S1＝2－2＝0，∴{an}不为等比数列，故B错误；在C中，若，，构成等差数列，则＝＋＝＝，∴b2＝ac，∴ac＝＝，∴a＝c，从而a＝c＝b，与非零实数a，b，c不全相等矛盾，∴，，不可能构成等差数列，故C错误；在D中，∵非零实数a，b，c不全相等，a，b，c成等比数列，∴b2＝ac，∴＝＝·，‎ ‎∴，，一定成等比数列，故D正确．故选D.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2016·宁夏大学附中上学期月考)在正项等比数列{an}中，存在两项am，an(m，n∈N*)使得＝4a1，且a7＝a6＋2a5，则＋的最小值是(　　)‎ A. B．1＋ C. D. ‎【解析】 在正项等比数列{an}中，设公比为q，∵a7＝a6＋2a5，∴＝＋2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，∴am＝a12m－1，an＝a12n－1.‎ ‎∵＝4a1，∴aman＝a2m＋n－2＝16a，即m＋n－2＝4，∴m＋n＝6，‎ 列举(m，n)＝(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，即有＋＝2，，2，，.当m＝2，n＝4时，＋取得最小值.‎ ‎【答案】 A ‎13．(2016·兰州诊断)数列{an}的首项为a1＝1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10b11＝2 017，则a21＝________．‎ ‎【解析】 由bn＝，且a1＝1，得b1＝＝a2.‎ b2＝，a3＝a2b2＝b1b2.‎ b3＝，a4＝a3b3＝b1b2b3，…，‎ an＝b1b2…bn－1，‎ ‎∴a21＝b1b2…b20.‎ ‎∵数列{bn}为等比数列，‎ ‎∴a21＝(b1b20)(b2b19)…(b10b11)＝(b10b11)10‎ ‎＝(2 017)10‎ ‎＝2 017.‎ ‎【答案】 2017‎ ‎14．定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{an}，{f(an)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：‎ ‎①f(x)＝x2；‎ ‎②f(x)＝2x；‎ ‎③f(x)＝；‎ ‎④f(x)＝ln|x|.‎ 则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为________．‎ ‎【解析】 设{an}的公比为q，验证 ‎①＝＝q2，③＝＝，‎ 故①③为“保等比数列函数”．‎ ‎【答案】 ①③‎ ‎15．(2017·兰州模拟)设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N*，都有Sn＝m＋1－man(m为常数，且m＞0)．‎ ‎(1)求证：数列{an}是等比数列；‎ ‎(2)设数列{an}的公比q＝f(m)，数列{bn}满足b1＝2a1，bn＝f(bn－1)(n≥2，n∈N*)，求数列{bn}的通项公式．‎ ‎【解析】 (1)证明 当n＝1时，a1＝S1＝m＋1－ma1，解得a1＝1.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝man－1－man，即(1＋m)an＝man－1.‎ 又m为常数，且m＞0，∴＝(n≥2)．‎ ‎∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列．‎ ‎(2)由(1)得，q＝f(m)＝，b1＝2a1＝2.‎ ‎∵bn＝f(bn－1)＝，‎ ‎∴＝＋1，即－＝1(n≥2)．‎ ‎∴数列是首项为，公差为1的等差数列．‎ ‎∴＝＋(n－1)·1＝，即bn＝(n∈N*)．‎