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  • 2021-06-30 发布

2007年陕西省高考数学试卷(文科)【附答案、word版本,可再编辑;B4纸型两栏】

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‎2007年陕西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}‎,集合A={2, 3, 6}‎,则集合CuA等于( )‎ A.‎{1, 4}‎ B.‎{4, 5}‎ C.‎{1, 4, 5}‎ D.‎‎{2, 3, 6}‎ ‎2. 函数f(x)=lg‎1-‎x‎2‎的定义域为( )‎ A.‎[0, 1]‎ B.‎‎(-1, 1)‎ C.‎[-1, 1]‎ D.‎‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎ ‎3. 抛物线y=‎x‎2‎的准线方程是( )‎ A.‎4y+1=0‎ B.‎4x+1=0‎ C.‎2y+1=0‎ D.‎‎2x+1=0‎ ‎4. 已知sinα=‎‎5‎‎5‎,则sin‎4‎α-cos‎4‎α的值为( )‎ A.‎-‎‎1‎‎5‎ B.‎-‎‎3‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎5. 等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn,若S‎2‎‎=2‎,S‎4‎‎=10‎,则S‎6‎等于( )‎ A.‎12‎ B.‎18‎ C.‎24‎ D.‎‎42‎ ‎6. 某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有‎40‎种、‎10‎种、‎30‎种、‎20‎种,现从中抽取一个容量为‎20‎的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(        )‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎7‎ ‎7. Rt△ABC的三个顶点在半径为‎13‎的球面上,两直角边的长分别为‎6‎和‎8‎,则球心到平面ABC的距离是( )‎ A.‎5‎ B.‎6‎ C.‎10‎ D.‎‎12‎ ‎8. 设函数f(x)=‎2‎x+1(x∈R)‎的反函数为f‎-1‎‎(x)‎,则函数y=f‎-1‎(x)‎的图象是‎( A )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是( )‎ A.ab B.a‎2‎‎+‎b‎2‎ C.a D.‎b ‎10. 如图,已知四棱锥P-ABCD中,PA⊥‎平面CDAB,ABCD是直角梯形,AD // BC,‎∠BAD=‎‎90‎‎∘‎,BC=2‎,PA=AB=1‎.求点D到平面PBC的距离.‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎11. 给出如下三个命题:‎ ‎①设a,b∈R,且ab≠0‎,若ba‎>1‎,则ab‎<1‎;‎ ‎②四个非零实数a,b,c,d依次成等比数列的充要条件是ad=bc;‎ ‎③若f(x)=logix,则f(|x|)‎是偶函数.‎ 其中正确命题的序号是(        )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎12. 某生物生长过程中,在三个连续时段内的增长量都相等,在各时段内平均增长速度分别为v‎1‎,v‎2‎,v‎3‎,该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )‎ A.v‎1‎‎+v‎2‎+‎v‎3‎‎3‎ B.‎1‎v‎1‎‎+‎1‎v‎2‎+‎‎1‎v‎3‎‎3‎ C.‎3‎v‎1‎v‎2‎v‎3‎ D.‎‎3‎‎1‎v‎1‎‎+‎1‎v‎2‎+‎‎1‎v‎3‎ ‎ 7 / 7‎ 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13. ‎(1+2x‎)‎‎5‎的展开式中含x‎2‎项的系数是________.(用数字作答)‎ ‎14. 已知实数x、y满足条件x-2y+4≥0‎‎3x-y-3≤0‎x≥0,y≥0‎,则z=x+2y的最大值为________.‎ ‎15. 安排‎3‎名支教教师去‎4‎所学校任教,每校至多‎2‎人,则不同的分配方案共有________种.(用数字作答)‎ ‎16. 如图,平面内有三个向量OA‎→‎、OB‎→‎、OC‎→‎,其中与OA‎→‎与OB‎→‎的夹角为‎120‎‎∘‎,OA‎→‎与OC‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎,且‎|OA‎→‎|=|OB‎→‎|=1‎,‎|OC‎→‎|=2‎‎3‎,若OC‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎(λ, μ∈R)‎,则λ+μ的值为________.‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17. 设函数f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎,其中向量a‎→‎‎=(m, cos2x)‎,b‎→‎‎=(1+sin2x, 1)‎,x∈R,且y=f(x)‎的图象经过点‎(π‎4‎,2)‎.‎ ‎(1)求实数m的值;‎ ‎(2)求f(x)‎的最小正周期.‎ ‎18. 某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰、已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为‎4‎‎5‎、‎3‎‎5‎、‎2‎‎5‎、‎1‎‎5‎,且各轮问题能否正确回答互不影响.‎ ‎(1)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;‎ ‎(2)求该选手至多进入第三轮考核的概率.‎ ‎(注:本小题结果可用分数表示)‎ ‎19. 如图,在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中,AD // BC,‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎,PA⊥‎平面ABCD,PA=4‎,AD=2‎,AB=2‎‎3‎,BC=6‎.‎ ‎(1)求证:BD⊥‎平面PAC;‎ ‎ 7 / 7‎ ‎(2)求二面角A-PC-D的大小.‎ ‎20. 已知实数列‎{an}‎是等比数列,其中a‎7‎‎=1‎,且a‎4‎,a‎5‎‎+1‎,a‎6‎成等差数列.‎ 求数列‎{an}‎的通项公式;‎ 数列‎{an}‎的前n项和记为Sn,证明:Sn‎<128(n=1,2,3,⋯)‎.‎ ‎21. 已知f(x)=ax‎3‎+bx‎2‎+cx在区间‎[0, 1]‎上是增函数,在区间‎(-∞, 0)‎,‎(1, +∞)‎上是减函数,又f'(‎1‎‎2‎)=‎‎3‎‎2‎.‎ ‎(1)求f(x)‎的解析式;‎ ‎(2)若在区间‎[0, m](m>0)‎上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范围.‎ ‎22. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎6‎‎3‎,短轴一个端点到右焦点的距离为‎3‎.‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求椭圆C的方程;‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为‎3‎‎2‎,求‎△AOB面积的最大值.‎ ‎ 7 / 7‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年陕西省高考数学试卷(文科)‎ 一、选择题(共12小题,每小题5分,满分60分)‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.A ‎9.D ‎10.A ‎11.C ‎12.D 二、填空题(共4小题,每小题4分,满分16分)‎ ‎13.‎‎40‎ ‎14.‎‎8‎ ‎15.‎‎60‎ ‎16.‎‎6‎ 三、解答题(共6小题,满分74分)‎ ‎17.解:(1)f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=m(1+sin2x)+cos2x,‎ ‎∵ 图象经过点‎(π‎4‎,2)‎,‎ ‎∴ f(π‎4‎)=m(1+sinπ‎2‎)+cosπ‎2‎=2‎,‎ 解得m=1‎.‎ ‎(2)当m=1‎时,‎ f(x)=1+sin2x+cos2x=‎2‎sin(2x+π‎4‎)+1‎‎,‎ ‎∴ ‎T=‎2π‎2‎=π ‎18.解:(1)记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai‎(i=1, 2, 3, 4)‎,‎ 则P(A‎1‎)=‎‎4‎‎5‎,P(A‎2‎)=‎‎3‎‎5‎,P(A‎3‎)=‎‎2‎‎5‎,P(A‎4‎)=‎‎1‎‎5‎,‎ ‎∴ 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P‎1‎‎=P(A‎1‎A‎2‎A‎3‎A‎4‎‎¯‎)‎ ‎=P(A‎1‎)P(A‎2‎)P(A‎3‎)P(P‎4‎‎¯‎)‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎3‎‎5‎×‎2‎‎5‎×‎‎4‎‎5‎ ‎=‎‎96‎‎625‎‎.‎ ‎(2)该选手至多进入第三轮考核的概率 P‎2‎‎=P(A‎1‎‎¯‎+A‎1‎A‎2‎‎¯‎+A‎1‎A‎2‎A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=P(A‎1‎‎¯‎)+P(A‎1‎)P(A‎2‎‎¯‎)+P(A‎1‎)P(A‎2‎)P(A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=‎1‎‎5‎+‎4‎‎5‎×‎2‎‎5‎+‎4‎‎5‎×‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎=‎‎101‎‎125‎ ‎19.证明:(1)∵ PA⊥‎平面ABCD,BD⊂‎平面ABCD.∴ BD⊥PA.‎ 又tanABD=ADAB=‎‎3‎‎3‎,tanBAC=BCAB=‎‎3‎.∴ ‎∠ABD=‎‎30‎‎∘‎,‎∠BAC=‎‎60‎‎∘‎,∴ ‎∠AEB=‎‎90‎‎∘‎,即BD⊥AC.‎ 又PA∩AC=A.∴ BD⊥‎平面PAC ‎ 7 / 7‎ ‎(2)过E作EF⊥PC,垂足为F,连接DF.‎ ‎∵ DE⊥‎平面PAC,EF是DF在平面PAC上的射影,由三垂线定理知PC⊥DF,∴ ‎∠EFD为二面角A-PC-D的平面角.‎ 又‎∠DAC=‎90‎‎∘‎-∠BAC=‎‎30‎‎∘‎,‎ ‎∴ DE=ADsinDAC=1‎,AE=ABsinABE=‎‎3‎,‎ 又AC=4‎‎3‎,∴ EC=3‎‎3‎,PC=8‎.‎ 由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=PA⋅ECPC=‎‎3‎‎3‎‎2‎.‎ 在Rt△EFD中,tanEFD=DEEF=‎‎2‎‎3‎‎9‎,∴ ‎∠EFD=arctan‎2‎‎3‎‎9‎.‎ ‎∴ 二面角A-PC-D的大小为arctan‎2‎‎3‎‎9‎.‎ ‎20.解:设等比数列an的公比为qq∈R,因为a‎4‎,a‎5‎‎+1‎,a‎6‎成等差数列,‎ 所以a‎4‎‎+a‎6‎=2‎a‎5‎‎+1‎,∴ a‎7‎q‎3‎‎+a‎7‎q=2‎a‎7‎q‎2‎‎+1‎,‎ 即q‎-3‎‎+q‎-1‎=2‎q‎-2‎‎+1‎,q‎-1‎q‎-2‎‎+1‎‎=2‎q‎-2‎‎+1‎.‎ 所以q=‎‎1‎‎2‎.故an‎=a‎7‎qn-7‎=‎‎1‎‎2‎n-7‎.‎ Sn‎=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=‎64‎‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎=128‎1-‎‎1‎‎2‎n<128‎‎.‎ ‎21.解:(1)f‎'‎‎(x)=3ax‎2‎+2bx+c,由已知f‎'‎‎(0)=f‎'‎(1)=0‎,‎ 即c=0‎‎3a+2b+c=0‎ 解得c=0‎b=-‎3‎‎2‎a ‎∴ f‎'‎‎(x)=3ax‎2‎-3ax,‎ ‎∴ f'(‎1‎‎2‎)=‎3a‎4‎-‎3a‎2‎=‎‎3‎‎2‎,‎ ‎∴ a=-2‎,‎ ‎∴ f(x)=-2x‎3‎+3‎x‎2‎.‎ ‎(2)令f(x)≤x,即‎-2x‎3‎+3x‎2‎-x≤0‎,‎ ‎∴ x(2x-1)(x-1)≥0‎,‎ ‎∴ ‎0≤x≤‎‎1‎‎2‎或x≥1‎.‎ 又f(x)≤x在区间‎[0, m]‎上恒成立,‎ ‎∴ ‎0