高中数学第7章（第7课时）两条直线的位置关系2 6页

课 题：7.3两条直线的位置关系（二）夹角 教学目的：‎ ‎1. 明确理解直线到的角及两直线夹角的定义.‎ ‎2.掌握直线到的角及两直线夹角的计算公式.‎ ‎3.能根据直线方程求直线到的角及两直线夹角.‎ 教学重点：两条直线的夹角.‎ 教学难点：夹角概念的理解. ‎ 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：   首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线到的角，直线与的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度 教学过程：‎ 一、复习引入： ‎ ‎1．特殊情况下的两直线平行与垂直．‎ 当两条直线中有一条直线没有斜率时：‎ ‎(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行；‎ ‎(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 ‎2．斜率存在时两直线的平行与垂直：‎ 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即=且 已知直线、的方程为：，‎ ‎：‎ ‎∥的充要条件是 ‎ ‎⑵两条直线垂直的情形：如果两条直线的斜率分别是和，则这两条直线垂直的充要条件是．‎ 已知直线和的一般式方程为：，‎ ‎：，则 ‎ 二、讲解新课：‎ ‎1.直线到的角的定义：‎ 两条直线和相交构成四个角,它们是两对对顶角,我们把直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角.‎ 在图中,直线到的角是, 到的角是.‎ ‎ 到的角：0°＜θ＜1８0°.‎ ‎2．直线到的夹角定义: ‎ 如图，到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角.‎ 当直线⊥时,直线与的夹角是.‎ 夹角：0°＜≤90°.‎ 说明: ＞0, ＞0,且+=π ‎3．直线到的角的公式:.‎ 推导:设直线到的角，.‎ 如果 如果,设，的倾斜角分别是和，‎ 则.‎ 由图（1）和图（2）分别可知 于是 ‎ ‎4．直线，的夹角公式: ‎ 根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由到的角取绝对值而得到与的夹角公式.这一公式由夹角定义可得 三、讲解范例：‎ 例1 求直线的夹角(用角度制表示)‎ 解:由两条直线的斜率得 利用计算器计算或查表可得:≈71°34′‎ 说明:应用了两直线夹角公式,要求学生熟练掌握.‎ 例2 等腰三角形一腰所在直线的方程是,底边所在直线的方程是,点(-2,0)在另一腰上,求这条腰所在直线的方程.‎ 解:设，，的斜率分别为, 到的角是, 到的角是 ‎,则 因为，，所围成的三角形是等腰三角形,所以 ‎, 即 将代入得解得 因为经过点(-2,0),斜率为2,写出其点斜式方程为,得:. 即直线的方程 四、课堂练习：‎ ‎1．求下列直线到的角与到的角：‎ ‎（1）：＝＋2；：＝3+7；‎ ‎(2) ：－＝5；：＋2－3＝0‎ 解：（1）∵＝，＝3，∴设到的角为，‎ 则tan＝＝1 ‎ ‎∴＝４5°即到的角为45°.∴到的角为135°.‎ ‎(2)解：∵＝1，＝－ ‎ ‎∴设到的角为，则到的角为＝π－‎ ‎∴tan＝，∴＝π－arctan3. ＝arctan3‎ 即到的角为π－arctan3，到的角为arctan3 ‎ ‎2.求下列两条直线的夹角：‎ ‎（1）＝3－1，＝－＋４；‎ ‎（2）－＝5；＝４.‎ ‎(3)5－3＝9，6＋10＋7＝0.‎ 解：(1) ＝3，＝－，则 k1·＝-1，此时，两直线夹角为90°.‎ ‎（tan＝，分母为0，正切值不存在）.‎ ‎ (2) ＝1，＝0，tan＝＝1，∴＝４5°，‎ 即两直线夹角为４5°.‎ ‎(3) ＝，＝－，∴·＝－1，∴两直线夹角为90°‎ 五、小结 ：通过本节学习，要求大家掌握两直线的夹角公式，并区分与到的角的联系与区别，能够利用它解决一定的平面几何问题 六、课后作业：课本P53习题7.3‎ ‎8.三角形的三个顶点是A(6，3)，B(9，3)，C(3，6)，求它的三个内角的度数. ‎ 解：由斜率公式：‎ ‎＝＝0，＝，＝＝－1 ‎ tanCAB＝＝－1，∴∠CAB＝135°‎ tanABC＝，∴∠CBA＝arctan＝26°3４′‎ ‎∴∠C＝180°－135°－26°3４′＝18°26′‎ ‎9.已知直线经过点P（2,1），且和直线5＋2＋3＝0的夹角等于45°，求直线的方程.‎ 解：设直线的斜率为，直线5x＋2y＋3＝0的斜率为.‎ 则＝－.tan４5°＝＝1，即＝1‎ 解得＝-或＝.‎ 所以直线的方程为：－1＝－（－2）或－1＝（－2）‎ 即：3＋7－13＝0或7－3－11＝0 ‎ 七、板书设计（略）‎ 八、课后记：‎