高科数学专题复习课件：9_2　两条直线的位置关系 79页

§9.2 　两条直线的位置关系 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 两条直线平行与垂直 ① 两条直线平行： ( ⅰ ) 对于两条不重合的直线 l 1 、 l 2 ，若其斜率分别为 k 1 、 k 2 ，则有 l 1 ∥ l 2 ⇔ . ( ⅱ ) 当直线 l 1 、 l 2 不重合且斜率都不存在时， l 1 ∥ l 2 . ② 两条直线垂直： ( ⅰ ) 如果两条直线 l 1 、 l 2 的斜率存在，设为 k 1 、 k 2 ，则有 l 1 ⊥ l 2 ⇔ . 1. 两条直线的位置关系 知识梳理 k 1 ＝ k 2 k 1 · k 2 ＝－ 1 直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 ，则 l 1 与 l 2 的交点 坐标 就是方程组 的 解 . ( ⅱ ) 当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为 0 时， l 1 ⊥ l 2 . (2) 两条直线的交点 2. 几种距离 (1) 两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 之间的距离 | P 1 P 2 | ＝ . (2) 点 P 0 ( x 0 ， y 0 ) 到直线 l ： Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的距离 d ＝ . (3) 两条平行线 Ax ＋ By ＋ C 1 ＝ 0 与 Ax ＋ By ＋ C 2 ＝ 0( 其中 C 1 ≠ C 2 ) 间的 距离 d ＝ . 1. 直线系方程 (1) 与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 平行的直线系方程是 Ax ＋ By ＋ m ＝ 0( m ∈ R 且 m ≠ C ). (2) 与直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 垂直的直线系方程是 Bx － Ay ＋ n ＝ 0( n ∈ R ). 2. 两直线平行或重合的充要条件 直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 平行或重合的充要条件 是 . 知识 拓展 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 3. 两直线垂直的充要条件 直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 垂直的充要条件 是 . 4. 过直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与 l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 的交点的直线系方程为 A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＋ λ ( A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ) ＝ 0( λ ∈ R ) ，但不包括 l 2 . 5. 点到直线与两平行线间的距离的使用条件： (1) 求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式 . (2) 求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且 x ， y 的系数对应相等 . A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 当直线 l 1 和 l 2 斜率都存在时，一定有 k 1 ＝ k 2 ⇒ l 1 ∥ l 2 .( 　　 ) (2) 如果两条直线 l 1 与 l 2 垂直，则它们的斜率之积一定等于－ 1.( 　　 ) (3) 已知直线 l 1 ： A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 ， l 2 ： A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0( A 1 、 B 1 、 C 1 、 A 2 、 B 2 、 C 2 为常数 ) ，若直线 l 1 ⊥ l 2 ，则 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0.( 　　 ) 思考辨析 × × √ × (5) 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离 .( 　　 ) (6) 若点 A ， B 关于直线 l ： y ＝ kx ＋ b ( k ≠ 0) 对称，则直线 AB 的斜率等于 － ， 且线段 AB 的中点在直线 l 上 .( 　　 ) √ √ 1.(2016· 天津模拟 ) 过点 (1,0) 且与直线 x － 2 y － 2 ＝ 0 平行的直线方程 是 A. x － 2 y － 1 ＝ 0 B. x － 2 y ＋ 1 ＝ 0 C.2 x ＋ y － 2 ＝ 0 D. x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 考点自测 答案 解析 所以所求直线方程为 x － 2 y － 1 ＝ 0. 2.( 教材改编 ) 已知点 ( a, 2)( a >0) 到直线 l ： x － y ＋ 3 ＝ 0 的距离为 1 ，则 a 等于 答案 解析 3. 已知直线 l 过圆 x 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 4 的圆心，且与直线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 垂直，则 l 的方程 是 A. x ＋ y － 2 ＝ 0 B. x － y ＋ 2 ＝ 0 C. x ＋ y － 3 ＝ 0 D. x － y ＋ 3 ＝ 0 圆 x 2 ＋ ( y － 3) 2 ＝ 4 的圆心为点 (0,3) ， 又因为直线 l 与直线 x ＋ y ＋ 1 ＝ 0 垂直， 所以直线 l 的斜率 k ＝ 1. 由点斜式得直线 l ： y － 3 ＝ x － 0 ，化简得 x － y ＋ 3 ＝ 0. 答案 解析 4.( 2017· 朝阳调研 ) 已知过点 A ( － 2 ， m ) 和点 B ( m ， 4) 的直线为 l 1 ，直线 2 x ＋ y － 1 ＝ 0 为 l 2 ，直线 x ＋ ny ＋ 1 ＝ 0 为 l 3 ，若 l 1 ∥ l 2 ， l 2 ⊥ l 3 ，则实数 m ＋ n 的 值为 A. － 10 B. － 2 C.0 D.8 答案 解析 解得 n ＝－ 2 ， ∴ m ＋ n ＝－ 10. 5.( 教材改编 ) 若直线 (3 a ＋ 2) x ＋ (1 － 4 a ) y ＋ 8 ＝ 0 与 (5 a － 2) x ＋ ( a ＋ 4) y － 7 ＝ 0 垂直，则 a ＝ ________. 答案 解析 0 或 1 由两直线垂直的充要条件，得 (3 a ＋ 2)(5 a － 2) ＋ (1 － 4 a )( a ＋ 4) ＝ 0 ，解得 a ＝ 0 或 a ＝ 1. 题型分类　深度剖析 题型一　两条直线的平行与垂直 例 1 　 (1) 设不同直线 l 1 ： 2 x － my － 1 ＝ 0 ， l 2 ： ( m － 1) x － y ＋ 1 ＝ 0. 则 “ m ＝ 2 ” 是 “ l 1 ∥ l 2 ” 的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 解析 当 m ＝ 2 时，代入两直线方程中， 易知两直线平行，即充分性成立 . 当 l 1 ∥ l 2 时，显然 m ≠ 0 ，从而 有 ＝ m － 1 ， 解得 m ＝ 2 或 m ＝－ 1 ， 但当 m ＝－ 1 时，两直线重合，不合要求， 故必要性成立，故选 C. (2) 已知直线 l 1 ： ax ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 和直线 l 2 ： x ＋ ( a － 1) y ＋ a 2 － 1 ＝ 0. ① 试判断 l 1 与 l 2 是否平行； 解答 方法一 　当 a ＝ 1 时， l 1 ： x ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 ， l 2 ： x ＝ 0 ， l 1 不平行于 l 2 ； 当 a ＝ 0 时， l 1 ： y ＝－ 3 ， l 2 ： x － y － 1 ＝ 0 ， l 1 不平行于 l 2 ； 综上可知， a ＝－ 1 时， l 1 ∥ l 2 . 方法二 　由 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 ， 得 a ( a － 1) － 1 × 2 ＝ 0 ， 由 A 1 C 2 － A 2 C 1 ≠ 0 ，得 a ( a 2 － 1) － 1 × 6 ≠ 0 ， 故当 a ＝－ 1 时， l 1 ∥ l 2 . ② 当 l 1 ⊥ l 2 时，求 a 的值 . 解答 方法一 　当 a ＝ 1 时， l 1 ： x ＋ 2 y ＋ 6 ＝ 0 ， l 2 ： x ＝ 0 ， l 1 与 l 2 不垂直，故 a ＝ 1 不成立； 当 a ＝ 0 时， l 1 ： y ＝－ 3 ， l 2 ： x － y － 1 ＝ 0 ， l 1 不垂直于 l 2 ； 当 a ≠ 1 且 a ≠ 0 时， 思维 升华 (1) 当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况 . 同时还要注意 x ， y 的系数不能同时为零这一隐含条件 . (2) 在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论 . 跟踪训练 1 已知 两直线 l 1 ： x ＋ y sin α － 1 ＝ 0 和 l 2 ： 2 x ·sin α ＋ y ＋ 1 ＝ 0 ，求 α 的值，使得： (1) l 1 ∥ l 2 ； 解答 方法一 　当 sin α ＝ 0 时，直线 l 1 的斜率不存在， l 2 的斜率为 0 ，显然 l 1 不平行于 l 2 . 方法二 　由 A 1 B 2 － A 2 B 1 ＝ 0 ，得 2sin 2 α － 1 ＝ 0 ， 又 B 1 C 2 － B 2 C 1 ≠ 0 ，所以 1 ＋ sin α ≠ 0 ，即 sin α ≠ － 1. (2) l 1 ⊥ l 2 . 解答 因为 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0 是 l 1 ⊥ l 2 的充要条件， 所以 2sin α ＋ sin α ＝ 0 ，即 sin α ＝ 0 ，所以 α ＝ k π ， k ∈ Z . 故当 α ＝ k π ， k ∈ Z 时， l 1 ⊥ l 2 . 题型二　两条直线的交点与距离问题 例 2 　 (1)(2016· 长沙模拟 ) 求经过两条直线 l 1 ： x ＋ y － 4 ＝ 0 和 l 2 ： x － y ＋ 2 ＝ 0 的交点，且与直线 2 x － y － 1 ＝ 0 垂直的直线方程为 ______________. 答案 解析 x ＋ 2 y － 7 ＝ 0 ∴ l 1 与 l 2 的交点坐标为 (1,3). 设与直线 2 x － y － 1 ＝ 0 垂直的直线方程为 x ＋ 2 y ＋ c ＝ 0 ， 则 1 ＋ 2 × 3 ＋ c ＝ 0 ， ∴ c ＝－ 7. ∴ 所求直线方程为 x ＋ 2 y － 7 ＝ 0. (2) 直线 l 过点 P ( － 1,2) 且到点 A (2,3) 和点 B ( － 4,5) 的距离相等，则直线 l 的方程为 ____________________. 答案 解析 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1 方法一 　当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y － 2 ＝ k ( x ＋ 1) ，即 kx － y ＋ k ＋ 2 ＝ 0. 即 |3 k － 1| ＝ | － 3 k － 3| ， 即 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x ＝－ 1 ，也符合题意 . 故所求直线 l 的方程为 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1. 即 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0. 当 l 过 AB 的中点时， AB 的中点为 ( － 1,4). ∴ 直线 l 的方程为 x ＝－ 1. 故所求直线 l 的方程为 x ＋ 3 y － 5 ＝ 0 或 x ＝－ 1. 思维 升华 (1) 求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程 . (2) 利用距离公式应注意： ① 点 P ( x 0 ， y 0 ) 到直线 x ＝ a 的距离 d ＝ | x 0 － a | ，到直线 y ＝ b 的距离 d ＝ | y 0 － b | ； ② 两平行线间的距离公式要把两直线方程中 x ， y 的系数化为相等 . 跟踪训练 2 (1) 如 图，设一直线过点 ( － 1,1) ，它被两平行直线 l 1 ： x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 所截的线段的中点在直线 l 3 ： x － y － 1 ＝ 0 上，求其方程 . 解答 与 l 1 、 l 2 平行且距离相等的直线方程为 x ＋ 2 y － 2 ＝ 0. 设所求直线方程为 ( x ＋ 2 y － 2) ＋ λ ( x － y － 1) ＝ 0 ， 即 (1 ＋ λ ) x ＋ (2 － λ ) y － 2 － λ ＝ 0. 又直线过 ( － 1,1) ， ∴ (1 ＋ λ )( － 1) ＋ (2 － λ )·1 － 2 － λ ＝ 0. ∴ 所求直线方程为 2 x ＋ 7 y － 5 ＝ 0. (2)(2016· 济南模拟 ) 若动点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 分别在直线 l 1 ： x － y － 5 ＝ 0 ， l 2 ： x － y － 15 ＝ 0 上移动，则 P 1 P 2 的中点 P 到原点的距离的最小值 是 答案 解析 ∵ x 1 － y 1 － 5 ＝ 0 ， x 2 － y 2 － 15 ＝ 0. ∴ ( x 1 ＋ x 2 ) － ( y 1 ＋ y 2 ) ＝ 20 ，即 x － y ＝ 10. ∴ y ＝ x － 10 ， ∴ P ( x ， x － 10) ， 题型三　对称问题 命题点 1 　点关于点中心对称 例 3 　 过点 P (0,1) 作直线 l ，使它被直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 8 ＝ 0 和 l 2 ： x － 3 y ＋ 10 ＝ 0 截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为 ___________. 答案 解析 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0 设 l 1 与 l 的交点为 A ( a, 8 － 2 a ) ，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B ( － a , 2 a － 6) 在 l 2 上，代入 l 2 的方程得－ a － 3(2 a － 6) ＋ 10 ＝ 0 ，解得 a ＝ 4 ，即点 A (4,0) 在直线 l 上，所以直线 l 的方程为 x ＋ 4 y － 4 ＝ 0. 命题点 2 　点关于直线对称 例 4 　如图，已知 A (4,0) ， B (0,4) ，从点 P (2,0) 射出的光线经直线 AB 反射后再射到直线 OB 上，最后经直线 OB 反射后又回到 P 点，则光线所经过的路程 是 答案 解析 直线 AB 的方程为 x ＋ y ＝ 4 ，点 P (2,0) 关于直线 AB 的对称点为 D (4,2) ，关于 y 轴的对称点为 C ( － 2,0). 命题点 3 　直线关于直线的对称问题 例 5 　 (2016· 泰安模拟 ) 已知直线 l ： 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0 ，求直线 m ： 3 x － 2 y － 6 ＝ 0 关于直线 l 的对称直线 m ′ 的方程 . 解答 在直线 m 上任取一点，如 M (2,0) ，则 M (2,0) 关于直线 l 的对称点 M ′ 必在直线 m ′ 上 . 设对称点 M ′ ( a ， b ) ， 则 设直线 m 与直线 l 的交点为 N ，则 得 N (4,3). 又 ∵ m ′ 经过点 N (4,3). ∴ 由两点式得直线 m ′ 的方程为 9 x － 46 y ＋ 102 ＝ 0. 思维 升华 解决对称问题的方法 (1) 中心对称 ② 直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决 . (2) 轴对称 ① 点 A ( a ， b ) 关于直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( B ≠ 0) 的对称点 A ′ ( m ， n ) ，则 ② 直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决 . 跟踪训练 3 已知 直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 ，求： (1) 点 P (4,5) 关于 l 的对称点； 解答 设 P ( x ， y ) 关于直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 的对称点为 P ′ ( x ′ ， y ′ ) ， 又 PP ′ 的中点在直线 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 上， 把 x ＝ 4 ， y ＝ 5 代入 ③④ 得 x ′ ＝－ 2 ， y ′ ＝ 7 ， ∴ P (4,5) 关于直线 l 的对称点 P ′ 的坐标为 ( － 2,7). (2) 直线 x － y － 2 ＝ 0 关于直线 l 对称的直线方程； 解答 用 ③④ 分别代换 x － y － 2 ＝ 0 中的 x ， y ， 化简得 7 x ＋ y ＋ 22 ＝ 0. (3) 直线 l 关于 (1,2) 的对称直线 . 解答 在直线 l ： 3 x － y ＋ 3 ＝ 0 上取点 M (0,3) 关于 (1,2) 的对称点 M ′ ( x ′ ， y ′ ) ， l 关于 (1,2) 的对称直线平行于 l ， ∴ k ＝ 3 ， ∴ 对称直线方程为 y － 1 ＝ 3 × ( x － 2) ， 即 3 x － y － 5 ＝ 0. 一、平行直线系 由于两直线平行，它们的斜率相等或它们的斜率都不存在，因此两直线平行时，它们的一次项系数与常数项有必然的联系 . 典例 1 　 求与直线 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0 平行且过点 (1,2) 的直线 l 的方程 . 妙用 直线系求直线方程 思想与方法系列 20 因为所求直线与 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0 平行，因此，可设该直线方程为 3 x ＋ 4 y ＋ c ＝ 0( c ≠ 1). 规范解答 思想方法指 导 解 　 依题意，设所求直线方程为 3 x ＋ 4 y ＋ c ＝ 0( c ≠ 1) ， 又因为直线过点 (1,2) ， 所以 3 × 1 ＋ 4 × 2 ＋ c ＝ 0 ，解得 c ＝－ 11. 因此，所求直线方程为 3 x ＋ 4 y － 11 ＝ 0. 返回 二、垂直直线系 由于直线 A 1 x ＋ B 1 y ＋ C 1 ＝ 0 与 A 2 x ＋ B 2 y ＋ C 2 ＝ 0 垂直的充要条件为 A 1 A 2 ＋ B 1 B 2 ＝ 0. 因此，当两直线垂直时，它们的一次项系数有必要的关系 . 可以考虑用直线系方程求解 . 典例 2 　 求经过 A (2,1) ，且与直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 垂直的直线 l 的方程 . 依据两直线垂直的特征设出方程，再由待定系数法求解 . 规范解答 思想方法指 导 解　 因为所求直线与直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 垂直，所以设该直线方程为 x － 2 y ＋ C 1 ＝ 0 ，又直线过点 (2,1) ，所以有 2 － 2 × 1 ＋ C 1 ＝ 0 ，解得 C 1 ＝ 0 ，即所求直线方程为 x － 2 y ＝ 0. 返回 三、过直线交点的直线系 典例 3 　求经过两直线 l 1 ： x － 2 y ＋ 4 ＝ 0 和 l 2 ： x ＋ y － 2 ＝ 0 的交点 P ，且与直线 l 3 ： 3 x － 4 y ＋ 5 ＝ 0 垂直的直线 l 的方程 . 可分别求出直线 l 1 与 l 2 的交点及直线 l 的斜率 k ，直接写出方程；也可以利用过交点的直线系方程设直线方程，再用待定系数法求解 . 规范解答 思想方法指 导 几何画板展示 解　 方法一　 解方程组 即 4 x ＋ 3 y － 6 ＝ 0. 方法二　 设直线 l 的方程为 x － 2 y ＋ 4 ＋ λ ( x ＋ y － 2) ＝ 0 ， 返回 即 (1 ＋ λ ) x ＋ ( λ － 2) y ＋ 4 － 2 λ ＝ 0. 又 ∵ l ⊥ l 3 ， ∴ 3 × (1 ＋ λ ) ＋ ( － 4) × ( λ － 2) ＝ 0 ， 解得 λ ＝ 11. ∴ 直线 l 的方程为 4 x ＋ 3 y － 6 ＝ 0. 返回 课时作业 1. 设 a ∈ R ，则 “ a ＝ 1 ” 是 “ 直线 l 1 ： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ ( a ＋ 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行 ” 的 A. 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D . 既不充分也不必要条件 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 解析 (1) 充分性：当 a ＝ 1 时， 直线 l 1 ： x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ 2 y ＋ 4 ＝ 0 平行； (2) 必要性：当直线 l 1 ： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ ( a ＋ 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行时有 a ＝－ 2 或 1. 所以 “ a ＝ 1 ” 是 “ 直线 l 1 ： ax ＋ 2 y － 1 ＝ 0 与直线 l 2 ： x ＋ ( a ＋ 1) y ＋ 4 ＝ 0 平行 ” 的充分不必要条件，故选 A. 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(2016· 济南模拟 ) “ m ＝ 3 ” 是 “ 直线 l 1 ： 2( m ＋ 1) x ＋ ( m － 3) y ＋ 7 － 5 m ＝ 0 与直线 l 2 ： ( m － 3) x ＋ 2 y － 5 ＝ 0 垂直 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 √ 答案 解析 由 l 1 ⊥ l 2 ，得 2( m ＋ 1)( m － 3) ＋ 2( m － 3) ＝ 0 ， ∴ m ＝ 3 或 m ＝－ 2. ∴ m ＝ 3 是 l 1 ⊥ l 2 的充分不必要条件 . 13 3.(2016· 山东省实验中学质检 ) 从点 (2,3) 射出的光线沿与向量 a ＝ (8,4) 平行的直线射到 y 轴上，则反射光线所在的直线方程 为 A. x ＋ 2 y － 4 ＝ 0 B.2 x ＋ y － 1 ＝ 0 C. x ＋ 6 y － 16 ＝ 0 D.6 x ＋ y － 8 ＝ 0 √ 答案 解析 由直线与向量 a ＝ (8,4) 平行知：过点 (2,3) 的直线的斜率 k ＝ ， 所以直线的方程为 y － 3 ＝ ( x － 2) ，其与 y 轴的交点坐标为 (0,2) ，又点 (2,3) 关于 y 轴的对称点为 ( － 2,3) ，所以反射光线过点 ( － 2,3) 与 (0,2) ，由两点式知 A 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.( 2017· 兰州 月考 ) 一只虫子从点 O (0,0) 出发，先爬行到直线 l ： x － y ＋ 1 ＝ 0 上的 P 点，再从 P 点出发爬行到点 A (1 ， 1) ，则虫子爬行的最短路程 是 √ 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(2016· 绵阳模拟 ) 若 P ， Q 分别为直线 3 x ＋ 4 y － 12 ＝ 0 与 6 x ＋ 8 y ＋ 5 ＝ 0 上任意一点，则 | PQ | 的最小值 为 由题意可知 | PQ | 的最小值为这两条平行直线间的距离， √ 答案 解析 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(2016· 厦门模拟 ) 将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0,2) 与点 (4,0) 重合，点 (7,3) 与点 ( m ， n ) 重合，则 m ＋ n 等于 √ 答案 解析 13 由题意可知，纸的折痕应是点 (0,2) 与点 (4,0) 连线的中垂线， 即直线 y ＝ 2 x － 3 ，它也是点 (7,3) 与点 ( m ， n ) 连线的中垂线， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(2016· 忻州训练 ) 已知两直线 l 1 ： ax － by ＋ 4 ＝ 0 和 l 2 ： ( a － 1) x ＋ y ＋ b ＝ 0 ， 若 l 1 ∥ l 2 ，且坐标原点到这两条直线的距离相等，则 a ＋ b ＝ ________. 答案 解析 13 经检验，两种情况均符合题意， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 已知直线 l 1 ： ax ＋ y － 1 ＝ 0 ，直线 l 2 ： x － y － 3 ＝ 0 ，若直线 l 1 的倾斜角 为 ， 则 a ＝ ________ ；若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a ＝ ________ ；若 l 1 ∥ l 2 ，则两平行直线间的距离为 ________. 答案 解析 － 1 1 若 l 1 ⊥ l 2 ，则 a × 1 ＋ 1 × ( － 1) ＝ 0 ，故 a ＝ 1 ； 若 l 1 ∥ l 2 ，则 a ＝－ 1 ， l 1 ： x － y ＋ 1 ＝ 0 ，两平行直线间的 距离 d ＝ 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9. 如图，已知直线 l 1 ∥ l 2 ，点 A 是 l 1 ， l 2 之间的定点，点 A 到 l 1 ， l 2 之间的距离分别为 3 和 2 ，点 B 是 l 2 上的一动点，作 AC ⊥ AB ，且 AC 与 l 1 交于点 C ，则 △ ABC 的面积的最小值为 ____. 答案 解析 6 13 以 A 为坐标原点，平行于 l 1 的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系，设 B ( a ，－ 2) ， C ( b, 3). ∵ AC ⊥ AB ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(2016· 重庆模拟 ) 在平面直角坐标系内，到点 A (1,2) ， B (1,5) ， C (3,6) ， D (7 ，－ 1) 的距离之和最小的点的坐标是 _______. 答案 解析 (2,4) 13 如图，设平面直角坐标系中任一点 P ， P 到点 A (1,2) ， B (1,5 ) ， C (3,6) ， D (7 ，－ 1) 的距离之和为 | PA | ＋ | PB | ＋ | PC | ＋ | PD | ＝ | PB | ＋ | PD | ＋ | PA | ＋ | PC | ≥ | BD | ＋ | AC | ＝ | QA | ＋ | QB | ＋ | QC | ＋ | QD | ，故四边形 ABCD 对角线 的 交点 Q 即为所求距离之和最小的点 . ∵ A (1,2) ， B (1,5) ， C (3,6) ， D (7 ，－ 1) ， ∴ 直线 AC 的方程为 y － 2 ＝ 2( x － 1) ，直线 BD 的方程为 y － 5 ＝－ ( x － 1 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11. 已知方程 (2 ＋ λ ) x － (1 ＋ λ ) y － 2(3 ＋ 2 λ ) ＝ 0 与点 P ( － 2,2). (1) 证明：对任意的实数 λ ，该方程都表示直线，且这些直线都经过同一定点，并求出这一定点的坐标； 证明 显然 2 ＋ λ 与－ (1 ＋ λ ) 不可能同时为零，故对任意的实数 λ ， 该 方程都表示直线 . ∵ 方程可变形为 2 x － y － 6 ＋ λ ( x － y － 4) ＝ 0 ， 13 证明 过 P 作直线的垂线段 PQ ，由垂线段小于斜线段知 | PQ | ≤ | PM | ， 当且仅当 Q 与 M 重合时， | PQ | ＝ | PM | ， 此时对应的直线方程是 y ＋ 2 ＝ x － 2 ，即 x － y － 4 ＝ 0. 但直线系方程唯独不能表示直线 x － y － 4 ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12.(2016· 北京朝阳区模拟 ) 已知 △ ABC 的顶点 A (5,1) ， AB 边上的中线 CM 所在直线方程为 2 x － y － 5 ＝ 0 ， AC 边上的高 BH 所在直线方程为 x － 2 y － 5 ＝ 0 ，求直线 BC 的方程 . 解答 13 依题意知： k AC ＝－ 2 ， A (5,1) ， ∴ l AC 为 2 x ＋ y － 11 ＝ 0 ， 代入 2 x － y － 5 ＝ 0 ，得 2 x 0 － y 0 － 1 ＝ 0 ， 即 6 x － 5 y － 9 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知三条直线： l 1 ： 2 x － y ＋ a ＝ 0( a ＞ 0) ； l 2 ：－ 4 x ＋ 2 y ＋ 1 ＝ 0 ； l 3 ： x ＋ y － 1 ＝ 0 ，且 l 1 与 l 2 间的距离 是 . (1) 求 a 的值 ； 又 a ＞ 0 ，解得 a ＝ 3. 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ( 2) 能否找到一点 P ，使 P 同时满足下列三个条件： ① 点 P 在第一象限； ② 点 P 到 l 1 的距离是点 P 到 l 2 的距离 的 ； ③ 点 P 到 l 1 的距离与点 P 到 l 3 的距离之比 是 若 能，求点 P 的坐标；若不能，说明理由 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 假设存在点 P ，设点 P ( x 0 ， y 0 ). 若点 P 满足条件 ② ，则点 P 在与 l 1 ， l 2 平行的直线 l ′ ： 2 x － y ＋ c ＝ 0 上， 若点 P 满足条件 ③ ，由点到直线的距离公式， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 即 |2 x 0 － y 0 ＋ 3| ＝ | x 0 ＋ y 0 － 1| ，所以 x 0 － 2 y 0 ＋ 4 ＝ 0 或 3 x 0 ＋ 2 ＝ 0 ； 由于点 P 在第一象限，所以 3 x 0 ＋ 2 ＝ 0 不可能 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13