2007年陕西省高考数学试卷（文科）【附答案、word版本，可再编辑；B4纸型两栏】 7页

‎2007年陕西省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1. 已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6}‎，集合A={2, 3, 6}‎，则集合CuA等于（ ）‎ A.‎{1, 4}‎ B.‎{4, 5}‎ C.‎{1, 4, 5}‎ D.‎‎{2, 3, 6}‎ ‎2. 函数f(x)=lg‎1-‎x‎2‎的定义域为（ ）‎ A.‎[0, 1]‎ B.‎‎(-1, 1)‎ C.‎[-1, 1]‎ D.‎‎(-∞, -1)∪(1, +∞)‎ ‎3. 抛物线y=‎x‎2‎的准线方程是（ ）‎ A.‎4y+1=0‎ B.‎4x+1=0‎ C.‎2y+1=0‎ D.‎‎2x+1=0‎ ‎4. 已知sinα=‎‎5‎‎5‎，则sin‎4‎α-cos‎4‎α的值为（ ）‎ A.‎-‎‎1‎‎5‎ B.‎-‎‎3‎‎5‎ C.‎1‎‎5‎ D.‎‎3‎‎5‎ ‎5. 等差数列‎{an}‎的前n项和为Sn，若S‎2‎‎=2‎，S‎4‎‎=10‎，则S‎6‎等于（ ）‎ A.‎12‎ B.‎18‎ C.‎24‎ D.‎‎42‎ ‎6. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有‎40‎种、‎10‎种、‎30‎种、‎20‎种，现从中抽取一个容量为‎20‎的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(        )‎ A.‎4‎ B.‎5‎ C.‎6‎ D.‎‎7‎ ‎7. Rt△ABC的三个顶点在半径为‎13‎的球面上，两直角边的长分别为‎6‎和‎8‎，则球心到平面ABC的距离是（ ）‎ A.‎5‎ B.‎6‎ C.‎10‎ D.‎‎12‎ ‎8. 设函数f(x)=‎2‎x+1(x∈R)‎的反函数为f‎-1‎‎(x)‎，则函数y=f‎-1‎(x)‎的图象是‎( A )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎9. 已知双曲线C:x‎2‎a‎2‎-y‎2‎b‎2‎=1(a>0, b>0)‎，以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是（ ）‎ A.ab B.a‎2‎‎+‎b‎2‎ C.a D.‎b ‎10. 如图，已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥‎平面CDAB，ABCD是直角梯形，AD // BC，‎∠BAD=‎‎90‎‎∘‎，BC=2‎，PA=AB=1‎．求点D到平面PBC的距离．‎ A.‎2‎‎2‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎3‎ D.‎‎3‎‎3‎ ‎11. 给出如下三个命题：‎ ‎①设a，b∈R，且ab≠0‎，若ba‎>1‎，则ab‎<1‎；‎ ‎②四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad=bc；‎ ‎③若f(x)=logix，则f(|x|)‎是偶函数．‎ 其中正确命题的序号是(        )‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎12. 某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v‎1‎，v‎2‎，v‎3‎，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ）‎ A.v‎1‎‎+v‎2‎+‎v‎3‎‎3‎ B.‎1‎v‎1‎‎+‎1‎v‎2‎+‎‎1‎v‎3‎‎3‎ C.‎3‎v‎1‎v‎2‎v‎3‎ D.‎‎3‎‎1‎v‎1‎‎+‎1‎v‎2‎+‎‎1‎v‎3‎ ‎ 7 / 7‎ 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13. ‎(1+2x‎)‎‎5‎的展开式中含x‎2‎项的系数是________．（用数字作答）‎ ‎14. 已知实数x、y满足条件x-2y+4≥0‎‎3x-y-3≤0‎x≥0,y≥0‎，则z=x+2y的最大值为________．‎ ‎15. 安排‎3‎名支教教师去‎4‎所学校任教，每校至多‎2‎人，则不同的分配方案共有________种．（用数字作答）‎ ‎16. 如图，平面内有三个向量OA‎→‎、OB‎→‎、OC‎→‎，其中与OA‎→‎与OB‎→‎的夹角为‎120‎‎∘‎，OA‎→‎与OC‎→‎的夹角为‎30‎‎∘‎，且‎|OA‎→‎|=|OB‎→‎|=1‎，‎|OC‎→‎|=2‎‎3‎，若OC‎→‎‎=λOA‎→‎+μOB‎→‎(λ, μ∈R)‎，则λ+μ的值为________．‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17. 设函数f(x)=a‎→‎⋅‎b‎→‎，其中向量a‎→‎‎=(m, cos2x)‎，b‎→‎‎=(1+sin2x, 1)‎，x∈R，且y=f(x)‎的图象经过点‎(π‎4‎，2)‎．‎ ‎（1）求实数m的值；‎ ‎（2）求f(x)‎的最小正周期．‎ ‎18. 某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰、已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为‎4‎‎5‎、‎3‎‎5‎、‎2‎‎5‎、‎1‎‎5‎，且各轮问题能否正确回答互不影响．‎ ‎（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；‎ ‎（2）求该选手至多进入第三轮考核的概率．‎ ‎（注：本小题结果可用分数表示）‎ ‎19. 如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD // BC，‎∠ABC=‎‎90‎‎∘‎，PA⊥‎平面ABCD，PA=4‎，AD=2‎，AB=2‎‎3‎，BC=6‎．‎ ‎（1）求证：BD⊥‎平面PAC；‎ ‎ 7 / 7‎ ‎（2）求二面角A-PC-D的大小．‎ ‎20. 已知实数列‎{an}‎是等比数列，其中a‎7‎‎=1‎，且a‎4‎，a‎5‎‎+1‎，a‎6‎成等差数列．‎ 求数列‎{an}‎的通项公式；‎ 数列‎{an}‎的前n项和记为Sn，证明：Sn‎<128(n=1,2,3,⋯)‎．‎ ‎21. 已知f(x)=ax‎3‎+bx‎2‎+cx在区间‎[0, 1]‎上是增函数，在区间‎(-∞, 0)‎，‎(1, +∞)‎上是减函数，又f'(‎1‎‎2‎)=‎‎3‎‎2‎．‎ ‎（1）求f(x)‎的解析式；‎ ‎（2）若在区间‎[0, m](m>0)‎上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范围．‎ ‎22. 已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎的离心率为‎6‎‎3‎，短轴一个端点到右焦点的距离为‎3‎．‎ ‎(‎Ⅰ‎)‎求椭圆C的方程；‎ ‎(‎Ⅱ‎)‎设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为‎3‎‎2‎，求‎△AOB面积的最大值．‎ ‎ 7 / 7‎ ‎ 7 / 7‎ 参考答案与试题解析 ‎2007年陕西省高考数学试卷（文科）‎ 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.A ‎4.B ‎5.C ‎6.C ‎7.D ‎8.A ‎9.D ‎10.A ‎11.C ‎12.D 二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）‎ ‎13.‎‎40‎ ‎14.‎‎8‎ ‎15.‎‎60‎ ‎16.‎‎6‎ 三、解答题（共6小题，满分74分）‎ ‎17.解：（1）f(x)=a‎→‎⋅b‎→‎=m(1+sin2x)+cos2x，‎ ‎∵ 图象经过点‎(π‎4‎，2)‎，‎ ‎∴ f(π‎4‎)=m(1+sinπ‎2‎)+cosπ‎2‎=2‎，‎ 解得m=1‎．‎ ‎（2）当m=1‎时，‎ f(x)=1+sin2x+cos2x=‎2‎sin(2x+π‎4‎)+1‎‎，‎ ‎∴ ‎T=‎2π‎2‎=π ‎18.解：（1）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为Ai‎(i=1, 2, 3, 4)‎，‎ 则P(A‎1‎)=‎‎4‎‎5‎，P(A‎2‎)=‎‎3‎‎5‎，P(A‎3‎)=‎‎2‎‎5‎，P(A‎4‎)=‎‎1‎‎5‎，‎ ‎∴ 该选手进入第四轮才被淘汰的概率 P‎1‎‎=P(A‎1‎A‎2‎A‎3‎A‎4‎‎¯‎)‎ ‎=P(A‎1‎)P(A‎2‎)P(A‎3‎)P(P‎4‎‎¯‎)‎ ‎=‎4‎‎5‎×‎3‎‎5‎×‎2‎‎5‎×‎‎4‎‎5‎ ‎=‎‎96‎‎625‎‎．‎ ‎（2）该选手至多进入第三轮考核的概率 P‎2‎‎=P(A‎1‎‎¯‎+A‎1‎A‎2‎‎¯‎+A‎1‎A‎2‎A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=P(A‎1‎‎¯‎)+P(A‎1‎)P(A‎2‎‎¯‎)+P(A‎1‎)P(A‎2‎)P(A‎3‎‎¯‎)‎ ‎=‎1‎‎5‎+‎4‎‎5‎×‎2‎‎5‎+‎4‎‎5‎×‎3‎‎5‎×‎3‎‎5‎=‎‎101‎‎125‎ ‎19.证明：（1）∵ PA⊥‎平面ABCD，BD⊂‎平面ABCD．∴ BD⊥PA．‎ 又tanABD=ADAB=‎‎3‎‎3‎，tanBAC=BCAB=‎‎3‎．∴ ‎∠ABD=‎‎30‎‎∘‎，‎∠BAC=‎‎60‎‎∘‎，∴ ‎∠AEB=‎‎90‎‎∘‎，即BD⊥AC．‎ 又PA∩AC=A．∴ BD⊥‎平面PAC ‎ 7 / 7‎ ‎（2）过E作EF⊥PC，垂足为F，连接DF．‎ ‎∵ DE⊥‎平面PAC，EF是DF在平面PAC上的射影，由三垂线定理知PC⊥DF，∴ ‎∠EFD为二面角A-PC-D的平面角．‎ 又‎∠DAC=‎90‎‎∘‎-∠BAC=‎‎30‎‎∘‎，‎ ‎∴ DE=ADsinDAC=1‎，AE=ABsinABE=‎‎3‎，‎ 又AC=4‎‎3‎，∴ EC=3‎‎3‎，PC=8‎．‎ 由Rt△EFC∽Rt△PAC得EF=PA⋅ECPC=‎‎3‎‎3‎‎2‎．‎ 在Rt△EFD中，tanEFD=DEEF=‎‎2‎‎3‎‎9‎，∴ ‎∠EFD=arctan‎2‎‎3‎‎9‎．‎ ‎∴ 二面角A-PC-D的大小为arctan‎2‎‎3‎‎9‎．‎ ‎20.解：设等比数列an的公比为qq∈R，因为a‎4‎，a‎5‎‎+1‎，a‎6‎成等差数列，‎ 所以a‎4‎‎+a‎6‎=2‎a‎5‎‎+1‎，∴ a‎7‎q‎3‎‎+a‎7‎q=2‎a‎7‎q‎2‎‎+1‎，‎ 即q‎-3‎‎+q‎-1‎=2‎q‎-2‎‎+1‎，q‎-1‎q‎-2‎‎+1‎‎=2‎q‎-2‎‎+1‎．‎ 所以q=‎‎1‎‎2‎．故an‎=a‎7‎qn-7‎=‎‎1‎‎2‎n-7‎．‎ Sn‎=a‎1‎‎(1-qn)‎‎1-q=‎64‎‎1-‎‎1‎‎2‎n‎1-‎‎1‎‎2‎=128‎1-‎‎1‎‎2‎n<128‎‎．‎ ‎21.解：（1）f‎'‎‎(x)=3ax‎2‎+2bx+c，由已知f‎'‎‎(0)=f‎'‎(1)=0‎，‎ 即c=0‎‎3a+2b+c=0‎ 解得c=0‎b=-‎3‎‎2‎a ‎∴ f‎'‎‎(x)=3ax‎2‎-3ax，‎ ‎∴ f'(‎1‎‎2‎)=‎3a‎4‎-‎3a‎2‎=‎‎3‎‎2‎，‎ ‎∴ a=-2‎，‎ ‎∴ f(x)=-2x‎3‎+3‎x‎2‎．‎ ‎（2）令f(x)≤x，即‎-2x‎3‎+3x‎2‎-x≤0‎，‎ ‎∴ x(2x-1)(x-1)≥0‎，‎ ‎∴ ‎0≤x≤‎‎1‎‎2‎或x≥1‎．‎ 又f(x)≤x在区间‎[0, m]‎上恒成立，‎ ‎∴ ‎0