2021届新高考版高考数学一轮复习课件：§9-3　椭圆（讲解部分） 21页

§9.3 椭圆 高考数学 考点一　椭圆的定义及标准方程 1.定义 平面内与两个定点 F 1 、 F 2 的距离的和① 　等于     常数(大于| F 1 F 2 |)的点的轨 迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合语言: P ={ M || MF 1 |+| MF 2 |=2 a ,2 a >| F 1 F 2 |},| F 1 F 2 |=2 c ,其中 a > c >0,且 a , c 为常数. 注意　若 2 a =| F 1 F 2 |, 则动点的轨迹是线段 F 1 F 2 ; 若 2 a <| F 1 F 2 |, 则动点的轨迹不 存在 . 考点清单 2.标准方程 (1)中心在坐标原点,焦点在 x 轴上的椭圆的标准方程为   +   =1( a > b >0); (2)中心在坐标原点,焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程为   +   =1( a > b >0). 注意:(1)焦点位置的判断 焦点在 x 轴上 ⇔ 标准方程中含 x 2 项的分母较大;焦点在 y 轴上 ⇔ 标准方程中 含 y 2 项的分母较大. (2) a 2 = b 2 + c 2 ,即 a 最大. 3.焦点三角形 (1) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F 1 , F 2 为椭圆的两焦点,则   = b 2 tan   ,其中∠ F 1 PF 2 = θ ; (2) P 是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点, F 1 , F 2 为椭圆的两焦点,则△ PF 1 F 2 的周长为2( a + c ). (3)过焦点 F 1 的弦 AB 与椭圆另一个焦点 F 2 构成的△ ABF 2 的周长为4 a . 考点二　椭圆的几何性质 1.椭圆的方程与简单几何性质 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上 标准方程 ②        +   =1( a > b >0)       +   =1( a > b >0) 一般方程 Ax 2 + By 2 =1( A >0, B >0, A ≠ B ) 图形     焦点坐标 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0) F 1 (0,- c ), F 2 (0, c ) 顶点坐标 A 1 (- a ,0), A 2 ( a ,0) B 1 (0,- b ), B 2 (0, b ) A 1 (0,- a ), A 2 (0, a ) B 1 (- b ,0), B 2 ( b ,0) 范围 | x | ≤ a ,| y | ≤ b | x | ≤ b ,| y | ≤ a 长轴长 | A 1 A 2 |=2 a 短轴长 | B 1 B 2 |=2 b 焦距 | F 1 F 2 |=2 c 离心率 e =③ 　   　 =   (0< e <1), 2.常用结论 (1)设 P , A , B 是中心在原点的椭圆上不同的三点,其中 A , B 两点关于原点对称, 且直线 PA 、 PB 的斜率都存在,则 k PA · k PB =-   . 注意:适用于焦点在 x 轴上,当焦点在 y 轴上时,直线 PA 与 PB 的斜率之积为定 值-   . (2) P 是椭圆上一点, F 为椭圆的焦点,则| PF |∈[ a - c , a + c ],即 椭圆上的点到焦点 距离的最大值为 a + c ,最小值为 a - c ; (3) 椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为   ,通径是最短的焦点弦. 考点三　直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆的位置关系的判断 把椭圆方程   +   =1( a > b >0)与直线方程 y = kx + h 联立消去 y ,整理成 Ax 2 + Bx + C =0( A ≠ 0)的形式,则: Δ = B 2 -4 AC 直线与椭圆的位置关系 Δ >0 直线与椭圆相交,有两个公共点 Δ =0 直线与椭圆相切,有一个公共点 Δ <0 直线与椭圆相离,无公共点 知识拓展　点与椭圆的位置关系 已知点 P ( x 0 , y 0 ),椭圆   +   =1( a > b >0),则 (1)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆内 ⇔   +   <1; (2)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆上 ⇔   +   =1; (3)点 P ( x 0 , y 0 )在椭圆外 ⇔   +   >1. 2.弦长公式 设直线 l : y = kx + m 与椭圆交于 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 则| AB |=   ; | AB |=   | x 1 - x 2 |=     ; | AB |=     ( k ≠ 0). 注意    对于一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠ 0), Δ ≥ 0,| x 1 - x 2 |=   . 3.弦中点问题 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )为弦端点坐标, P ( x 0 , y 0 )为 AB 中点,其中 k =   ( x 1 ≠ x 2 ). 若椭圆方程为   +   =1( a > b >0),则 k =-   . 若椭圆方程为   +   =1( a > b >0),则 k =-   . 考法一 　与椭圆定义相关的问题 知能拓展 例1 　(1)(2018广东七校二联,15)已知点 P 是圆 F 1 :( x +1) 2 + y 2 =16上任意一点, 点 F 2 与点 F 1 关于原点对称,线段 PF 2 的垂直平分线 m 分别与 PF 1 , PF 2 交于 M , N 两点,则点 M 的轨迹方程为 　　　　　　　     . (2)过点 M (0,1)的直线 l 交椭圆   +   =1于 A 、 B 两点, F 为椭圆的右焦点,则△ ABF 周长的最大值为 　　　     . 解题导引　 (1)应先确定点 M 的轨迹形状,由于 M 是随 P 在圆上运动而变化 的,故| PF 1 |为定值;同时, M 还在 PF 2 的垂直平分线上,则| MF 2 |=| MP |,结合图形 可知,| MF 1 |+| MF 2 |=| MF 1 |+| MP |=| PF 1 |为定值,且大于| F 1 F 2 |,则 M 运动形成椭圆. (2)要求△ ABF 周长最值,一种方法是找到取最值的几何位置,另一种方法是 建立周长关于变量的函数,从而求最值;结合本题,三边均变化,同时 A , B 在椭 圆上,考虑位置,由于| AB | ≤ | AF 1 |+| BF 1 |,当 AB 过 F 1 时取“=”,因此△ ABF 的周 长| AB |+| BF |+| AF | ≤ | AF 1 |+| BF 1 |+| AF |+| BF |=4 a ( a 为椭圆长半轴的长). 解析　 (1)如图所示,连 MF 2 ,由题意知 F 2 (1,0). ∵直线 m 是线段 PF 2 的垂直平分线, ∴| MP |=| MF 2 |,又知| MP |+| MF 1 |=4, ∴| MF 1 |+| MF 2 |=4>| F 1 F 2 |=2. ∴点 M 的轨迹是以 F 1 , F 2 为焦点的椭圆,且2 a =4,2 c =2.∴ b 2 =3. ∴点 M 的轨迹方程为   +   =1. (2)设椭圆的左焦点为 F 1 .如图所示,连接 AF 1 , BF 1 , 由题意,可知椭圆的左、右焦点坐标分别为 F 1 (-2,0), F (2,0), a =2   ,又由椭圆的定义可得| AF |=4   -| AF 1 |, | BF |=4   -| BF 1 |,所以△ ABF 的周长为| AF |+| BF |+| AB |=8   +| AB |-(| AF 1 |+| BF 1 |), 显然| AF 1 |+| BF 1 | ≥ | AB |,当且仅当 A , B , F 1 共线时周长最大,最大值为8   . 答案　 (1)   +   =1　(2)8   考法二 　椭圆离心率问题的求法 例2 　(1)(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆 G :   +   =1( a > b >0)的 两个焦点为 F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0), M 是椭圆上的一点,且满足   ·   =0.则椭圆离 心率 e 的取值范围为(　　) A.   　    B.   C.   　    D.   (2)(2019辽宁重点中学第三次联考,15)已知点 P 是椭圆   +   =1( a > b >0)上 的一点, F 1 , F 2 分别为椭圆的左、右焦点,已知∠ F 1 PF 2 =120 ° ,且| PF 1 |=2| PF 2 |, 则椭圆的离心率为 　　　     . 解题导引 　(2)求离心率的实质是找 a 与 c 的等量关系,结合题设条件中△ F 1 PF 2 的边长及角度关系,运用余弦定理可得到 a 与 c 的数量关系,从而求出离心率. 解析 　(1)解法一:设点 M 的坐标为( x 0 , y 0 ),∵   ·   =0, F 1 (- c ,0), F 2 ( c ,0),∴( x 0 + c )·( x 0 - c )+   =0,即   +   = c 2 ①,又知点 M 在椭圆 G 上,∴   +   =1②, 由①②联立结合 a 2 - b 2 = c 2 解得   =   ,由椭圆的性质可得0 ≤   ≤ a 2 ,即   即   所以 c 2 ≥ b 2 ,又知 b 2 = a 2 - c 2 ,∴ c 2 ≥ a 2 - c 2 ,即2 c 2 ≥ a 2 ,解 得 e 2 ≥   ,又知0< e <1,∴   ≤ e <1,故选D. 解法二:∵   ·   =0,∴ MF 1 ⊥ MF 2 ,即△ MF 1 F 2 是以 M 为直角顶点的直角三 角形,∵| MF 1 |+| MF 2 |=2 a ,| F 1 F 2 |=2 c , ∴椭圆的离心率 e =   =   , 又知(| MF 1 |+| MF 2 |) 2 ≤ 2(| MF 1 | 2 +| MF 2 | 2 )=2| F 1 F 2 | 2 =8 c 2 , ∴| MF 1 |+| MF 2 | ≤ 2   c , ∴ e =   ≥   =   , 当且仅当| MF 1 |=| MF 2 |=   c 时,等号成立, 又知0< e <1,∴ e ∈   .故选D. 解法三:如图所示,当 M 在椭圆的上顶点 M 0 处时,   由已知条件,知∠ F 1 M 0 F 2 ≥ 90 ° ,因此∠ F 2 M 0 O ≥ 45 ° , 又∵ M 0 F 2 = a , OF 2 = c . ∴ e =   =sin∠ F 2 M 0 O ,∵∠ F 2 M 0 O ∈   , ∴   ≤ e <1,故选D. (2)由椭圆定义可知| PF 1 |+| PF 2 |=2 a , 又知| PF 1 |=2| PF 2 |,∴| PF 2 |=   ,| PF 1 |=   . 在△ PF 1 F 2 中,| F 1 F 2 | 2 =| PF 1 | 2 +| PF 2 | 2 -2| PF 1 || PF 2 |·cos∠ F 1 PF 2 ,即4 c 2 =   a 2 +   -   ×   ,即4 c 2 =   a 2 ,∴   =   .∴椭圆的离心率 e =   =   . 答案　 (1)D　(2)   考法三 　直线与椭圆位置关系问题的解法 例3     (2016四川,20,13分)已知椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的两个焦点与短轴 的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线 l : y =- x +3与椭圆 E 有且只有一个 公共点 T . (1)求椭圆 E 的方程及点 T 的坐标; (2)设 O 是坐标原点,直线 l '平行于 OT ,与椭圆 E 交于不同的两点 A , B ,且与直线 l 交于点 P .证明:存在常数 λ ,使得| PT | 2 = λ | PA |·| PB |,并求 λ 的值. 解题导引        解析 　(1)由已知,得 a =   b , 则椭圆 E 的方程为   +   =1. 由方程组   得3 x 2 -12 x +(18-2 b 2 )=0.① 方程①的判别式为 Δ =24( b 2 -3),由 Δ =0,得 b 2 =3, 此时方程①的解为 x 1 = x 2 =2, 所以椭圆 E 的方程为   +   =1. 点 T 的坐标为(2,1). (2)证明:由已知可设直线 l '的方程为 y =   x + m ( m ≠ 0), 由方程组   可得   所以 P 点坐标为   ,则| PT | 2 =   m 2 . 设点 A , B 的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ). 由方程组   可得3 x 2 +4 mx +(4 m 2 -12)=0.② 方程②的判别式为 Δ =16(9-2 m 2 ), 由 Δ >0,解得-   < m <   . 由②得 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   .所以| PA |=   =     , 同理,| PB |=     . 所以| PA |·| PB |=     =     =     =   m 2 . 故存在常数 λ =   ,使得| PT | 2 = λ | PA |·| PB |. 方法总结　 1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方 程组成的方程组的实数解组数来确定.一般通过消元得关于 x (或 y )的一元 二次方程,若 Δ >0,则直线与椭圆相交;若 Δ =0,则直线与椭圆相切;若 Δ <0,则 直线与椭圆相离. 2.弦长公式:设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )为直线与椭圆的两个交点,直线 AB 的斜率存 在,设为 k ( k ≠ 0), 则| AB |=   | x 1 - x 2 |或| AB |=   | y 1 - y 2 |. 3.设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )为椭圆   +   =1( a > b >0)上两点,弦 AB 的中点为 P ( x 0 , y 0 ), 则 x 0 =   , y 0 =   ,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这其中 的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由   用 ①-②将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为点差法). 4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问题, 通常要用方程和函数的思想方法,而恰当地选择函数的自变量至关重要.